线段的和差 浙教版2019-2020学年度七年级数学上册讲义+分层训练(含答案)
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浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识 6.4 线段的和差
【知识清单】
1. 两条线段的和:如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和,那么这条线段叫做另两条线段的和.字母表示:若线段c 是线段a 与b 的和,记作:c =a +b .
2. 两条线段的差:如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差,那么这条线段就叫做另两条线段的差.字母表示:若线段a 是线段c 与b 的差,记作:a =c b.
3.注意:两条线段的和或差仍是一条线段.
4.(1)线段的中点:点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 与BC ,点C 叫做线段AB 的中点. (2)几何语言:①已知点C 是线段AB 的中点,
则AC =BC =
AB 2
1
或AB =2AC =2BC . ②若点C 在AB 上,且AC =BC =AB 2
1
或AB =2AC =2BC , 则点C 是线段AB 的中点.
5.同样一条线段有三等分点、四等分点、…、n 等分点.
6.简单的基本作图:(1)用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;(2)用圆规可以画出线段的和、差、倍.
7.延长线:延长线段AB 是指按从端点A 到B 的方向延长;延长线段BA 是指按从端点B 到A 的方向延长,这时也可以说反向延长线段AB ;关于射线AB ,反向延长射线AB .
【经典例题】
例题1、下列说法正确的是( )
A. 到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点
B. 两点之间的线段就是这两点的距离
C. 经过两点有一条直线并且只有一条直线
D. 五一小长假小张一家人自驾游,由天津出发到杭州全程路程约1151km ,这就是说天津
到杭州之间的距离是 1151km.
【考点】线段的和差.
【分析】根据线段中点的定义即可判断各选项. 【解答】A.少了在线段上这一条件,故本选项错误;
B.两点之间的线段的长度才是这两点的距离,故本选项错误;
C.两点确定一条直线,故本选项正确;
D.天津出发到杭州全程约1151km 是路程,而不是距离,故本选项错误. 故选C .
【点评】本题考查线段、射线、直线以及有关的概念和性质,属于基础题,熟练掌握线段、射线、直线以及有关的概念和性质是解决问题的关键.
例题2、如图,已知B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分,P 是AD 的中点,若AB =6,
求线段AD 和线段PC 的长.
【考点】线段的长短比较、线段的和差.
【分析】首先由B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分,知AB =4
1
AD ,即AD =4AB ,求出AD 的长,再根据P 是AD 的中点,得出P A =PD =2
1
AD ,求出AP 的长,最后由PC =AC -AP ,求出线段PC 的长.
【解答】∵B 、C 两点把线段AD 分成3∶5∶4的三部分,3+5+4=12,
∴AB =
41AD ,BC =12
5
AD ,CD =31AD
又∵AB =6, ∴AD =4AB =24, ∴BC =
12
5
AD =10, ∴AC =AB +BC =6+10=16. ∵P 是AD 的中点, ∴AP =
2
1
AD =12, ∴PC =AC -AP =16-12=4.
【点评】利用中点及其它等分点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,提高解决问题的效率,培养学生的数学素养. 【夯实基础】
1.下列四个图中,能表示线段x =
2
1
(a +c -b )的是( )
2.点P 在线段AB 上,下面四个等式:①AP =PB ;②AB =AP +PB ; ③AB =2AP ;④PB =
2
1
AB .其中能表示P 是线段AB 中点的有( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
3.若点P 是线段AB 的四等分点,且AP =12,则AB 的长为( )
A .48或24
B .24或16
C .48或16
D .48或24或16
4.如图,C 为AB 的中点,D 是BC 的中点,则下列结论正确的个数是( ) ①CD =DB =
21AC ;②CD =21(AB -AC );③CD =31(AC +DB );④CD =41AB ;⑤CD =5
1(AB +DB ). A .5个 B .4个 C .3个 D .2个
5.在线段AB 上取一点C ,则线段BC 与线段AB 的延
长线上取一点C ,线段BC 与AC 的反向延长线上取
一点C ,则线段BC 与线段AC
6.如图,直线上有四点A ,P ,Q ,B ,看图填空:
(1)AQ =_____+PQ =AB -_____; (2)PQ =AQ -_____=AB -_____-_____;
(3)若AQ =16cm ,BP =6cm ,AB =18cm ,则AQ +BP -AB =__ ___. 7.已知点P 在直线AB 上,线段AB =10cm ,(1)若BP =5
3
AB ,则AP 的长度为 ; (2)若BP =
5
3
AP ,则AP 的长度为 . 8.已知线段a ,b .
