专项11-1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算(解析版)

2020—2021八年级上学期专项冲刺卷（人教版）
专项11.1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知三角形中，某两条边的长分别为5和9，则另一条边的长可能是（）
A．4 B．5 C．3 D．14
【答案】B
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】
解：9+5=14，9-5=4，
所以第三边在4到14之间，
只有B中的5满足．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和．
2．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三长是奇数，则其周长为（）
A．15 B．13 C．11 D．15或13或11
【答案】A
【分析】
本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
【详解】
解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有5−3＜x＜5＋3，
即2＜x＜8，
因为三边都不相等，第三边长是奇数，
所以x ＝7，
所以周长＝3＋5＋7＝15．
故选：A ．
【点睛】
考查了三角形的三边关系，根据三角形三边长关系，得到第三边长的范围，是解题的关键． 3．如图，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高线，角平分线，中线，比较线段AC ，AD ，AE ，AF 的长短，其中最短的是（ ）
A ．AF
B ．AE
C ．AC
D ．AD
【答案】D
【分析】 根据垂线段最短即可得．
【详解】
解：由三角形的高线的定义得：AD BC ⊥，
由垂线段最短得：线段AD 最短，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形的高线、角平分线、中线、以及垂线段最短，掌握理解垂线段最短是解题关键． 4．如图AB AC ⊥，AD BC ⊥，其中4AC =，3AB =，5BC =，125AD =，165CD =，则B 到AD 距离为（ ）
A ．3
B ．5
C ．165
D ．95
【答案】D
【分析】
根据三角形高的定义可知，AD 长度就是点A 到线段BC 的距离，根据此解答即可．
【详解】
解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，
∴BD 垂直于AD ，
∴B 到AD 的距离等于BD 的长度=BC -CD =95，
∴点B 到线段AD 的距离是9
5，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC 边BC 上的高是解题的关键．
5．若线段AM 和线段AN 分别是ABC 边BC 上的中线和高，则下列判断正确的是（ ） A ．AM AN > B ．AM AN ≥ C ．AM AN < D ．AM AN ≤
【答案】B
【分析】
根据三角形的高的概念得到AN ⊥BC ，根据垂线段最短判断．
【详解】
解：∵线段AN 是△ABC 边BC 上的高，
∴AN ⊥BC ，
由垂线段最短可知，AM ≥AN ，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
6．如图，在ABC ∆中，,AD AE 分别是边BC 上的中线和高，2,3ABD AE S ∆==，则BC =（ ）
A ．2
B ．32
C ．4
D ．6
【答案】D
【分析】 先根据面积公式求出BD ，再根据中线的定义即可求解．
【详解】
解：∵AE 是ABC ∆边BC 上的高，2,3ABD AE S ∆==，
∴BD =2×3÷2=3，
∵AD 为ABC ∆边BC 上的中线，
∴BC =2BD =6．
故选：D
【点睛】
本题考查三角形的中线和高， 三角形的面积，熟练掌握中线的定义和三角形的面积公式是解题的关键．
7．三角形的重心是（ ）
A ．三角形三边的高所在直线的交点
B ．三角形的三条中线的交点
C ．三角形的三条内角平分线的交点
D ．三角形三边中垂线的交点
【答案】B
【分析】
根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
【详解】
解：三角形三条高的交点是垂心，A 选项不符合题意；
三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B 选项符合题意；
三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；
三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能
【答案】C
【分析】
根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．
【详解】
解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键. 9．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】
利用F 点为△ABC 的重心得到AF =2DF ，BF =2EF ，根据三角形面积公式得到S △BDF =2，S △AEF =2，
再利用E 点为AC 的中点得到S △BCE =S △ABE =6，然后利用四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF 进行计算．
【详解】
解：∵△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，
∴F 点为△ABC 的重心，
∴AF =2DF ，BF =2EF ，
∴S △BDF =12S △ABF =12×4=2，S △AEF =12S △ABF =12×4=2， ∵BE 为中线，
∴S △BCE =S △ABE =4+2=6，
∴四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF =6-2=4．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．
10．如图，AD 是ABC 的中线，BE 是ABD △的中线，EF BC ⊥于点F ．若12,3ABC S
BD ==，
则EF 长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【分析】
因为S △ABD =
12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14
S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】 解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC =12，
∴S △ABD =12
S △ABC =6，
同理，BE 是△ABD 的中线，S △BDE =12S △ABD ，
∴S △BDE =14S △ABC ，
∵S △BDE =1
2BD •EF ，
∴1
2BD •EF =1
4S △ABC ，
又∵△ABC 的面积为12，BD =3，
∴EF =2，
故选B ．
【点睛】
此题考查了三角形的面积，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解．
11．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，如果6AG =，那么线段DG 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．9
D ．12
【答案】A
【分析】
根据三角形重心的定义求解即可.
