空间立体几何图形的截面
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________A CBD分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（ ）分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D 。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。
高考数学：立体几何截面问题
高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。
截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。
二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。
2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。
截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。
三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。
2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。
四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。
2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。
不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。
2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。
不同的平面位置可以得到不同的截面大小。
六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。
2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。
七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。
2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。
3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。
⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。
平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。
⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。
⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。
⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。
可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。
⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。
⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。
⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。
附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。
⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。
法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。
⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EHA CBDBC BF BE V ⋅⋅=21水例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）A ．21 B ．87 C ．1211 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为8712121211=⋅⋅⋅-=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211112121311=⋅⋅⋅⋅-=V ，故选C 。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。
通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。
1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。
截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。
2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。
主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。
2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。
2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。
2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。
3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。
常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。
3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。
3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。
3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。
附件：本文档无附件。
法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。
2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
立体几何中的截面问题 教学设计
《立体几何中的截面问题》教学设计一、引言立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和体积。
在立体几何中，截面问题是一个非常有趣的话题，它涉及到了平面和立体图形的相互作用，对于学生来说是一个较为抽象的概念，但又是非常重要的。
在本次教学设计中，我们将以立体几何中的截面问题为主题，通过深入浅出的教学方式，帮助学生全面理解这一概念。
二、知识点介绍1.截面的定义在几何学中，截面是指一个几何图形在确定条件下与另一个几何图形交叠的部分。
在立体几何中，我们通常讨论的是平面与立体的交点部分，这些交点形成的图形称为截面。
2.截面与立体图形的关系通过对截面的研究，我们可以更加深入地理解立体图形的形状、体积和特性。
截面不仅可以帮助我们了解一个立体图形的内部结构，还能够将抽象的立体图形转化为平面图形来进行研究。
3.截面问题的应用在工程、建筑、艺术等领域，截面问题都有着广泛的应用。
通过对截面问题的研究，我们可以更好地理解和利用立体图形，从而应用到实际的生活和工作中。
三、教学目标1.了解截面的基本定义和特性。
2.掌握不同立体图形的截面求解方法。
3.能够应用截面问题解决实际生活中的问题。
4.培养学生分析和解决问题的能力。
四、教学内容与逻辑安排1.引入：通过展示一些真实生活中的立体图形，引出截面问题的概念，激发学生的兴趣。
2.理论知识讲解：首先介绍截面的定义和基本特性，然后分别针对不同的立体图形（如长方体、球体、圆柱体等）详细讲解其截面求解方法和特点。
3.实例演练：给出一些具体的例题，让学生通过实际计算和画图来掌握截面问题的求解方法。
4.拓展应用：结合实际生活中的案例，让学生应用截面问题来解决一些实际问题，培养学生的应用能力。
5.总结回顾：总结截面问题的求解方法和应用，强调理论与实际的联系，让学生对本次教学内容有一个全面的回顾和总结。
五、个人观点和理解在我看来，立体几何中的截面问题不仅是一个重要的知识点，更是一个非常有趣和实用的概念。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
立体几何截面面积取值范围
立体几何截面面积取值范围嘿，朋友！咱们今天来聊聊立体几何截面面积取值范围这个有点烧脑但其实也蛮有趣的话题。
想象一下，一个立体图形就像一个神秘的城堡，而截面就像是我们窥探城堡内部的窗口。
那这窗口能有多大、多小呢？这可就得好好琢磨琢磨啦！比如说一个正方体，咱们随便切一刀，那截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
那这各种形状的面积范围到底咋定呢？就拿三角形截面来说吧，它的大小能从几乎为零，就是那刀轻轻一蹭，到差不多能接近正方体一个面的一半。
这就好比你切蛋糕，轻轻划一下就一点点，使劲切就能大块一些。
再看看四边形截面，要是平行于某个面切，那面积就和对应的面有关系啦。
要是斜着切，那变化可就多了去了。
要是个圆柱体呢？横切就是圆，竖切就是长方形。
那圆的面积取值范围就得看圆柱体的底面半径，长方形的面积就得看高和底面直径的关系。
这就好像是在走迷宫，得找到正确的路才能搞清楚范围。
咱们来具体分析分析方法。
首先得明确图形的特征，像棱长、半径、高这些关键数据得心里有数。
然后想象着那把刀怎么切才能得到最大或者最小的截面。
比如说一个圆锥，从顶点竖着切，截面是三角形，面积相对小。
要是平行于底面切，那就是个圆，面积就大得多。
这就好像是和这些图形在玩捉迷藏，你得找到它们的“藏身之处”，才能算出截面面积的范围。
你说，这是不是有点像解开一道神秘的谜题？咱们得细心观察，大胆想象，才能找到答案。
其实啊，搞清楚立体几何截面面积取值范围，就像是掌握了一把神奇的钥匙，可以打开很多数学难题的大门。
当你真的搞明白了，那种成就感，就像在黑暗中突然看到了光明，爽得很！所以啊，别害怕，多琢磨，多练习，你一定能在这个神秘的立体几何世界里游刃有余！。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第8章 立体几何 指点迷津(八) 空间几何体的截面问题
所以截面面积为
+
S= 2
·h=
2+2 2
2
×
3 2
2
=
2 2
)
2
9
.故选
2
B.
