专题2 函数与导数(五)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

函数与导数（五）
热点一 导数的几何意义
1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．
例1 (1)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x (2)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线，则实数b ＝_____. 及时归纳 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
跟踪演练1 (1)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．
(2)若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫ln 1
2e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性
1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.
2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． 例2 已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；
(2)若存在正数m ，对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立，求正实数k 的取值范围． 及时归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0即可；
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
跟踪演练2 (1)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －1
2x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取
值范围是( )
A ．{1}
B ．{－1}
C ．(0,1]
D ．[－1,0) (2)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －1
2＋f (x ＋1)＝0， e 3f (2 018)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1
e x 的解集为( )
A ．(－∞，3)
B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞) 热点三 利用导数求函数的极值、最值
1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．
2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
例3 (2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．
及时归纳 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．
跟踪演练3 已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫e ＋1e ln x ＋1
x －x .(1)求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝ln(x ＋1)－ax ＋e x ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，＋∞)，总有g (x 1)≥e
2
f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．
课时作业
1.
已知函数x
y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值可以是（ ） A. －1 B. 1
C. 2
D. 3
2.
已知函数f (x )的导函数为()f x '，()()0xf x f x '->对()0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
()
()f f e e
ππ
>
B.
()
()f f e e
ππ
<
C. ()()f f e π>
D. ()()f
f e π<
3.
已知函数()3
2
2
f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a =（ ）
A. 4或－3
B. －4或3
C. －3
D. 4
4.
已知函数2
()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，
12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 74
1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. 74
160,,e e e ⎡⎫⎛⎤
⎪⎢ ⎥⎝⎦
⎣⎭
D.
74
6,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
5.
已知函数()()3
21ln 2
f x x x ax ax a R =+
-∈. （1）当0a =时，求f (x )的最值；
（2）若函数()()
f x
g x x
=
存在两个极值点()1212,x x x x ≠，求()()12g x g x +的取值范围. 6.
已知函数3()f x x x
=-
． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 7.
已知函数()3
2
9f x x mx x n =+++在1x =处取得极值，且()02f =.
（1）求实数m ，n 的值；
（2）求函数f (x )的极大值和极小值. 8.
已知函数(1)(1)
()2ln x mx f x x x
-+=-
．
（Ⅰ）当1m =时，试判断f (x )零点的个数； （Ⅱ）若1x ≥时，()0f x ≤，求m 的取值范围．
函数与导数（五）答案
热点一 导数的几何意义 例1 (1)答案 D
解析 方法一 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.
方法二 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D. (2)答案 ln 2
解析 设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋1和曲线y ＝ln(x ＋2)的切点分别为(x 1，ln x 1＋1)，(x 2，ln(x 2＋2))．∵直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线， ∴1x 1＝1x 2＋2，即x 1－x 2＝2.∴切线方程为y －(ln x 1＋1)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝x x 1＋ln x 1或y －ln(x 2
＋2)＝1x 2＋2(x －x 2)，即为y ＝x x 1＋2－x 1x 1＋ln x 1，∴2－x 1x 1＝0，则x 1＝2，∴b ＝ln 2.
跟踪演练1 (1)答案 2x －y ＝0
解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2
x ＋1.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为
2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. (2)答案 A
解析 设公切线与函数f (x )＝ln x 切于点A (x 1，ln x 1)(x 1>0)，则切线方程为y －ln x 1＝1
x 1
(x
－x 1)．设公切线与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 切于点B (x 2，x 22＋2x 2＋a )(x 2
<0)，则切线方程为y －(x 22＋2x 2＋a )＝2(x 2＋1)(x －x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1x 1＝2(x 2＋1)，ln x 1－1＝－x 22＋a ，∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1
<2.又a ＝ln x 1
＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12－1＝－ln 1x 1＋14⎝⎛⎭⎫1x 1－22－1，令t ＝1x 1，∴0<t <2，a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝1
4t 2－t －ln t (0<t <2)，则h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t
<0，∴h (t )在(0,2)上为减函数，则h (t )>h (2)
＝－ln 2－1＝ln
1
2e
，∴a ∈⎝⎛⎭⎫ln 12e ，＋∞. 热点二 利用导数研究函数的单调性
例2 解 (1)由题意得f ′(x )＝2e x －k ，x ∈(0，＋∞)，因为x >0，所以2e x >2.当k ≤2时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．当k >2时，由f ′(x )>0得x >ln k
2，此时f (x )单调递增；
由f ′(x )<0得0<x <ln k
2，此时f (x )单调递减．综上，当k ≤2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；
当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k 2内单调递减，在⎝⎛⎭
⎫ln k
2，＋∞内单调递增． (2)①当0<k ≤2时，由(1)可得f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f (0)＝0，所以对于任意的x ∈(0，m )，f (x )>0.这时|f (x )|>2x 可化为f (x )>2x ，即2e x －(k ＋2)x －2>0.设g (x )＝2e x －(k ＋2)x －2， 则g ′(x )＝2e x －(k ＋2)，令g ′(x )＝0，得x ＝ln k ＋22>0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫
0，ln k ＋22内单调递减，
且g (0)＝0，所以当x ∈⎝
⎛⎭⎫
0，ln k ＋22时，g (x )<0，不符合题意．
②当k >2时，由(1)可得f (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k
2内单调递减，且f (0)＝0，所以存在x 0>0，使得对于任意的x ∈(0，x 0)都有f (x )<0.这时|f (x )|>2x 可化为－f (x )>2x ，即－2e x ＋()k －2x ＋2>0. 设h (x )＝－2e x ＋()k －2x ＋2，则h ′(x )＝－2e x ＋()k －2.
