线段的和差 浙教版2019-2020学年度七年级数学上册讲义+分层训练(含答案)

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识 6.4 线段的和差
【知识清单】
1. 两条线段的和：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和.字母表示：若线段c 是线段a 与b 的和，记作：c =a +b .
2. 两条线段的差：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差.字母表示：若线段a 是线段c 与b 的差，记作：a =c b.
3.注意：两条线段的和或差仍是一条线段.
4.(1)线段的中点：点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 与BC ，点C 叫做线段AB 的中点. (2)几何语言：①已知点C 是线段AB 的中点，
则AC =BC =
AB 2
1
或AB =2AC =2BC . ②若点C 在AB 上，且AC =BC =AB 2
1
或AB =2AC =2BC ， 则点C 是线段AB 的中点.
5.同样一条线段有三等分点、四等分点、…、n 等分点.
6.简单的基本作图：(1)用刻度尺可以画出线段的中点，线段的和、差、倍、分；(2)用圆规可以画出线段的和、差、倍.
7.延长线：延长线段AB 是指按从端点A 到B 的方向延长；延长线段BA 是指按从端点B 到A 的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB ；关于射线AB ，反向延长射线AB .
【经典例题】
例题1、下列说法正确的是( )
A. 到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点
B. 两点之间的线段就是这两点的距离
C. 经过两点有一条直线并且只有一条直线
D. 五一小长假小张一家人自驾游，由天津出发到杭州全程路程约1151km ，这就是说天津
到杭州之间的距离是 1151km.
【考点】线段的和差．
【分析】根据线段中点的定义即可判断各选项． 【解答】A.少了在线段上这一条件，故本选项错误；
B.两点之间的线段的长度才是这两点的距离，故本选项错误；
C.两点确定一条直线，故本选项正确；
D.天津出发到杭州全程约1151km 是路程，而不是距离，故本选项错误. 故选C ．
【点评】本题考查线段、射线、直线以及有关的概念和性质，属于基础题，熟练掌握线段、射线、直线以及有关的概念和性质是解决问题的关键．
例题2、如图，已知B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分，P 是AD 的中点，若AB =6，
求线段AD 和线段PC 的长．
【考点】线段的长短比较、线段的和差．
【分析】首先由B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分，知AB =4
1
AD ，即AD =4AB ，求出AD 的长，再根据P 是AD 的中点，得出P A =PD =2
1
AD ，求出AP 的长，最后由PC =AC -AP ，求出线段PC 的长．
【解答】∵B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分，3+5+4=12，
∴AB =
41AD ，BC =12
5
AD ，CD =31AD
又∵AB =6， ∴AD =4AB =24， ∴BC =
12
5
AD =10， ∴AC =AB +BC =6+10=16. ∵P 是AD 的中点， ∴AP =
2
1
AD =12， ∴PC =AC -AP =16-12=4．
【点评】利用中点及其它等分点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，提高解决问题的效率，培养学生的数学素养． 【夯实基础】
1．下列四个图中，能表示线段x =
2
1
(a +c -b )的是( )
2．点P 在线段AB 上，下面四个等式：①AP =PB ；②AB =AP +PB ； ③AB =2AP ；④PB =
2
1
AB .其中能表示P 是线段AB 中点的有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3．若点P 是线段AB 的四等分点，且AP =12，则AB 的长为( )
A ．48或24
B ．24或16
C ．48或16
D ．48或24或16
4．如图，C 为AB 的中点，D 是BC 的中点，则下列结论正确的个数是( ) ①CD =DB =
21AC ；②CD =21(AB -AC )；③CD =31(AC +DB )；④CD =41AB ；⑤CD =5
1(AB +DB ). A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
5．在线段AB 上取一点C ，则线段BC 与线段AB 的延
长线上取一点C ，线段BC 与AC 的反向延长线上取
一点C ，则线段BC 与线段AC
6．如图，直线上有四点A ，P ，Q ，B ，看图填空：
(1)AQ =_____+PQ =AB -_____； (2)PQ =AQ -_____=AB -_____-_____；
(3)若AQ =16cm ，BP =6cm ，AB =18cm ，则AQ +BP -AB =__ ___． 7．已知点P 在直线AB 上，线段AB =10cm ，(1)若BP =5
3
AB ，则AP 的长度为 ； (2)若BP =
5
3
AP ，则AP 的长度为 . 8．已知线段a ，b .
