数学：第15讲《位值原理与进位制进阶》讲义

天很多同类被抓走了，痛苦 的捂住了眼睛 . 他想知道 今天有多少同类被图中的怪 物抓走了，你该如何告诉 他？ 【答案】 （1）137 ； （2） 【分析】 （1）观察发现怪物共有 8 个手 指，可知怪物使用 8 进制： 2 1 1 8 2 8 137 （2）观察可知此怪物用六进 制，137 3 62 4 6 5 ，因 此 (137)10 (345)6 ，则表示方法 应为： 倒取余数法：
(4)a,b,c 分别是 0～9 中不同的数 码,用 a,b,c 共可组成六个三位数, 如果其中五个三位数之和是 2234,那么另一个三位数是 _____. 【分析】 (1)123+132+213+231+312+321 =1332 (2) abc acb bac bac cab cba 222 (a b c) ,一定是 222 的 倍数. (3)设这三个数字分别是 a 、b 、c , 有 222 a b c 2886, a b c 13; 百位最小为 1,和为 13,应该让个 位越大越好,个位为 9,因此最小 值为 139;
abcd cdab 1010a 101b 1010c 101d
,是 101 的倍数.在所给的 5 个数 中只有 9696 是 101 的倍数,故正 确的答案为 9696. 练一练 (1)一个四位数,将其 4 个数位上 的数字求和,再加上原来的四位 数,得到一个新的四位数;再将得 到的新四位数 4 个数位上的数字 求和,再加上这个新的四位数,又 得到一个新四位数;如此操作四 次,最后得到的数是 2012,问最初 的四位数是多少? (2)以五位数为例说明： 其原序数 和反序数之差一定是 99 的倍数．
制. 【分析】 （1）根据题意，可以得到不定 方程：36a 6b c 81c 9b a ， 化简得35a 80c 3b ； 由于35a 和80c 都是 5 的倍数， 推 知 b 一定是 5 的倍数，由于b 6 （六进制） ，则 b 为 0 或 5； 若b 0，则 7a 16c ，则 a 至少 为 16，不符合要求； 若b 5，则 7a 16c 3，当 a 5 时， c 2 ，则 abc 552； 2 (552)6 5 6 5 6 2 212 . （ 2 ） 根 据 题 意 有 ： 64a 8a b 49b 7 a a ，化简 由于b 7 ， 故而 a=3， 得 4a 3b ， b=4.
若 a b c 15 , 则 所 求 数 222 15 2234 1096 , 但 所 求 数为三位数,不合题意． 所以 , 只有 a b c 13 时符合题 意,所求的三位数为 652． 例2 (1) 如果 ab 7 a 0b , 那么 ab 等于 _____. (2) 一个两位数 , 在它的前面写上 3,所成的三位数比原来的两位数 的 5 倍小 32, 原来的两位数是 ____. 【分析】 (1)将 ab 7 a 0b ,展开整理得： (a 10 b) 7 a 100 0 b 70a 7b 100a b 30a 6b
移到右端构成一个新的 4 位数. 再将新的 4 位数的千位数字移到 右端构成一个更新的四位数 , 已 知最新的 4 位数与最原先的 4 位 数的和是以下 5 个数中的一个： ①9865； ②9867； ③9462； ④9696； ⑤9869.这两个 4 位数的和到底 是多少? 【分析】 (1)原式：1111a＋111b＋11c＋ d=1370, 所以 a=1,则 111b＋11c＋d=1370 －1111=259,111b＋11c＋d=259. 推知 b=2;则 222＋11c＋ d=259,11c＋d=37 进而推知 c=3,d=4 所以 abcd =1234. (2)设四位数 abcd ,那么
【分析】 (1)设第三次操作后得到的数为 abcd ,可得到 abcd a b c d 2012,解得 abcd 2005或 abcd 1987 ,之后 再继续倒推,可得到第二次得到 的数为 1979 或 1970;再倒推,可 得到第一次得到的数为 1957 或 1948;第一个数为 1937 或 1928. (2) abcde = edcba
例5 你来到了一个陌生的星球，这个 星球的人还处在用符号计数的 阶段，这个星球的一只猎物用 来表示， 代表十位， 代表百位. 下图为该星球的人，观察并回答 问题：
（1）他告诉你， 他今天打的猎 物数量是 ，这个数写成 十进制的数是多少？ （2）后来你在这个星球见到 了一只 ， 发现他们也有符号 相同的计数方法，他听说今
1001a 110b 110c 1001d 11 (91a 10b 10c 91d ) 因为等式的右边能被 11 整除,所 以 abcd dcba 能被 11 整除.4 个 数中只有 8657 是 11 的倍数,因此 和为 8657.例如： 4783+3874=8657 (4)设这个 4 位数是 abcd ,则最新 的 4 位数是 cdab .两个数的和为
5a b 由于位值的性质,每个数位上的 数值在 0~9 之间,得出 a 1,b 5. (2)设原来的两位数为 ab ,则 3ab 32 5ab,10a b 83, ab 83.