=
9
2
=
3 2
,
2
本 课 结 束
3 3
因为 4
>
2 3
3
>
3 2
4
>
1
S=6·2
3
,选项
2
·
2
3 3
·sin 60° = 4 .
B,C,D 错误,故选 A.
(方法2)B1A1,B1B,B1C1与平面A1BC1所成的角都相等,如图所示,
在AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A上分别取点E,F,G,H,K,L.
设BE=BF=C1G=C1H=A1K=A1L=x,则CF=CG=D1H=D1K
和逻辑推理的数学素养有着较高的要求.
例题 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α
截此正方体所得截面面积的最大值为(
3 3
A. 4
3 2
C. 4
2 3
B. 3
3
D. 2
)
答案:A
解析:(方法1)正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱与截面α所成角相等,则过顶
点B1的三条棱B1A1,B1B,B1C1与平面α所成的角都相等,如质定理.
对点训练(2021内蒙古呼和浩特一模)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E为B1C1的中点,则过B,D,E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（ ）分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。
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专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV⋅⋅=21水是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。
空间立体几何图形的截面
空间立体几何图形的截面江苏省前黄高级中学许云峰教学背景本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。
教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。
2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。
3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。
重点与难点重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。
难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。
教学策略与教法设计策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。
教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。
这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。
2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。
3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。
4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。
教学过程设计先期准备在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。
教学目标提出探究空间几何图形上过任意三点的截面1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题
在高考数学中，立体几何截面问题是一个常见的问题。
截面问题考察的是学生的空间想象能力和动手操作能力，需要判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题。
解决立体几何截面问题的一般方法是通过作几何体的截面，将空间问题转化为平面问题。
这个过程需要学生利用已知不共线三点作几何体的截面，通过转化为平面问题来深化理解空间点线面关系。
在具体解题过程中，学生还需要掌握一些基本的定理和公式，如平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理等，以及一些常见的立体几何截面形状，如三角形、四边形、五边形等。
此外，学生还需要通过大量的练习来提高解题的速度和准确性，掌握不同类型题目的解题技巧和方法。
总之，高考数学立体几何截面问题需要学生具备扎实的数学基础和较强的空间想象能力和动手操作能力，通过不断的学习和练习来提高解题的能力。
立体几何的截面问题
立体几何的截面问题
嘿，咱来聊聊立体几何的截面问题啊！比如说，你怎么知道一个几何体被某个平面截了之后，截面会是什么形状呢？这就好像你切一块蛋糕，你能想象出不同的切法会得到什么样的切面吗？这多有意思呀！
再想想，如何找到截面与几何体各个面的交线呢？这不就像是在一个复杂的迷宫里找特定的通道一样吗？
还有哦，截面面积怎么求呢？哇，这可不是个简单的事儿呢，就像要算出一个奇形怪状的图形有多大一样难。
比如说一个三棱锥，它的截面面积能那么容易就求出来吗？
而且呀，截面问题里还常常会有最值问题呢！哎呀呀，就好像要在一堆选择里找到那个最棒的、最特别的一样，得绞尽脑汁去思考呢！
不同的几何体，截面的情况也完全不同呢！这就像不同性格的人面对同样的事情会有不同的反应，你说神奇不神奇？咱可不能小瞧了这立体几何的截面问题呀！。
高中数学立体几何截面图与体积的计算与应用
高中数学立体几何截面图与体积的计算与应用在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，而截面图与体积的计算与应用更是其中的重点。
本文将以具体的题目为例，详细解析截面图与体积的计算方法，并给出一些实际应用的案例。
一、截面图的计算方法截面图是指在三维图形中，通过截取某个平面，得到的二维图形。
计算截面图的关键在于确定截面的位置和形状。
下面以一个具体的例子来说明。
例题：一个正方体的边长为10cm，一刀切割，得到的截面图是一个边长为8cm的正方形，请问这个截面的位置是在正方体的哪个位置？解析：首先，我们需要知道正方体的截面是一个正方形，边长为8cm。
由于正方体的边长为10cm，所以截面的位置肯定在正方体的内部。