(1)利用圆规和直尺画一条线段x ，使x =2a -2b ； (3)利用圆规和直尺画一条线段y ，使y =2a +3b .
9．如图，已知线段AB ，按下列要求完成作图并回答问题：
(1)完成作图：①延长线段AB 到点C ，使AC =3AB ；②反向延长线段AB 到点D ，使DB =4AB ；③取线段AD 的中点P ，BC 的中点Q .
(2)回答问题：在(1)的条件下：①求AD 与BC 的关系；②如果AB =2cm ，求线段PQ 的长．
【提优特训】
10．若线段AB =15cm ，P A +PB =19cm ，那么下面说法正确的是( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在直线AB 上
C ．点P 在直线AB 外
D ．点P 在直线AB 上或点P 在直线AB 外
11．在数轴上有A ，B ，C ，D 四点，它们表示的有理数分别是212-，411-，8
7
-
，814-，则( )
A ．点A 是线段CD 的中点
B ．点B 是A
C 的中点 C ．点C 是AB 的中点
D ．点D 是BC 的中点
12．如图，AB =28，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且AD ∶CB =3∶7，点E 在线段CB 上，
且AC ∶CE =7∶2，则DE 的长为( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
13. 甲地离学校5km ，乙地离学校3km ，记甲乙两地之间的距离为d km ，则d 的取值范围为______．
A ．2 km
B ．8 km
C ．2 km 或 8 km
D ．2≤d ≤8 14．已知线段AB =14，在直线AB 上画线段BC =9，则线段AC = ．
15．(1)在一次实践操作中，某人把两根长为19 cm 的竹竿绑接成一根长32 cm 的竹竿，则重叠部
分的长为_____ cm.
(2)若一条长度为2019cm 线段截取它的
21，截取它剩下的31，第3次截取它剩下的4
1
，依此类推，一直到截取剩下的
2019
1
，则最后剩下的线段的长度为 cm. (3)如图，三角形ABC 中，AB =14cm ，AC =12 cm.BC =8 cm ，用刻度尺分别作出每条边上的中点D 、E 、F ，连接D 、E 、F ，得到什么图形 三角形 ， 量一量组成这个新图形的各边的长度分别为 ，并求出三角形ABC 周长为 与新图形的周长为 ，三角形ABC 的周长与新图形的周长的关系是 .
16．如图，①数轴上的点A ，B 分别表示有理数a ，b ，则线段AB =______；②当a =-5，b =2时，
OA =____，OB =_____，AB =_____；③若点x 在数轴是且25-++x x 取最小值，则x 的取值范围是 .
17．如图，点C ，D 把线段AB 三等分，点P 是线段CD 上，且AP :PB =2:3，若线段CP 的长为
1 cm ，求线段AB 的长．
18．已知线段AB =7cm ，P 为线段AB 所在平面内一点，请回答下列问题
1、若P A=3cm，PB等于多少时，点P在线段AB上?
2、若P A=10cm ，PB等于多少时，点P在线段AB所在的直线上?
3、若P A=10cm ，PB长在什么范围时，点P不在线段AB所在直线上?
19．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以4 cm/s的速度运动，C是线段PB的中点，AB=32 cm，设点P的运动时间为t s.
(1)当t=3 s时，①AB=____cm；②求线段CB的长；
(2)在运动过程中，若AP的中点为Q，则QC的长是否变化？若不变，求出线段QC的长；若
发生变化，请说明理由．
20．如图，点B、C、D在线段AE上，已知AE=14cm，BD=6cm，求图中所有线段的长度和.
21．如图，A、B、C是一条笔直公路上的3个公交公司，A、B之间的路程为120km，A、C之间的路程为50km，现准备在A、B两公交公司之间建一个加油站P，设P、C之间的路程为x km.
(1)用含x的代数式表示加油站到3个公交公司的路程之和.
(2)若加油站到3个公交公司的路程之和为136km，那么加油站P站应设在何处?
(3)要使加油站P到3个公交公司的路程之和最小，加油站P站应设在何处?
【中考链接】
22．(2019•模拟) 若点C是线段AB上的点，M，N分别是AC、BC的中点，则AN MC+2NM = AB.
