文科高考数学精品讲义复习要点-新课标 第五章 平面向量 最新

OB
=(6,2),c=
BC
=(-1,-3).由c=λa+μb可得
1 3
λ
λ 6μ,解得
2μ,
λ μ
2, 1
2
所以
,
λ μ
=4.
答案 4
4 方法 平面向量基本定理的应用策略
平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解 的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用平 面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的 运算来求解.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方
用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的
加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在
求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、
相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知
向量有直接关系的向量进行求解.
例1 (2017广东东莞二模,4)如图所示,已知 AC=3 BC ,OA=a,OB =b,OC =c,
设P(x,y),∵|
AP
|=1,∴x2+y2=1,
∵
PM
=
MC
,∴M为PC的中点,∴M
x
2 2
3
,
y 2
,
∴|
BM
|2=
x
2 2
3
3
2
+
y 2
3
2
= x2 + y2 -3y+9
44
= 1 -3y+9= 37 -3y,
4
4
又∵-1≤y≤1,
∴当y=-1时,|
BM
|2取得最大值,且最大值为
49
故
AO
=
1
(
AB
+
AC
),
2
MO= AO - AM
=
1
(
AB +
AC )-
1
2
m
AB
=
1 2
1 m
AB
+
1
2
AC ,
同理
NO =
1 2
AB
+
1 2
1 n
AC .
由于向量
MO
,
NO
共线,
故存在实数λ,使得
MO
=λ
NO,
即
1 2
1 m
AB +
1 2
AC
=λ
1 2
AB
1 2
1 n
AC ,
22
答案 2
方法 3 平面向量坐标运算的解题策略
1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求
解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.将向量用坐
标表示出来,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合起来.
2.解题过程中注意方程思想的应用.
例4 (2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 3,平面ABC内的
1.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的长 度.如向量a=(x,y),求向量a的模长只需利用公式|a|= x2 y2 即可. 2.若不把向量放到坐标系中研究,则求此类问题的通法是利用向量的运 算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量a的模 进行如下转化:|a|= a2 . 例1 (2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|= 4,<a,b>= ,则|3a-2b|= ( B )
理和三角形的面积公式等内容进行求解.
例3 (2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与
b的夹角为 ( C )
A. B. C. 2 D. 5
3
2
3
6
解题导引 由a⊥(2a+b)得a·b =-2|a|2 利用向量的夹角公式及 范围求出a与b的夹角
解析 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
拓展延伸
1.若 AB+ AC=2 AD,则D为BC的中点,反之也成立.
2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条
件是OC =αOA+βOB ,且α+β=1,α,β∈R.
方法技巧
方法 1 平面向量线性运算的解题策略
.
解题导引
解法一:选择基底{ AB, AC },用基底表示 MO与 NO
利用两向量共线
的充要条件
列出向量等式 得出关于m与n的关系式
解法二:利用向量的中点
表示式写出 AO
由 AB =m AM , AC =n AN 得
AO 与 AM , AN 的关系 利用M,O,N三点共线,得出m与n的关系式
解析 解法一:连接AO,由于O为BC的中点,
AB
AB
PC
|
|
AC
AC
|
的条件下,存在λ,使得I为△ABC的内心;
=0⇔P为△ABC的内心.
(2)|
PA
|=|
PB
|=|
PC
|⇔P为△ABC的外心.
(3)
GA
+
GB
+GC
=0⇔G为△ABC的重心.
(4) PA·PB =PB ·PC =PC ·PA ⇔P为△ABC的垂心.
方法技巧
方法 1求平面向量模长的方法
动点P,M满足| AP |=1,PM =MC ,则|BM |2的最大值是 ( B )
43
A. 4
49
B. 4
37 6 3
C. 4
37 2 33
D. 4
解题导引
建系
求出点P的轨迹方程
写出|数思想求最值
解析 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2 3,0),B( 3,3).
则下列等式中成立的是 ( A )
A.c= 3 b- 1 a
22
C.c=2a-b
B.c=2b-a D.c= 3 a- 1 b
22
解析
因为
AC =3 BC
, OA =a, OB
=b,所以OC
=OA +
AC
=OA +
3
AB =OA+
2
3
(
OB
-OA
)=
3
OB
-
1
OA
=
3
b-
1
a,故选A.