例3 (1)已知 abcd abc ab a 1370, 求abcd . (2)已知一个四位数加上它的各 位数字之和后等于2014,则所有 这样的四位数之和为多少? (3)一个 4 位数,它和它的反序数 的和是以下 4 个数中的一个：① 8656;②8657;③8658;④8667.这 两个 4 位数的和到底是多少? (4)一个 4 位数,把它的千位数字
1234 1 93 6 92 2 9 1，因 此 (1234)10 (1621)9
（3）
(125)7 1 7 2 2 7 5 68 1 82 4 (104)8
例6 （1） 已知六进制的 abc 化为九进 制后可以写成 cba ，那么这个数 写成十进制是多少？ （2）解方程 (aab)8 (baa)7 （ 3 ） 将 三 进 制 数 120120021021112001 化 成 九 进
练一练 哪种进制下， 有135 24 3636成 立？ 【答案】 七进制
【分析】 由于有 6，至少为七进制，由于 结果比十进制看起来要大，所以 一定少于十进制. 分析个位：5 4 6 14 ，可见只 能是七进制. 例8 （1） 艾迪的小店进了 7 盒糖果， 每粒糖果重量都应是 10 克，每 盒有 1000 粒. 收到后， 艾迪接到 厂商电话，说有一盒是坏的，每 粒都只有 9 克，机智的艾迪回答 说：我只用电子称称量一次就能 把坏的盒子找出来 . 那么艾 迪是如何做到的？ （2）艾迪的小店又进了 成 十 进 制 是 多 少？ （2）十进制的 1234 化成九进 制是多少？ （3） (125)7 化 成 八 进 制 是 多 少？ 【答案】 101、1621、104 【分析】 2 1 （ ） (145)8 1 8 4 8 5 101 （2）
abcd a b c d 2014,最后 求得 abcd 2006 或 1988,所以所 有四位数之和为 2006 1988 3994 ． (3)设原序数为 abcd ,则反序数为 dcba ,则 abcd ＋ dcba
(1000 a 100b 10c d )(1000 d 100c 10b a )
百位最大为 9,因为可以出现的 全是三位数,因此不可能出现 0, 个位最小为 1,最大值为 931. (4)由 a ,b , c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ．因为 2234 222 10 ,所以 a b c 10 ． 若 a b c 11 , 则 所 求 数 为 222 11 2234 208, 但 2 0 8 10 11,不合题意． 若 a b c 12 , 则 所 求 数 为 222 12 2234 430, 但 4 3 0 7 12 ,不合题意． 若 a b c 13 , 则 所 求 数 为 , 222 13 2234 652 6 5 2 13,符合题意． 若 a b c 14 , 则 所 求 数 为 222 14 2234 874 , 但8 7 4 19 14,不合题意．
（3）三进制的 00,01,02,10,11,12,20,21,22 正好 一一对应九进制的 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9； 因此，可将三进制从个位起两位 一段依次转化为九进制： (120120021021112001)3 (516237461)9 例7 （1）在七进制下进行加法： (1235)7 (4251)7 ； （2）在九进制下进行加法： (178)9 (8803)9 ； （3）在二进制下进行加法： (101011) 2 (1110) 2 . 【分析】 七进制下满 7 进 1；九进制下满 进 1；二进制下满 2 进 1；
(2)(引导和常规的位值原理不同, 如果一个个展开会非常麻烦 , 引 导前面的数和后面的数有哪些 相同的地方 , 引出整体思想的方 程 解 法 ) 设 学习好 A , 勤动脑 B ( 如果有学生问不是 三位数怎么办 , 请规定 0ab ab ), 可 得 到 (1000 A B) 5 (1000 B A) 8 , 整理后得到 4992 A 7995B ,化简 得：128 A 205 B ,128,205 出 现 2 重复,因此需要扩倍． 可以得 到最小的六位数是 410256
例4 (1)把 5 写在某个四位数的左端 得到一个五位数,把 5 写在这个 四位数的右端也得到一个五位 数,已知这两个五位数的差是 22122,求这个四位数. (2) 若用相同的汉字表示相同数 字,不同汉字表示不同数字,则在 等式 学习好勤动脑 5 勤动脑学习好 8 中．“学习好勤动脑 ”表示的六位 数最小是多少? 【分析】 (1) 设 这 个 四 位 数 为 x, 则 有 ： (50000＋x)－(10x＋5)=22122 或 (10x ＋ 5) － (50000 ＋ x)=22122, 得,x=3097 或 x=8013.
五年级数学星队秋季第十五讲 位值原理与进位制进阶 例1 【分析】 (1)用数字 1、2、3 各一个可以组 成三位数,所有这样的三位数之 和是____. (2)三个不同的非零数字 a,b,c 共 可以组成 6 个不同的三位数,这 6 个三位数之和一定是_____的倍 数. (3)三个互不相同的数字,可以组 成 6 个不同的三位数,知道这 6 个三位数的和为 2886 ,那么：这 三个数字的和为____;这六个三 位数中最小可能值是____;这六 个三位数中最大可能值是_____.
(10000a 1000b 100c 10d e)(10000e 1000d 100c 10b a )
9999a 990b 990d 9999e 99(101a 10b 10d 101e) 因为等式的右边能被 99 整除,所 以 abcde － edcba 能被 99 整除