我们可以通过观察发现，这个截面是由正方体的对角线切割而成的，即截面的位置是在正方体的对角线上。
因此，这个截面的位置是在正方体的内部，并且位于对角线上。
通过这个例子，我们可以看出，确定截面的位置需要观察图形的特征，并且要有一定的几何直觉。
在实际解题中，我们可以通过观察图形的形状、边长等信息来确定截面的位置，从而计算出截面的形状和大小。
二、截面图与体积的计算在确定了截面的位置和形状后，我们可以通过截面图来计算体积。
下面以一个具体的例子来说明。
例题：一个圆柱体的底面半径为5cm，高为10cm，通过一个与底面垂直的平面切割，得到的截面是一个半径为3cm的圆，请问这个截面的位置离底面的高度是多少？解析：首先，我们需要知道圆柱体的截面是一个圆，半径为3cm。
由于圆柱体的底面半径为5cm，所以截面的位置肯定在圆柱体的内部。
我们可以通过观察发现，这个截面是由圆柱体的高度为10cm的位置切割而成的。
因此，这个截面的位置离底面的高度是10cm。
通过这个例子，我们可以看出，确定截面的位置需要观察图形的特征，并且要有一定的几何直觉。
在实际解题中，我们可以通过观察图形的形状、半径等信息来确定截面的位置，从而计算出截面的大小和位置。
《立体几何》微专题3 空间中的截面
《立体几何》微专题3 空间中的截面一､内容解析在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(如圆柱､圆锥､球､棱柱､棱锥､长方体等)所得的平面图形．高考中涉及空间几何体截面的地方较多，如:判断截面图形的形状，判断截面与其他直线(平面)的位置关系，计算截面的边长、周长和面积（或者求相关几何体的表面积､体积）等．在破解较复杂的综合问题的过程中，要把握好“定位”､“定形”､“定量”这三个环节．首先，由已知条件作出截面与空间几何体的交线；其次，根据线面位置关系相关定理确定截面的基本特征；再次，运用平面几何的有关知识计算截面的边长､周长、面积等．其中，作出空间几何体的截面图形是解决问题的关键．现将空间几何体中截面作图的主要原理(三个公理＋两个定理)梳理如下:1．三个公理ABPPA唯一的注:平面的三公理说明了三个问题:(1)平面是平的，平面是无限延展的；(2)要确定两平面交线，可以找两个两平面的交点；(3)确定一个平面的4种方法．【应用举例】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点､直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1．【分析】我们可以将截面与空间几何体表面的交集（交线）叫做截线，将截面与空间几何体的棱的交集（交点）叫做截点．本题的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．【作法】(1)连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．2．两个定理则过这条直线的任一平面与此平面的交【应用举例】(1)在三棱锥P－ABC中，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的截面α，使其平行于PB 和AC，请画出截面α与三棱锥表面的交线．【分析】若截面α与PB和AC平行，则交线分别与PB和AC中的一条平行．【作法】如图，过G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N，连接MN，可知EN∥FM，所以E、F、M、N四点共面，且MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM，则EF，FM，MN，EN即为截面α与三棱锥表面的交线．(2)如图，一个四面体木块ABCD，在△ABC的面内有一点P，过点P作一个截面α，使其垂直于直线AD，请画出截面α与四面体表面的交线．【分析】若截面α与AD垂直，则交线与AD垂直．由于在平面ABD和平面ACD内垂直于AD的直线有无数条，故根据面面平行的性质定理，可采用平移法，先作出AD的一个垂面，再平移至点P．【作法】如图，在AD上任取异于A，D的一点Q，过点Q分别在平面ABD和平面ACD 内作QR⊥AD，QS⊥AD，分别交AB，AC于R，S两点．连接RS，过点P在平面ABC内作EF∥RS交AB，AC于E，F两点．过F在平面ACD内作FG∥SQ交AD于G，连接EG，可先证明平面QRS∥平面EFG，再由面面平行的性质定理证明RQ∥EG，从而可证直线AD垂直于平面EFG，则EF，FG，GE即为截面α与四面体表面的交线．【注】截面问题中与平行有关的定理不仅可以用于在截面作图的过程中确定截面的交线，还可以判断截面图形的形状．有关线面､面面垂直的定理在解题时主要用于确定截面的位置关系，故不再专门列出．通过上述分析，可以将空间几何体中截面作图方法小结如下：① 若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线； ② 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内再找出第二个确定的点； ③ 若已知两个点分别在两个相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点； ④ 若所做截面要求与多面体的某一条棱平行，则由一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行的性质，可得截面与平面的交线； ⑤ 若两平行平面中的一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则由平行平面与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线； ⑥ 若有一个点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；同理，若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决．下面以正方体为例，列举其基本斜截面图形如下（横截面和竖截面均为正方形）： ① 三角形（锐角三角形） （等腰三角形） （等边三角形）注：可以分别用反证法和余弦定理证明，不可能出现直角三角形和钝角三角形截面． ② 四边形（梯形） （平行四边形） （菱形） （矩形） 注：可以用反证法证明，不可能出现直角梯形截面． ③ 五边形1A1A1A1A1A1A1A（普通五边形）注：可以用反证法证明，不可能出现正五边形截面． ④ 六边形（普通六边形） （正六边形）其他空间多面体和旋转体的截面也可以类似作出，并进行分类研究． 