2
2 2 22
方法 2 向量共线定理的应用方法
| a || b |
∈[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系.
2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a,b的夹角,则cos θ=
x1x2 y1 y2
.
x12 y12 x22 y22
3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定
便.另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 例6 (2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N
在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则 AP =
.
PM
解题导引
→求得λ,μ的值, 从而得 AP 的值
PM
解析
设
AB
=a,
AC
=b,
∵A、P、M共线,
∴存在唯一实数λ,使得
.
4
例5 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则
λ=
.
μ
解题导引 建立平面直 角坐标系 分别求出a,b,c的坐标 将坐标代入c=λa+μb中,利用方程思 想求出λ和μ 结论
解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小
正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= AO=(-1,1),b=
考点二 利用向量解决平行、垂直问题
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a⊥b⇔ x1x2+y1y2=0 . (2)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 . 拓展延伸 向量中常用的结论: 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)在
AI
=λ
|
a PA+b PB +c
一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.考点三 平面向量的坐标运算
1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、 C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共 线. 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定 的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程, 利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数 λ,就可以解决问题. 例2 (2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=
由于 AB , AC 不共线,
故得
1 2
-
1 m
=
1 2
λ且
1 2
=λ
1 2
1 n
,
消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,
化简即得m+n=2.
解法二:连接AO,∵O是BC的中点,
∴
AO
=
1
(
AB
+
AC
).
2
又∵
AB
=m
AM
,
AC
=n
AN
,
∴
AO
=
m
AM
+n
AN
.
2
2
∵M、O、N三点共线,
∴ m + n =1.∴m+n=2.
(4)cos θ=
ab
|a||b| .
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
5.坐标表示 (1)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=
x2 y2
.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|
AB
|=
两点间的距离公式.
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ,这就是平面内
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第五章 平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
知识清单
考点一 向量的线性运算及几何意义 1.向量的有关概念及表示法
2.向量的线性运算
3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实 数λ,使得b=λa成立.
考点二 平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这
AP=λ
AM
.
又M为BC的中点,∴
AP
=
1
λ(a+b).
2
又 AP = AB + BP = AB +μ BN = AB+μ( AN- AB)
=
AB
+μ
2 3
AC
AB
=(1-μ)a+
2 3
μb.
根据平面向量基本定理得
∴123AμμP=12124λλ,A, M解,得PMλ==541,μA=M53..
5
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),且0≤y≤b.
所以
PA
+3
PB
=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|
PA
+3
PB
|=
25 (3b 4y)2 (0≤y≤b),
所以当y=
3
b时,|
PA
+3
PB
|取最小值5.
4
答案 5
方法 2求平面向量夹角的方法
1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos θ= a b ,其中两个向量的夹角θ
.
解题导引 由a∥b的充要条件得λ的方程
解方程得λ的值
解析 ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
答案 -3
例3 如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线
AB、AC于不同的两点M、N,若 AB =m AM , AC =n AN ,则m+n的值为
5
∴| AP|∶| PM
|=4∶1,即
AP
=4.
PM
答案 4
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第五章 平面向量
§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用
知识清单
考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题 1.两向量夹角的定义和范围
2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3.平面向量的数量积
4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=⑤ |a|·cos θ . (2)a⊥b⇔⑥ a·b=0 . (3)当a与b同向时,⑦ a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑧ a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑨ |a|2 .
1.加法、减法、数乘运算
2.向量坐标的求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔ x1y2-x2y1=0 .
例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=
90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则| PA+3 PB|的最小值为
.
解题导引
根据题意,建立适当的
平面直角坐标系 设出相应点的坐标,
求得
PA
+3
PB
的坐标
表示出|
PA
+3
PB
|
利用函数思想得最小值
解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
所以a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos
3
A.52 B.2 13 C. 15 D.2 3
解题导引 由题意求得a·b的值 求得结果
利用|3a-2b|= (3a 2b)2
解析 由题意,得a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×4×cos =4,所以|3a-2b|=
3
(3a 2b)2 = 9a2 12a b 4b2 = 9 4 12 4 416 =2 13.故选B.