(1)利用圆规和直尺画一条线段x ,使x =2a -2b ; (3)利用圆规和直尺画一条线段y ,使y =2a +3b .
9.如图,已知线段AB ,按下列要求完成作图并回答问题:
(1)完成作图:①延长线段AB 到点C ,使AC =3AB ;②反向延长线段AB 到点D ,使DB =4AB ;③取线段AD 的中点P ,BC 的中点Q .
(2)回答问题:在(1)的条件下:①求AD 与BC 的关系;②如果AB =2cm ,求线段PQ 的长.
【提优特训】
10.若线段AB =15cm ,P A +PB =19cm ,那么下面说法正确的是( )
A .点P 在线段A
B 上 B .点P 在直线AB 上
C .点P 在直线AB 外
D .点P 在直线AB 上或点P 在直线AB 外
11.在数轴上有A ,B ,C ,D 四点,它们表示的有理数分别是212-,411-,8
7
-
,814-,则( )
A .点A 是线段CD 的中点
B .点B 是A
C 的中点 C .点C 是AB 的中点
D .点D 是BC 的中点
12.如图,AB =28,C 为AB 的中点,点D 在线段AC 上,且AD ∶CB =3∶7,点E 在线段CB 上,
且AC ∶CE =7∶2,则DE 的长为( )
A .8
B .10
C .12
D .14
13. 甲地离学校5km ,乙地离学校3km ,记甲乙两地之间的距离为d km ,则d 的取值范围为______.
A .2 km
B .8 km
C .2 km 或 8 km
D .2≤d ≤8 14.已知线段AB =14,在直线AB 上画线段BC =9,则线段AC = .
15.(1)在一次实践操作中,某人把两根长为19 cm 的竹竿绑接成一根长32 cm 的竹竿,则重叠部
分的长为_____ cm.
(2)若一条长度为2019cm 线段截取它的
21,截取它剩下的31,第3次截取它剩下的4
1
,依此类推,一直到截取剩下的
2019
1
,则最后剩下的线段的长度为 cm. (3)如图,三角形ABC 中,AB =14cm ,AC =12 cm.BC =8 cm ,用刻度尺分别作出每条边上的中点D 、E 、F ,连接D 、E 、F ,得到什么图形 三角形 , 量一量组成这个新图形的各边的长度分别为 ,并求出三角形ABC 周长为 与新图形的周长为 ,三角形ABC 的周长与新图形的周长的关系是 .
16.如图,①数轴上的点A ,B 分别表示有理数a ,b ,则线段AB =______;②当a =-5,b =2时,
OA =____,OB =_____,AB =_____;③若点x 在数轴是且25-++x x 取最小值,则x 的取值范围是 .
17.如图,点C ,D 把线段AB 三等分,点P 是线段CD 上,且AP :PB =2:3,若线段CP 的长为
1 cm ,求线段AB 的长.
18.已知线段AB =7cm ,P 为线段AB 所在平面内一点,请回答下列问题
1、若P A=3cm,PB等于多少时,点P在线段AB上?
2、若P A=10cm ,PB等于多少时,点P在线段AB所在的直线上?
3、若P A=10cm ,PB长在什么范围时,点P不在线段AB所在直线上?
19.如图,B是线段AD上一动点,沿A→D以4 cm/s的速度运动,C是线段PB的中点,AB=32 cm,设点P的运动时间为t s.
(1)当t=3 s时,①AB=____cm;②求线段CB的长;
(2)在运动过程中,若AP的中点为Q,则QC的长是否变化?若不变,求出线段QC的长;若
发生变化,请说明理由.
20.如图,点B、C、D在线段AE上,已知AE=14cm,BD=6cm,求图中所有线段的长度和.
21.如图,A、B、C是一条笔直公路上的3个公交公司,A、B之间的路程为120km,A、C之间的路程为50km,现准备在A、B两公交公司之间建一个加油站P,设P、C之间的路程为x km.
(1)用含x的代数式表示加油站到3个公交公司的路程之和.
(2)若加油站到3个公交公司的路程之和为136km,那么加油站P站应设在何处?
(3)要使加油站P到3个公交公司的路程之和最小,加油站P站应设在何处?
【中考链接】
22.(2019•模拟) 若点C是线段AB上的点,M,N分别是AC、BC的中点,则AN MC+2NM = AB.