二､典型例题题型一､判断截面图形的形状例1 过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC 的中点E ，F 作一个截面使截面与底面所成的角为45o ，则此截面的形状为( )A ．三角形或五边形B ．三角形或六边形C ．六边形D ．三角形 【分析】此题中可以直接去找与底面成45o 角的截面，也可以找一些特殊位置的截面，通过计算其与底面所成角得出所求截面的相对位置，体现了运动变化的动态探究． 【答案】B 【解析】如图，显然，本题中的截面有两个，其中一个与线段B 1B 相交，截面为三角形，故只需判断另一个截面的位置和形状．111A1A A连接BD 交EF 于G ，设上下底面中心分别为O 1，O ，设过点D 1的截面与底面的所成角为α，易得tan α＝tan ∠D 1GD ＝223＜1， 故α＜45o ；设过棱A 1C 1的截面与底面的所成角为β，易得tan β＝tan ∠O 1GO ＝22＞1，故α＞45o ， 故所求截面应与A 1D 1，C 1D 1都相交(不过其端点)，为六边形． 故选B ．【注】若截面与棱D 1D 相交，则截面为五边形；若截面与棱A 1D 1，C 1D 1都相交(不过其端点)，则截面为六边形；若截面与棱A 1B 1，B 1C 1都相交(不过点B 1)，则截面为四边形．题型二､判断截面与其他直线(平面)的位置关系例2 如图，在下列三个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面．在各正方体中，直线BD 1与平面EFG 的位置关系描述正确的是( )① ② ③ A ． BD 1∥平面EFG 的有且只有①；BD 1⊥平面EFG 的有且只有② B ． BD 1∥平面EFG 的有且只有②；BD 1⊥平面EFG 的有且只有① C ． BD 1∥平面EFG 的有且只有①；BD 1⊥平面EFG 的有且只有②③ D ． BD 1∥平面EFG 的有且只有②；BD 1⊥平面EFG 的有且只有③【分析】无论是线面位置关系，还是面面位置关系，归根结底都应转化为对线线位置关系的探求．在判断截面与其他直线(平面)的位置关系的问题中，可以借助截面图形中现有的直线探寻位置关系，也可以将截面进行延展，作出与空间几何体的交线，通过交线(也可以是截面中的其他直线)探寻位置关系． 【答案】C【解析】若从图①研究起，取A 1D 1中点H ，通过截面EFHG 与对角面BDD 1B 1平行，可得BD 1∥面EFG ，从而排除B ，D 选项；1A1A1A若从图②研究起，可通过证明BD 1⊥EF ，BD 1⊥EG ，得证BD 1⊥平面EFG ，从而排除B ，D 选项；对比A ，C 选项，只需考查图③对应的结论:取AA 1中点M ，连EM ，FM ，仿图②，可证BD 1⊥平面EFM ，故BD 1⊥EF ；类似可证得BD 1⊥GF (BD 1⊥EG ) ．从而BD 1⊥平面EFG ，排除A ． 故选C ．题型三､计算截面的面积和周长例3 有一正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)木料ABC －A 1B 1C 1，各棱长都为2．已知O 1，O 2分别为上，下底面的中心，M 为O 1O 2的中点，过A ，B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( )A ． 7B ． 1639C ． 3194D ． 2【分析】本题中构造截面并发现截面的特征是解决问题的关键，而构造截面的过程需运用面面平行的性质定理． 【答案】 B【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长都为2，M 为O 1O 2的中点， 由面面平行的性质定理，可知过A ，B ，M 三点的截面为等腰梯形ABEF ， 则EF ＝13A 1B 1＝23，梯形的高为PD ＝22＋(233)2＝433，则截面面积为S ＝12×(23＋2)×433＝1639． 故选B ．例4 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )1AA ． 32＋2 5B ． 4＋4 2C ． 22＋2 5D ． 6 2【分析】本题中构造与AM 垂直的截面是解决问题的关键，而构造截面的过程需运用线面垂直的判定定理(定义)和面面平行的性质定理． 【答案】A【解析】如图，取BB 1中点N ，A 1B 1中点E ，连接MN ，AN ，BE ，可证AM ⊥面DBE ， 由面面平行的性质定理可知截面α与正方体的上下底面的交线平行．由E 为A 1B 1中点可取A 1D 1中点F ，则α即为截面BEFD ，易求周长为32＋25，故选A ．三､反馈练习A 组（一）单选题：1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台【答案】C【解析】A.圆柱的轴截面是一个矩形，此选项错误； B.圆锥的轴截面是一个三角形，此选项错误； C.球的截面是一个圆面，此选项正确； D.圆台的轴截面一个梯形，此选项错误． 故选C ．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD 与BC 相交．若平面α截此四棱锥得到的截面是一个平行四边形，则这样的平面α的个数是( )A ．不存在B ．恰有1个C ．恰有5个D ．有无数个1A【答案】D【解析】 在平面ABCD 中作直线MN ∥AB ，交AD ､BC 于点M ､N ，在平面PAB 中作EF ∥AB ，交PA ､PB 于点E ､F ，使MN ＝EF ，由线面平行的性质定理可知四边形EFNM 为平行四边形，这样的平行四边形显然可以做无数个，且平行四边形所在平面即为所求的平面α． 故选D ．（二）多选题：3. (多选题)过正方体中心的截面图形可以是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 【答案】BD【解析】过正方体中心的截面图形至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形．又因为截面是五边形时不过正方体的中心．过正方体一面上相邻两边的中点及正方体的中心的截面形状为正六边形． 故答案为BD ．4．(多选题)用一个平面截正四面体，下列结论中正确的是( ) A ．正四面体的截面不可能是正方形； B ．正四面体的截面可能是等腰梯形； C ．正四面体的截面可能是直角三角形；D ．若正四面体的截面是三角形，一定是等腰三角形． 【答案】BC【解析】利用正四面体的性质，分析4个选项，取正四面体各条棱的中点连接而成的截面图形是正方形，故选项A 错误；当截面只与正四面体对棱中的一条平行时，截面为等腰梯形，故选项B 正确；对于选项C 、D ，正四面体的截面可以是三角形，但不一定为等腰三角形，A如下图，过点A 作AO ⊥平面BCD ，要构造截面直角三角形APQ ，只需先在底面BCD 内构造直角三角形OPQ ，故选项C 正确，选项D 错误，故答案为BC ．