上海市初三数学圆中考复习

B A
C
例3：已知：如图，在⊙O中，弧AB=弧CD， AD、BC 相交于点E， 求证：OE平分∠AEC
B D
E O
A
C
• 例2：已知：如图，AD是⊙O的直径，点B、C分别 在⊙O上，AB=AC.求证：AD⊥BC
A
O B D C
• 例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，以 点C为圆心作圆，设圆的半径长为r. • （1）要使点A在圆C的内部，点B在圆C的外部，求r的取 值范围； • （2）要使AB与圆C相切，求r的值； • （3）以点A为圆心，作圆A与题（2）所作出的圆C相切， 求圆A半径的长 A
归纳总结：
C
O E A D B
• 在圆中，对于某一条直线存在 ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④ 平分弦所对的弧 的四组关系中，如果有两组关系 成立，那么其余的两组关系也成立。
弓形
由一段弧和其所对的弦组成的封闭图形
弓形高
二、直线和圆的位置关系： 如果⊙O的 半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： 直线l和⊙O相离
O
C A B

例6：如图，已知A、B、C在⊙O上，AB是⊙O的 内接正十二边形的一边，BC是⊙O的内接正四边形 的一边.求以AC为一边的⊙O的内接正多边形的边 数？
• 如图，在直角坐标系中，⊙P的圆心是P（a，2） （a>0），半径为2；直线y=x被⊙P截得的弦长为2 ，求a的值 .
• 例1：小杰和小丽要测量一个圆形的人工湖的半径， 他们在湖的边沿选取了A、B、C三点并用木柱标记， 而且A、B两点的距离与A、C两点的距离相等.经过 测量，得到BC长为240米,A到BC的距离为5米，画 出的示意图如图，他们能求出湖的半径吗？你来试 一试。
·· C · 三角形的外心 外接圆的圆心叫做这个________________
B O
·
圆的内接三角形 这个三角形叫做这个______________________
5、三角形的三条边的中垂线是否交于一点？这个点实 外 心。 质就是三角形的_____ 各顶点 6、三角形的外心到三角形___________ 的距离相等。 A
圆内圆心角，弦，弧，弦心距四者关系 定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或 优弧）、 两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组 量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。
A C B
O
1.圆心角相等 2.劣弧（或优弧）相等 3.弦相等 4.弦心距相等
C' B'
A'
垂径定理及其推论 1.如果圆的直径垂直于弦,那么这条直径
C
平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧. 2.如果圆的直径平分弦（不是直径）,那么这条 直径垂直这条弦,并且平分这条弦所对的弧.
B
O E A D
3.如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分 这条弧所对的弦。 4.如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经 过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 5.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧， 那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 6.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条 直线经过圆心，并且垂直于这条弦。
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE ⊥ CD,DF ⊥ CD
求证：AE=BF
• 例1：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点 ，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需要作 弦心距，这是一条非常重要 的辅助线。 弦心距、半径、弦的一半长 构成直角三角形，便将问题 转化为解直角三角形的问题。
O
·
B D
A
C
4、正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫 做正多边形的中心角
五、正多边形有关角的计算：
360 1、正n边形每个中心角= n
0
2、n边形内角和= （n－2）×180°
n - 2 180 3.正n边形每个内角=
n
0
360 或180 n
4.正n边形每个外角=
360 n
0
A
C
O