【详解】
∵AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，
∴AG ：DG=2：1,
∵6AG =，
∴DG=3.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键.
12．如图，D ，E 分别是ABC 的边AC ，BC 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A ．DE 是BCD △的中线
B ．BD 是AB
C 的中线
C ．A
D CD B
E EC ==， D ．BD 是ABC 的角平分线
【答案】D
【分析】
根据三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线判断即可得．
【详解】
点D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，
∴==，
AD CD BE EC
,
△的边BC上的中线，
BD
∴是ABC的边AC上的中线，DE是BCD
则选项A、B、C正确，
∠，
因为BD不一定平分ABC
所以选项D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是_____．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】
本题主要考察三角形稳定性的应用.如果已知三角形的三边长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定了,且它的形状和大小是固定不变的,这个性质叫做三角形的稳定性.本题即是根据上述知识解答的.
【详解】
解:根据三角形的特性可知照相机的底部的三脚架支撑利用的是三角形的稳定性
由此可知本题的答案.
故答案为：三角形的稳定性.
【点睛】
本题考察三角形稳定性的应用.
14．如图，点O 在ABC 内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．
【答案】125
【分析】
由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠BOC ．
【详解】
解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等，
∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，
∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） =180°-12
（∠ABC +∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =180°-12
⨯（180°-70°）
=125°，
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 15．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，则CBE BCE ∠+∠=______°.
【答案】90
【分析】
先根据平行线性质得出180ABC DCB ∠+∠=︒，再根据角平分线定义进行求解即可.
【详解】
∵AB CD ∥
∴180ABC DCB ∠+∠=︒
∵BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠
∴,ABE CBE DCE BCE ∠=∠∠=∠ ∴11118090222
CBE BCE ABC DCB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 故填：90.
【点睛】 本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键. 16．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．
【答案】2.5
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：根据三角形面积公式可得，1122ABC S
AB CE BC AD =⨯=⨯， ∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴1135622
AD ⨯⨯=⨯⨯， 解得 2.5AD =．
【点睛】
本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
17．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,
2AE CE ==则DE
的长为_________．
【答案】2或6
【分析】
利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．
【详解】
解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7
D ==A
E ∵AD 为ABC 的中线，
∴CD=BD=4，
当AE 在ABC 内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE 在ABC 外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
【点睛】
本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
18．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．
【答案】6
【分析】
根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．
【详解】
解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，
∴2GD＝AG，
∵S△ABG＝2，
∴S△ABD＝3，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的长．
(2)求△ABE的面积．
【答案】（1）125cm ；（2）3cm 2 【分析】 （1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；
（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高，
∴12AB•AC=12
BC•AD ， ∴341255
AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =
12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，
∴BE=EC ，
∴
12BE•AD=12
EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．
【点睛】
本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ．