（三）填空题：5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________． 【答案】平行【解析】由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1C 1B ＝A 1C 1，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，所以l ∥A 1C 1．6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积的最大值为_____________；平面α与正方体每条棱所成的角的正弦值为_____________． 【答案】32，33 【解析】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与A 1B 1，A 1D 1， A 1A 平行的直线各有4条， ∵A 1B 1＝A 1D 1＝A 1A ，∴三棱锥A 1－AB 1D 1是正三棱锥，∴A 1B 1，A 1D 1，A 1A 与平面AB 1D 1所成角相等，∴与正方体的12条棱所在直线所成角均相等的一个平面α是平面A 1BD 1(或平面AB 1C 或平面ACD 1)，且截面面积最大，1A由棱长为1，故AB 1＝2，再由三角形AB 1D 1为正三角形，其面积为34×(2)2＝32，故答案为32． 由顶点A 1到平面AB 1D 1的距离为体对角线的13，则平面α与正方体每条棱所成的角的正弦值为33a a ＝33．（四）解答题：7．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，试作出过AC 且与直线D 1B 平行的截面，并说明理由．【解答】如图，连接DB 交AC 于点O ，取D 1D 的中点M ，连接MA ，MC ，MO ，则截面MAC 即为所求作的截面．证明：∵MO 为△D 1DB 的中位线，∴D 1B ∥MO ．∵D 1B ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴D 1B ∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线D 1B 平行的截面．8．下图表示以AB ＝4，BC ＝3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE ＝5，BF ＝8，CG ＝12，1A A1A(1)截面四边形EFGH 是否为菱形？证明你的结论；(2) 求DH 的长． 【解答】(1)截面EFGH 为菱形．证明如下:∵平面ABFE ∥平面DCGH ，且平面EFGH 分别截平面ABFE 与平面DCGH 得直线EF 与直线GH ，∴EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ，∴四边形EFGH 为平行四边形．又∵EF 2＝AB 2＋(BF －AE )2＝25，FG 2＝BC 2＋(CG －BF )2＝25，∴EF ＝FG ＝5， ∴四边形EFGH 为菱形．(2) ∵几何体是长方体被一平面斜截所得的，∴AE ＋CG ＝BF ＋DH ，将AE ＝5，BF ＝8，CG ＝12代入得，DH 的长为9．B 组填空题：9．各面均为等边三角形的四面体ABCD 的外接球的表面积为12π，过棱AB 作球的截面，则截面面积的最小值为________． 【答案】2π【解析】根据题意，球的半径为3，面积最小的截面是以AB 为直径的截面，将四面体ABCD 放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，设AB ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为32a ×23＝33a ，可求得三棱锥的高为a 2－13a 2＝63a 2，则63a －32＋33a 2＝32，解得a ＝2，进而截面面积的最小值为π×22＝2π．故答案为2π．10．如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为________．AE【答案】π6 【解析】根据题意知，平面ACD 1是边长为2的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由上图得，△ACD 1内切圆的半径是22×tan30o ＝66， 则所求的截面圆的面积是π×(66)2＝π6．故答案为66．11. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点P 在对角线BD 1上，过点P 作垂直于BD 1的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP=x ，则当x ∈[33a ，233 a ]时，函数y=f （x ）的值域为________．【答案】{32a } 【解析】1AA1A如图，当x ∈[33a ，233 a ]时，截面多边形为六边形HIJKLM ， 设11111B I HIA CBC λ==，则11111C I IJ B C B C λ==-,故HI+IJ=2a 为定值，从而截面多边形（含三角形）的周长为32a ．12．如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝5，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为________．【答案】62 【解析】将四面体补成长､宽､高分别为3，2，1的长方体，如图，∵EF ⊥α，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL ＋KN ＝5，G 1A ABGHDA设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin θ＝sin ∠HFB ＝sin ∠LKN ，可得sin θ＝265， S MNKL ＝NK ·KL sin ∠NKL ≤62(NK ＋KL 2)2＝62，当且仅当KL ＝KN 时取等号，故该多边形截面面积的最大值为62．四､真题再现1． (2015全国2文 19)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解答】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图：(Ⅱ)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8．