(ⅰ)若2<k ≤4，则h ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，且h (0)＝0， 所以对于任意的x ∈(0，x 0)都有h (x )<0，不符合题意．
(ⅱ)若k >4，令h ′(x )>0，得x <ln k －22，这时h (x )在⎝
⎛⎭⎫
0，ln k －22内单调递增，且h (0)＝0，
所以对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，ln k －22，都有h (x )>0，此时取m ＝min ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x 0，ln
k －22，则对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立．综上可得k 的取值范围为()4，＋∞. 跟踪演练2 (1)答案 B
解析 f (x )＝()x 2＋2ax ln x －1
2
x 2－2ax ，f ′(x )＝2(x ＋a )ln x ，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ＝1时，f ′(x )＝0满足题意，当x >1时，ln x >0，要使f ′(x )≥0恒成立，则x ＋a ≥0恒成立．∵x ＋a >1＋a ，∴1＋a ≥0，解得a ≥－1，当0<x <1时，ln x <0，要使f ′(x )≥0恒成立，则x ＋a ≤0恒成立，∵x ＋a <1＋a ，∴1＋a ≤0，解得a ≤－1.综上所述，a ＝－1. (2)答案 B
解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )，f ′(x )＝[]f (－x )′＝－f ′(－x )，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，f (x )>f ′(－x )＝－f ′(x )，即f (x )＋f ′(x )>0，设g (x )＝e x f (x )，则[]e x f (x )′＝e x []f (x )＋f ′(x )>0， ∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，由f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，得f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋3
2＋f ()x ＋3＝0，相减可得f (x )＝f ()x ＋3，f (x )的周期为3，∴e 3f ()2 018＝e 3f (2)＝1，g (2)＝e 2f (2)＝1e ，f (x ＋2)>1e x ，结合f (x )的周期为3可化为e x －
1f (x －1)>1e ＝e 2f (2)，g (x －1)>g (2)，x －1>2，x >3，
∴不等式的解集为()3，＋∞，故选B. 热点三 利用导数求函数的极值、最值
例3 解 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.
(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤1
2，则当x ∈(0,2)时，x
－2<0，ax －1≤1
2x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范
围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.
跟踪演练3 解 (1)f ′(x )＝e ＋1e x －1x 2－1＝－()x －e ⎝⎛⎭⎫x －1
e x 2
，令f ′(x )＝0，可得x ＝1
e 或x ＝e.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：
所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2e ，极大值为f (e)＝2
e
. (2)由(1)可知，当x ∈[1，＋∞)时，函数f (x )的最大值为2
e ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，
＋∞)，总有g (x 1)≥e
2f (x 2)成立，等价于对于任意x ∈[0，＋∞)，g (x )≥1恒成立，g ′(x )＝e x
＋
1
x ＋1
－a (x ≥0)， ①当a ≤2时，因为e x ≥x ＋1，所以g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ≥x ＋1＋1
x ＋1－a ≥2－a ≥0，
即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (0)＝1恒成立，符合题意．
②当a >2时，设h (x )＝e x
＋1x ＋1－a (x ≥0)，h ′(x )＝e x
－1(x ＋1)2＝(x ＋1)2e x －1(x ＋1)2
≥0，
所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，且g ′(0)＝2－a <0，则存在x 0∈(0，＋∞)，
使得g ′(x 0)＝0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，又g (x 0)<g (0)＝1， 所以g (x )≥1不恒成立，不符合题意．综合①②可知，实数a 的取值范围是(]－∞，2.
课时作业
1.BCD 【分析】
将函数x
y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，转化为函数()2x
f x me x m =--有
两个零点，导函数为()1x
f x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上
单调递减，不可能有两个零点；当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，函数在
(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增，()f x 的最小值为
()ln 1ln 2f m m m -=+-，再令()ln 0f m -<求解即可.
【详解】因为函数x
y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，
所以函数()2x
f x me x m =--有两个零点，
求导得：()1x
f x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，
所以函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，
当(),ln ∈-∞-x m 时，()0f x '<，当()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->，则()1
2g m m
'=
-， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g m '>，当1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g m '<，
所以()g m 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减. 所以()max 1ln 202g m g ⎛⎫
==-<
⎪⎝⎭
， 所以()f x 的最小值()ln 0f m -<，
则m 的取值范围是()0,∞+.
所以m 可以取 1，2，3.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查导数在函数的零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
2.A
【分析】
构造函数()()f x g x x =，求导()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由()()0xf x f x '->，得()
f x y x =在()0,∞+上单调递增，再根据e π<求解.
