2019高中数学必修二(人教A版)模块综合测试 含解析

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模块综合试题
时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )
A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形
B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面
C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面
D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线
解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．
答案：B
2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )
A ．－6
B ．6
C ．－45
D.45
解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－2
3,解得a ＝6. 答案：B
3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )
A ．3πa 2
B ．4πa 2
C ．5πa 2
D ．6πa 2
解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,
在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,
∴SA ′＝2r.
在Rt △SAO 中,2r
SA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.
∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C
4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )
A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．
∵k AB＝4－2
3＋3＝1
3,∴l的斜率为－3,
∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.
答案：D
5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()
A. 3 B．2
C. 6 D．2 3
解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心
(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|
(3)2＋(－1)2
＝1.故所求弦长l＝
222－12＝2 3.
答案：D
6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．以上都有可能
题图答图
解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵
SG1
G1M
＝SG2
G2N
，∴G1G2∥MN.
∵M，N分别为AB，AC的中点，
∴MN∥BC.故G1G2∥BC.
答案：B
7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1
C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2
解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知
S
S1
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
1
2
1
＝1
4S；
S
S2
＝2
12
＝1
2S；⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
S
S3
3＝213＝1
3
4
S，故S1<S2<S3.
答案：A
8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()
A．截两坐标轴所得弦的长度相等
B．与两坐标轴都相切
C．与两坐标轴相离
D．上述情况都有可能
解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.
∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.
同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.
答案：A
9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.
答案：D
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成
的角分别为α，β，则α＋β等于( )
A ．120°
B ．90°
C ．75°
D ．60°
解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B
11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A. 2
B.21
2 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5
k 2
＋1
. ∴四边形面积的最小值为2(1
2×1×d 2－1)＝2，
∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D
12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )
A.125π12
B.125π9
C.125π6
D.125π3 解析：取AC 的中点O.
由O 到各顶点距离相等，知O 是球心． 设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝5
2.
故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π
6.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．
解析：由方程组⎩⎨
⎧
3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，
得交点A(－2,2)．因为所求
直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－2
3.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－2
3(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.
答案：2x ＋3y －2＝0
14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．
解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.
答案：48
15．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a
，
2
该球的表面积为3πa2.
答案：3πa2
16．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，
＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×20
5答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
解：设l：3x＋4y＋m＝0.
当y＝0时，x＝－m
；
3
当x ＝0时，y ＝－m
4.
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.
∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.
18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．
解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22
×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42
×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π
3
＋40π＋16π＝176π
3.
19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C(－D 2，－E
2)．∴k CB ＝6＋E 2
8＋D 2.
∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 2
8＋D 2·(－1
3)＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③
所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝
0.
20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.
(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；
(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为4
3时，求实数λ的值．
解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.
因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．
又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ， 又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.
(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.
又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；
作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.
因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.
同理，可证BC ⊥平面PAB ，
平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．
所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.
则直角三角形ABD 的面积为
S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.
所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM
`FM ＝233.
由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝2
3.
21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.
(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.
(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出
证明．
解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.
又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.
又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.
又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.
(2)当CD AB ＝2
时，能使DM ⊥MC.
证明：连接BD，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，
∴BD＝2a，∠BDA＝45°，
∴SD＝BD.
又∵M为SB的中点，
∴DM⊥SB.①
设CD的中点为P，连接BP，
∴DP∥AB，且DP＝AB.
故四边形ABPD是平行四边形．
∴BP∥AD.故BP⊥CD.
因而BD＝BC.
又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，
∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.
又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.
又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②
由①②知DM⊥平面SBC，
又∵平面SBC，∴DM⊥MC.
22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线
y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．
(1)求圆M 与圆N 的方程；
(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．
解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.
设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，
由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，
∴O ，M ，N 三点共线．
由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，
即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，
则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被
圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3
＝0，
圆心N到该直线的距离d＝3
，
2则弦长为2r2－d2＝33.。