d>r
O
·d
· ·d
r r
r
l
直线l和⊙O相切
d＝r
O
直线l和⊙O相交
0≤d<r
· O · d ·l
l
切线判定方法1：
如果圆心到直线的距离d等于圆的半径r，那么直线与 圆相切。
切线的判定方法2：
切线的判定定理 经过半径的外端，并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
符号语言: ∵OA ⊥AB,OA是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线
B
·· C ·
O
·
内部 7、锐角三角形的外心位置必在该三角形的_______； 中点 ； 直角三角形的外心位置必在斜边的_________ 钝角三角形的外心位置必在三角形的_________ 外部 。
·
·
·
8、已知Rt△ABC的斜边长是10cm，则它外接圆 半径长是______ cm 。 5
c 2 。 9、直角三角形的斜边长是c，则它的外接圆半径长是______
中考圆复习
圆相关计算公式 2 （1）圆面积公式：s= r
(2)周长公式：c d 2 r n (3)弧长公式：l = r 180 n 1 2 (4)扇形面积公式：s r lr 360 2
一、点和圆的位置关系： 1、设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则 d P d>r 1）点P在圆外 _______ O r
O
A
·
·
l
2、下列直线是圆的切线的是：（ C A、垂直于圆的半径的直线 B、和圆有公共点的直线 C、与圆心距离等于圆的半径的直线 D、经过半径外端的直线
）
r1 · d
r2
r1
外离 d>r1+r2 r2 ·· d
r2
· 外切 d=r1+r2 r2
·
r1
r2
· · d ·
1 2
·
·· d·
r1
内切0<d= r - r
D
B
变式1：AC＝BD成立吗？ 变式2：AC、BD仍然成立吗？
G
A C
G
O
D B
变式3： 若OA=OB则AC=BD？.
A C
G
O
D B
变式4：
若OC=OD则AC=BD仍然成立吗？.
再变
.O
G C
B
A
E
C E A
O F D
B A
E
.O
G
F
B
D F
C
D
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AE⊥CD,垂足为E. BF ⊥CD垂足为F.求证：EC=DF
1 2
r1
· · d 内含0≤d< r - r
1
r - r <d<r1+r2
相交
2
定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
符号语言: ∵O1O2是连心线，AB是公共弦 ∴ O1O2 垂直平分AB
定理：相切两圆的连心线经过切点。
符号语言: ∵⊙O1,⊙O2相切于点A ∴ O1O2 经过切点A
一、正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

B
M
A
P
O
• 如图，圆O 经过平行四边形ABCD的三个顶点 A 、B 、D ，且圆心O在平行四边形的外部， ，圆 O的半径为5，求 tan∠DAB=1/2 ， AD BD 平行四边形的面积.
D A O
B C
• ⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm、3cm。两圆交于A、 B两点，AB＝4.8cm，求O1A与⊙B外切， ⊙O分别与⊙A、 ⊙B内切，且OA=7,AB=6，OB=5，求这三个圆的 半径长.
B A O
• 例5：如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AB、AC的 长分别等于⊙O的内接正六边形和正五边形的边长. • （1）试判断BC的长等于⊙O的内接正几边形的边 长； • （2）如果⊙O的半径OA=6，求⊙O的内接正六边 形的边心距及面积。

·
d
·
2）点P在圆上

d=r _______
O
· ·
P
r
3）点P在圆内

0≤d<r _______
O
· ·r
P
d
无数 个，圆心位置 1、经过已知点A和点B的圆有_______ 线段AB的中垂线上 在______________________ 。 不在同一直线上 2、经过___________________ 的三点确定一个圆。 3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，并且只能 作一个圆。 A 经过 一个三角形各顶点 三角形的外接圆 的圆叫做这个______________ 。
A
1、在圆和圆的 位置关系中经常 要解直角三角形。
2、注意几何的 分类讨论题
O1
C
O2
B
A C O B
2
O
1
例7：已知⊙O的半径R等于5，弦AB与弦CD平行， 弦AB=6，弦CD=8，求两条弦之间的距离。
练习：已知圆O的半径为5，它的内接等腰 三角形的的底边AB长为8，求此等腰三角形 的面积？
·
·
·
·
1、正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。
2、如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形。 3.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆。
四、几个概念： 1、正多边形的外接圆（或 内切圆）的圆心叫做正多边 形中心。 2、外接圆半径叫做正多边 形半径。 3、内切圆半径叫做正多边形边心距