因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10．于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6． 因为长方形被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．2． (2016年全国1文 11)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32 B ．22 C ．33 D ．13【答案】A1A AAA 1【解析】因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为32，选A ．3． (2018全国1理 12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．334B ．233C ．324D ．32【答案】A【解析】记该正方体为ABCD －A'B'C'D'，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A'A ，A'B'，A'D'与平面α所成的角都相等，如图，连接AB'，AD'，B'D'，因为三棱锥A'－AB'D'是正三棱锥，所以A'A ，A'B'，A'D'与平面AB'D'所成的角都相等，分别取C'D'，B'C'，BB'，AB ，AD ，DD'的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB'D'平行，且截正方体所得截面的面积最大，又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×(23)2＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A ．4．(2019全国2文 16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．(本题第一空2分，第二空3分．)【答案】26，2－1．【解析】如图，依题意知，题中的半正多面体的上､下､左､右､前､后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，故该半正多面体共有18＋8＝26个面，或者逐层计算得8＋8＋8＋2＝26个面．关注到该半正多面体的俯视图（或水平截面、竖直截面）的轮廓是一个正八边形，设该半正多面体的棱长为x，则x＋22x＋22x＝1，解得x＝2－1．。
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空间立体几何图形的截面江苏省前黄高级中学许云峰教学背景本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。
教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。
2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。
3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。
重点与难点重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。
难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。
教学策略与教法设计策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。
教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。
这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。
2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。
3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。
4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。
教学过程设计先期准备在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。
教学目标提出探究空间几何图形上过任意三点的截面1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。
主要探究任意三点的位置和截面的形状。
2．探究圆锥的截面。
分组探究，层层推进，把问题推向纵深通过发挥学生自主学习的特点，并根据几何体的特征可以分类，故我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，师生共同总结等方法进行教学。
在此过程中，老师作为主导者，主要为学生提供必要的帮助和方向指引，而学习的过程主要靠学生自我完成。
学生进行分组协助学习。
每小组的探索活动都可分为三个层次进行：以最简单的图形出发，即三棱柱、三棱锥、三棱台研究任意三点的位置的取法。
随后作出过三点的截面（作法依据：公理及其推论），并拖动三点，观察截面的变化情况，从而得出结论，并进行组内交流，形成小组统一观点。
对几何体作广度延伸：把底面边数增加，类比的作出截面，并归纳出截面变化情况。
最后统一制作成作品，准备交流。
在小组探索中，充分发挥学生的自主性，使学生真正成为学习的主人。
各小组进行作品展示。
各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。
学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，进行知识建构。
发散与推广运用极限的逼近思想，来解决圆锥曲线的截面问题，使截面问题达到高潮：既加深对原有问题（多面体的截面）的认识，又引发出问题新的生长点，大大激发学生的探索兴趣。
把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。
以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。
并把圆柱和圆台的问题留在课后，使学生继续进行探究活动。
本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。