23．(2019•模拟)如图，已知点P是线段AB的中点，点Q在PB上，若AQ:QB=4:1，PQ=6cm，求AB的长.
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、D 5．AB >BC ，BC <AC ，BC >AC 6、(1)AP 、QB (2)AP 、AP 、QB (3) 4 7、 4或16，
4
25
或15 10、D 11、A 12、C 13、D 14、5或23 15、(1) 6 ；(2) 1； (3)三角形，7 cm ，6 cm ，4 cm ，34 cm 17 cm ，新图形的周长等于三角形ABC 的周长的一半或三角形ABC 的周长等于新图形的周长的2倍.
8．解：(1)作法：
①作射线AM ，
②在AM 上顺次截取AB =BC = a ， ③在线段AD 上截取AD =DE =b ， 则线段EC 就是所求的线段x . (2)作法：
①作射线AM ，
②在射线AM 上顺次截取AB =BC =a ， ③在射线CM 上顺次截取CD =EF =FG =b ， 则线段AG 就是所求的线段y .
9．解：(1)所作图形如图所示：
(2)①根据(1)，得AC =3AB ，∴BC =2AB ，AB =
2
1
BC ， DB =4AB ，AD =3AB ，∴AB =3
1AD ∴
31AD =2
1
BC ， 即2AD =3BC .
②∵AB =2cm ， ∴AD =3AB =6cm ， ∴BC =2AB =4cm ，
∵点P 是线段AD 的中点，点Q 是线段BC 的中点， ∴P A =
21AD =3cm ，BQ =2
1
BC =2cm ， ∴ PQ =P A +AB +BQ =3+2+2=7cm
16、①b -a ；②OA =5，OB =2，AB =7；③-5≤x ≤2 22、2
3
17． 解：∵点C ，D 把线段AB 三等分， ∴AC =CD =DB =
3
1AB . 设AB =3a ，则AC =a . ∵AP :PB =2:3， ∴AP =
52AB =52×3a =5
6a . ∵AP =AC +CP ， ∴AP =AC +CP =a +1. ∴
5
6a
= a +1.解这个方程，得a =5. ∴3a =15，∴AB =3a =15(cm)
18．解：1、若P A =3cm ，PB =4cm 时 点P 在线段AB 上；
2、若P A =10cm PB =3cm 或PB =17cm 时，点P 在线段AB 所在的直线上；
3、若P A =10cm 3cm< PB <17cm 时，点P 不在线段AB 所在直线上. 19．解：(1)①∵P 是线段AB 上一动点，沿A →B 以4cm/s 的速度运动，
∴当t =3 s 时，AP =3×4=12cm ． 故答案为：12；
②∵AB =32cm ，AP =12cm ， ∴PB =32-12=20cm ， ∵C 是线段PB 的中点， ∴CB =
21PB =2
1
×20=10cm ； (2)不变；
∵AP 中点为Q ，C 是线段PB 的中点， ∴QP =
21AP ，PC =2
1
PB ，
∴QC =QP +PC
=
21(AP + PB )=2
1
AB =16cm ． 20． 解：∵AE =14cm ，BD =6cm
∴图中所有线段的长度和
=AB +AC +AD +AE +BC +BD +BE +CD +CE +DE =(AB +BE )+(AC +CE )+ (AD +DE )+(BC +CD )+BD +AE =AE +AE +AE +AE +BD +BD =4AE +2BD =4×14+2×6=68cm.
21．解：(1)如图点P 在AB 之间①若点P 在C 公司的左侧，则点P 到3个公交公司的路程之和
为
PA +PC +PB =50-x +x +x +70=(120+x )km ；
②若点P 在C 公司的右侧，则点P 到3个公交公司的路程之和为 PA +PC +PB =50+x +x +70-x =(120+x )km.
(2)x +120=136，
解这个方程，得x =16.
即车站应设在距C 点16公里的地方； (3)x +120=120
当x 等于零时，距离最短.即车站P 在C 公司. 23．解：设QB =x ,
∵AQ :QB =4:1， ∴ AQ =4x ,
∴AB =AQ +QB =4x +x =5x .
点P 是线段AB 的中点, ∴AP =PB =
21AB =2
5x
. ∵PQ =6cm ，PQ =PB -QB ,
∴6=
2
5x
-x . 解这个方程，得x =4. ∴AB =5x =20.。