20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．
（1）作出AB 边上的高CD ．
（2）5AC =，12BC =，13AB =，求高CD 的长．
【答案】（1）见解析 （2）13
60=
CD 【分析】
（1）过C 点作CD ⊥AB 即可；
（2）根据三角形的面积求解即可．
【详解】
解：（1）如图：
（2）∵在ABC 中，5AC =，12BC =，13AB =，∠ACB =90°，
∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ， ∴125601313
AC BC CD AB ⋅⨯=== 【点睛】
本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
21．如图，在89⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC 的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务．
（1）在图中画出ABC 的高AD ，中线BE ；
（2）先将ABC 向左平移1格，再向上平移2格：
①在图中画出平移后的A B C '''，并分别标注出点A ，B ，C 的对应点A '，B '，C '；
②图中与BAC ∠相等的角是________．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′
【分析】
（1）根据三角形的高和中线的概念作图即可；
（2）①将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移2格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；②根据平移的性质可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，线段A D 、BE 即为所求；
（2）①如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；
②由平移的性质知AC ∥A ′C ′，∠BAC =∠B ′A ′C ′，
∴∠BAC =∠AC ′A ′，
故答案为：∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′．
【点睛】
本题主要考查作图—平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
22．如图，12180,3B ∠+∠=︒∠=∠．
（1）求证：//EF AB ；
（2）求证：AED ACB ∠=∠；
（3）若点D E F 、、分别是AB AC CD 、、边上的中点，16ABC S =，求ADFE S 四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）由∠1+∠2=180°和∠1+∠4=180°得到∠2=∠4，根据平行线的判定得AB ∥EF ；
（2）根据AB ∥EF 得到∠ADE =∠3，再由∠3=∠B ，得到∠ADE =∠B ，从而判定DE ∥BC ，即可得到结论；
（3）根据中点的定义，三角形面积公式，逐步求出S △ADE 和S △DEF 的面积，从而可得结果．
【详解】
解：（1）∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，
∴∠2=∠4，
∴EF ∥AB ；
（2）∵AB ∥EF ，
∴∠ADE =∠3，
∵∠3=∠B ，
∴∠ADE =∠B ，
∴DE ∥BC ，
∴∠AED =∠ACB ；
（3）∵D 为AB 的中点，
∴S △ADC =12S △ABC =8， ∵E 为AC 的中点，
∴S △ADE =S △CDE =12
S △ADC =4， ∵F 为DC 的中点，
∴S △DEF =S △CEF =12
S △DEC =2， ∴S 四边形ADFE =S △ADE +S △DEF =4+2=6．
【点睛】
本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．
23．如图，AD 、BE 分别是△ABC 的高，AF 是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF 的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD 与BE 的比．
【答案】（1）20︒；（2）2：3
【分析】
（1）根据题意易得180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1352BAF BAC ∠=
∠=︒，然后根据角的和差关系可求解；
（2）根据等积法可得1122ABC S BC AD AC BE ∆=
⨯=⨯，然后根据题意可进行求解． 【详解】
解：（1）∵35ABC ∠=︒，75C ∠=︒，
∴180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，
∵AF 平分BAC ∠，
∴1352
BAF BAC ∠=∠=︒， ∴353570BFB ABC BAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∵AD 是ABC ∆的高，
∴90ADF ︒∠=，
∴907020DAF ∠=︒-︒=︒；
（2）∵AD BE 、分别是ABC ∆的高， ∴1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯， ∵4,6AC BC ==，
∴116422
AD BE ⨯⨯=⨯⨯， 即:2:3AD BE =．
【点睛】
本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．
24．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ，BE 分别为△ABC 的角平分线，连结DE ． （1）求证：点E 到DA ，DC 的距离相等；
（2）求∠DEB 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°．
【详解】
（1）过E 作EH ⊥AB 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AD 于G ，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∵∠CAH=180°﹣120°=60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH=EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH=EF，
∴EF=EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，
∴1
2
CDA
=∠DEB+1
2
∠ABC，
∴∠DEB=1
2
（∠CDA﹣∠ABC）=
1
2
∠BAD=30°．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．。