【详解】令()()f x g x x
= 因为()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，且()()0xf x f x '->， 所以()
f x y x =在()0,∞+上单调递增，
因为e π<，
所以()
()f f e e
ππ>. 故选：A
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了构造函数的方法，属于中档
3.D
【分析】
根据函数()f x 在1x =处取得极值10，得()()'10110
f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此求得,a b 的值，再验证,a b 是否符合题意即可.
【详解】函数
1,)+∞（在1x =处取得极值10， 所以()2
'32f x x ax b =++， 且()()2
'1320,1110f a b f a b a =++==+++=， 解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，
当3,3a b =-=时，()()2
2'363310f x x x x =-+=-≥，
根据极值的定义知道，此时函数()f x 无极值；
当4,11a b ==-时，()2'3811f x x x =+-， 令()'0f x =得1x =或113
x =-
，符合题意； 所以4a =，
故选D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 4.D
【分析】
先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x
=
'-， 下面讨论()g x 的单调性：
当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当10,a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0,x e ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e >时，令()0g x '=，解得1x a
=， 故()g x 在区间10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭
，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54
g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154a lna e
+<-≥，
解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
5.（1）最小值是1e
-
，无最大值；（2）(,3ln 4)-∞--．
【分析】
（1）求出导函数()f x '，由导函数确定函数的单调性得最值； （2）求出()g x '，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得a 的范围，同时求出1212,x x x x +，可得12()()()h a g x g x =+，由单调性可得所求取值范围．
【详解】（1）由题意()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，易知1(0,)x e ∈时，()0f x '<，()f x 递减，1
(,)x e
∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增． ∴()f x 有极小值1
111()ln f e e e e
==-，也是最小值，无最大值． （2）由题意21()ln 2g x x ax ax =+-，211()ax ax g x ax a x x
-+'=+-=， ()g x 在两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根， ∴2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩
，∴4a >，121x x =+，121x x a =， ∴221211122211()()()ln ln 22
h a g x g x x ax ax x ax ax =+=+-++-
2121212121112ln()[()2]()ln (1)22x x a x x x x a x x a a a a
=++--+=+--1ln 12a a =---， 显然1()ln 12
h a a a =---是关于a 的减函数， ∴()(4)3ln 4h a h <=--，
∴12()()g x g x +的取值范围是(,3ln 4)-∞--．
【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数a 的关系，把待极值点的问题化为a 的函数，然后利用a 的范围求出结论．
6.（1）734y x =
-（2）见解析
【分析】
（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案.
【详解】（1）31(2)222
f =-= 23()1f x x '=+，37(2)144
f '∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17(2)24y x -=-，即734
y x =- （2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为
231()y n x m m ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭
即2331()y m x m m m ⎛
⎫⎛⎫--
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令0x =，得6y m
=- 令y x =，得2y x m ==
从而切线与直线0x =的交点为60,m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m ∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积16|2|62S m m =
⋅-⋅=，为定值.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.
7.（1）6,2m n =-=；（2）极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．
【分析】
（1）求出导数()f x '，由()01f '=和(0)2f =可求得,m n ；
（2）由导数确定函数的单调性，得极值．
【详解】（1）由题意2()329f x x mx '=++，∴(1)3290f m '=++=，6m =-，
又(0)2f n ==．∴6,2m n =-=；
（2）由（1）32()692f x x x x =-++，
2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，
当1x <或3x >时()0f x '>，13x <<时，()0f x '<，
∴()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)上递减．
()f x 的极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．
【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键． 8.（Ⅰ）f (x )有且只有一个零点；（Ⅱ）[1,)+∞．
【分析】
（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及(1)0f =即可确定函数的零点；
（Ⅱ）分0m ≤和0m >两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数()f x 的最大值，由max ()0f x ≤求解即可．
【详解】（Ⅰ）当 1 m =时，(1)(1)()2ln x x f x x x
-+=-， 2
2(1)()x f x x
--'=． 所以()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，
又(1)0f =，
∴()f x 有且只有一个零点．
（Ⅱ）∵()10f =，2221()mx x f x x
-+-'=． （1）当0m ≤时，在[1,)+∞上()0f x '≥恒成立，
∴()f x 在[1,)+∞上单调递增，
∴()(1)0f x f ≥=，不符合题意．
（2）当0m >时，设2()21g x mx x =-+-，
当440m ∆=-≤即m 1≥时，2()210g x mx x =-+-≤恒成立，
所以在[1,)+∞上()0f x '
≤恒成立，
∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，
∴()(1)0f x f ≤=，符合题意，
∴m 1≥．
当440m ∆=->即01m <<时，()0g x =有两不等实根，设为12,x x 因为(1)10g m =->，可知121x x ，
所以()21,x x ∈时()0f x '>，()2,x x ∈+∞时()0f x '<
即()f x 在区间()21,x 上单调递增，()2,x +∞单调递减
所以()2(1)0f x f >=，不符合题意．
综上，m 的取值范围为[1,)+∞．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。