23.(2019•模拟)如图,已知点P是线段AB的中点,点Q在PB上,若AQ:QB=4:1,PQ=6cm,求AB的长.
参考答案
1、C
2、B
3、A
4、D 5.AB >BC ,BC <AC ,BC >AC 6、(1)AP 、QB (2)AP 、AP 、QB (3) 4 7、 4或16,
4
25
或15 10、D 11、A 12、C 13、D 14、5或23 15、(1) 6 ;(2) 1; (3)三角形,7 cm ,6 cm ,4 cm ,34 cm 17 cm ,新图形的周长等于三角形ABC 的周长的一半或三角形ABC 的周长等于新图形的周长的2倍.
8.解:(1)作法:
①作射线AM ,
②在AM 上顺次截取AB =BC = a , ③在线段AD 上截取AD =DE =b , 则线段EC 就是所求的线段x . (2)作法:
①作射线AM ,
②在射线AM 上顺次截取AB =BC =a , ③在射线CM 上顺次截取CD =EF =FG =b , 则线段AG 就是所求的线段y .
9.解:(1)所作图形如图所示:
(2)①根据(1),得AC =3AB ,∴BC =2AB ,AB =
2
1
BC , DB =4AB ,AD =3AB ,∴AB =3
1AD ∴
31AD =2
1
BC , 即2AD =3BC .
②∵AB =2cm , ∴AD =3AB =6cm , ∴BC =2AB =4cm ,
∵点P 是线段AD 的中点,点Q 是线段BC 的中点, ∴P A =
21AD =3cm ,BQ =2
1
BC =2cm , ∴ PQ =P A +AB +BQ =3+2+2=7cm
16、①b -a ;②OA =5,OB =2,AB =7;③-5≤x ≤2 22、2
3
17. 解:∵点C ,D 把线段AB 三等分, ∴AC =CD =DB =
3
1AB . 设AB =3a ,则AC =a . ∵AP :PB =2:3, ∴AP =
52AB =52×3a =5
6a . ∵AP =AC +CP , ∴AP =AC +CP =a +1. ∴
5
6a
= a +1.解这个方程,得a =5. ∴3a =15,∴AB =3a =15(cm)
18.解:1、若P A =3cm ,PB =4cm 时 点P 在线段AB 上;
2、若P A =10cm PB =3cm 或PB =17cm 时,点P 在线段AB 所在的直线上;
3、若P A =10cm 3cm< PB <17cm 时,点P 不在线段AB 所在直线上. 19.解:(1)①∵P 是线段AB 上一动点,沿A →B 以4cm/s 的速度运动,
∴当t =3 s 时,AP =3×4=12cm . 故答案为:12;
②∵AB =32cm ,AP =12cm , ∴PB =32-12=20cm , ∵C 是线段PB 的中点, ∴CB =
21PB =2
1
×20=10cm ; (2)不变;
∵AP 中点为Q ,C 是线段PB 的中点, ∴QP =
21AP ,PC =2
1
PB ,
∴QC =QP +PC
=
21(AP + PB )=2
1
AB =16cm . 20. 解:∵AE =14cm ,BD =6cm
∴图中所有线段的长度和
=AB +AC +AD +AE +BC +BD +BE +CD +CE +DE =(AB +BE )+(AC +CE )+ (AD +DE )+(BC +CD )+BD +AE =AE +AE +AE +AE +BD +BD =4AE +2BD =4×14+2×6=68cm.
21.解:(1)如图点P 在AB 之间①若点P 在C 公司的左侧,则点P 到3个公交公司的路程之和
为
PA +PC +PB =50-x +x +x +70=(120+x )km ;
②若点P 在C 公司的右侧,则点P 到3个公交公司的路程之和为 PA +PC +PB =50+x +x +70-x =(120+x )km.
(2)x +120=136,
解这个方程,得x =16.
即车站应设在距C 点16公里的地方; (3)x +120=120
当x 等于零时,距离最短.即车站P 在C 公司. 23.解:设QB =x ,
∵AQ :QB =4:1, ∴ AQ =4x ,
∴AB =AQ +QB =4x +x =5x .
点P 是线段AB 的中点, ∴AP =PB =
21AB =2
5x
. ∵PQ =6cm ,PQ =PB -QB ,
∴6=
2
5x
-x . 解这个方程,得x =4. ∴AB =5x =20.。