[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第5节 椭圆练习 新人教A版

第八章 第5节 椭圆

[基础对点组]

1．(导学号14577739)(2018·泉州质检)已知椭圆x 2

m －2＋

y 2

10－m

＝1的长轴在x 轴上，焦

距为4，则m 等于( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

解析：A [∵椭圆

x 2

m －2＋

y 2

10－m

＝1的长轴在x 轴上，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，

解得6<m <10.

∵焦距为4，∴c 2

＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.

2．(导学号14577740)椭圆x 29＋y 2

4＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )

A ．－21

B ．21

C ．－19

25

或21

D.19

25

或21 解析：C [若a 2＝9，b 2

＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；

若a 2＝4＋k ，b 2

＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45

，解得k ＝21.]

3．(导学号14577741)椭圆x 2

25

＋y 2

9

＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )

A ．2

B ．4

C ．8

D.3

2

解析：B [如图，连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8.由题意知|ON |＝1

2

|MF 2|＝4.故选B.]

4．(导学号14577742)(2018·玉林市一模)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )

A.1

5 B.

154

C.26

5

D.14

解析：B [不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

2a ＝20－4b ＝2，

解得a ＝8，b ＝2，∴c ＝64－4＝215，∴该椭圆的离心率为e ＝c a ＝2158＝15

4

.故

选B.]

5．(导学号14577743)(2018·郑州市三模)椭圆x 25＋y 2

4＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与

椭圆相交于点M 、N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )

A.55

B.65

5 C.85

5

D.

45

5

解析：C [设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.

∵|MF ′|＋|NF ′|≥|MN |，

∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大．

由椭圆的定义可得△FMN 的周长的最大值＝4a ＝45，c ＝5－4＝1.

把c ＝1代入椭圆标准方程得15＋y 2

4＝1，解得y ＝±45，∴此时△FMN 的面积S ＝

1

2×2×2×

45＝

85

5

.故选C.] 6．(导学号14577744)(2018·中卫市二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M

到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C 的标准方程是 ________ .

解析：椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，焦距是2，

则有2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，所以b 2

＝a 2

－c 2

＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

答案：x 24＋y 2

3

＝1

7．(导学号14577745)(2018·西安市一模)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 2

16＝1上，则5sin C

sin A ＋sin B

＝ ________ .

解析：由椭圆x 225＋y 2

16＝1，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B 为

椭圆的两个焦点．

三角形ABC 中，a ＝|BC |，b ＝|AC |，c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则sin A ＝a 2R ，sin B ＝b

2R

，

sin C ＝c 2R ，5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610

＝3.

答案：3

8．(导学号14577746)(2018·绵阳市诊断)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2

8＝1的中点和

左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →

的最小值为 ________ .

解析：点P 为椭圆x 29＋y 2

8＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，

依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x

2

＋x ＋72－8x 2

9＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234

.

∵－3≤x ≤3，

∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤225

4

， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →

≤12，故最小值为6. 答案：6

9．(导学号14577747)(2018·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为

A (2,0)，离心率为

2

2

.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为

10

3

时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，c a ＝2

2，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k x －，x 24＋y

2

2

＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2

－4＝0.

设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－4

1＋2k 2，

所以|MN |＝x 2－x 12

＋

y 2－y 12

＝＋k

2x 1＋x 2

2

－4x 1x 2]

＝2

＋k 2

＋6k

2

1＋2k

2

.