空间立体几何图形的截面江苏省前黄高级中学许云峰教学背景本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。
教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。
教学目标：1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。
2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。
3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。
重点与难点重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。
难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。
教学对象分析教学对象：高二及高二以上年级学生学生特点：（1）在操作方面：高二年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。
但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能熟练地操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要教学生软件的使用。
要做到能独立操作软件且能较熟练地完成一定的学习任务。
（2）在知识方面：高二的学生通过对立体集合内容的学习，对空间立体几何有较为全面的认识，但是空间想象能力还有待进一步提高。
本节课让学生自己操作软件，通过同学之间的相互协作及通过网络的交流来发现规律，实现知识的整合。
教学策略与教法设计策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。
教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。
这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。
2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。
3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。
4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。
网络环境分析：一人一机的网络教室和网络控制软件《TOP2000》等教学过程设计先期准备在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生了解如何作出形象的立体几何直观图。
教学目标提出探究空间几何图形上过任意三点的截面1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。
主要探究任意三点的位置和截面的形状。
2．探究圆锥的截面。
分组探究，层层推进，把问题推向纵深第一小组：探究柱体上过棱上任意三点的截面。
1．由三棱柱开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱柱截面情况；学生首先给出取点位置：（图1）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。
作出三棱柱，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况：当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。
图12．类似探究四棱柱，五棱柱……（图2）四棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
五棱柱：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。
第二小组：探究锥体上过棱上任意三点的截面。
1．由三棱锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱锥截面情况。
学生找出点的取法（图3）：两个在侧棱上，一个在底面；两个在底面，一个在侧棱；三个在侧棱。
AB CA B 图2作出三棱锥，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况。
有点在底面上时（不包括顶点），截面为四边形，否则为三角形。
2．类似探究四棱柱，五棱柱……（图4）四棱柱：截面可为五边形，四边形，三角形。
五棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
第三小组：探究台体上过棱上任意三点的截面。
1．由三台锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱台截面情况。
学生首先给出取点位置：（图5）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；图3图4棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。
作出三棱台，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱台截面的情况。
当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。
2．类似探究四棱台，五棱台……（图6）图5 图6四棱台：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。
五棱台：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。
各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。
学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，进行知识建构。
发散与推广把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。
我们以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。
本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。