六年级奥数 几何;第3讲;直线型面积_三_;教师版

第三讲 直线型面积（三）
1. 相似模型的熟练运用；
2. 燕尾定理模型的熟练运用.
一、相似三角形性质(平行线分线段成比例)
相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）
AD
AB
=AE AC
=DE BC
=AG AF
E D
A
G G E D B
A
相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方：
2
2
ABC ADE S AB S AD ΔΔ=
. 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化． 二、燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ΔΔ=．具体关系如下：
S ΔAGC :S ΔBGC =S ΔAGD :S ΔBGD =AD :DB
S ΔAGB :S ΔCGB =S ΔAGF :S ΔCGF =AF :FC S ΔABG :S ΔAGC =S ΔBGE :S ΔCGE =BE :EC G
F
E D
C B A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO Δ和ACO Δ的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．
板块一：相似模型
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？
F
E
D
C
B
A
【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以
::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4
10814
FC =×=+．
【巩固】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．
A E
D C
B
【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，
设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷×=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．
【例 2】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，
则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．
E
G
F A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，
所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，
9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，
则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．
Q E G
N
M
F P
A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份，2
2
::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG
S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同
理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份． 所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．
【例 3】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，
15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．
F
A
E
D
C
B
【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BC AF CE EF =，::DC AE CF EF =，设
正方形的边长为cm x ，所以有
1BC DC CE CF AF AE EF EF +=+=，即11510
x x
+=，解得6x =，所以正方形的边长为6cm ．
方法二：或根据一个金字塔列方程即
151015
x x
−=，解得6x =
【例 4】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
G
N
P
A
D C
B
【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有
PN AP BC AB =，PH BP
AD AB
=
，设正方形的边长为x 毫米，PN PH
BC AD +=
1AP BP AB AB
+=，即112080x x +=，解得48x =，即正方形的边长为48毫米．
【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是
ABC △ 边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．
E H G
M
F
A
D C
B
【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DE AD BC AB =，DG BD
AH AB
=
，所以有
1DE DG AD BD BC AH AB AB +=+=，设DG x =，则2DE x =，所以有21128x x +=，解得24
7x =，4827
x =
，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．
【例 5】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO +的面积是ABO +面积的几倍？
A
B
C
D
O E
F
A
B C
D O
【解析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且
::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO +的面积等于CBO +的面积；由11
24
OA BE AC ==可得
3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==+++，即CDO +的面积是ABO +面积的3倍．
【例 6】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三
角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？
A
B
C
D E F
G
N
A
B
C
D
E F
G
【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相似，这样，
就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．
因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且相似比为:4:121:3EF DC ==， 所以:1:3GN GM =，又因为12MN GM GN =−=，所以()18GM cm =，
所以三角形GDC 的面积为()21
12181082
cm ××=．
【例 7】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面
积是多少？
B M
N
E
【解析】
根据相似三角形的对应边成比例有：3
1223NF =++；12312
EM =
++， 则5
9NF =
，53EM =， 1951
2225330
S ⎛⎞⎛⎞=×−×−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠阴
【例 8】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．
D
A
B
C E
F
G
【解析】
因为DA ∥BE ，根据相似三角形性质知DG AG
GB GE
=
， 又因为DF ∥AB ，DG FG
GB GA
=， 所以
AG FG
GE GA
=
，即2225922515AG GE FG =⋅=×==，所以15AG =．
【例 9】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上
的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △
G
F
A
E
D
C B
M G
F
A
E
D
C
B G
F
A
E
D
C
B
【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有
::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有
::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S =
=××÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =×÷=△，4441232247AEF S =×−×÷−×÷−=△，根
据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432
(442)471111
ABG ABE S S ==××÷=+△△．
【例 10】 已知长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影
EHO △的面积是多少厘米？
H
O D
C
B
A
A
B
C D
O H
【解析】
因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么3ED AD ==份、2BF FG GC ===份，大家能在图形中找到沙漏EOD △和BOG △：
有3
4ED BG ∶=∶，所以34OD BO =∶∶，相当于把BD 分成(34+)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：EHD △和BHF △也是沙漏，32ED BF =∶∶，由此可以推出：32HD BH =∶∶, 相当于把BD 分成(32+)5份，那么我们就可以把BD 分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD 占15
份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 则可知BED △的面积为35
7042
÷=，在BD 为底的三角
形中HO 占6份，则面积为：356
3235
×=(平方厘米).
【例 11】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求
阴影部分的面积．
D E G
F
【解析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以
2
3
EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =++．
又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么1
2
EG BC =，
12
::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =++，所以:1:18CFG ABC S S =++，那
么18
CFG a
S =+．
【例 12】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，
交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．
A
B
C
D
E
F G
H
O
【解析】
由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==， 又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，
所以3
:5:10:32
AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==，
而()()11534cm 22AO AF ==×+=，所以()1040
4cm 1313
AG =×=．
【例 13】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，
1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？
S
R C
D
A
Q F
P
S
R C
A
Q
F
P
【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MN DC =，所以2PC PM =，又MQ MB
QC EC
=，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =−=，所以SPQR S 占AMCF S 的1
6，
所以12
1(112)63
SPQR S =××++=2(cm )．
(法2)如图，连结AE ，则14482
ABE S Δ=××=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB
EF EF ==，
22168333ABR ABE S S ΔΔ==×=(2cm )．而1134322
MBQ ANS S S ΔΔ==×××=(2cm )，因为MN MP
DC PC =，
所以13MP MC =，则114
24233
MNP S Δ=×××=(2cm )，阴影部分面积等于
1642
33333
ABR ANS MBQ MNP S S S S ΔΔΔΔ−−+=−−+=(2cm )．
板块二、燕尾模型
【例 14】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如
果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =
G
F E
D
C
B
A
【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG
S S ==△△,所以
:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△
【例 15】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D
在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【解析】 方法一：连接CF ，
根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE
S EC
==△△,
设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以55
1212
DCEF ABC S S ==△
方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33
ABD ABC S S ==△△，
11212233ADE ADC ABC S S S ==×=△△△，所以1
1ABD ADE S BF FE S ==△△，
1111111
22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =×=××=×××=△△△△，
而211323CDE ABC S S =××=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5
12
．
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且
:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
F E
D
C
B
A
【解析】 连接CF ，
根据燕尾定理，
2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36
510
ABF CBF S AE S EC ===△△,
设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =×=+△份，310623
CDF S =×=+△份，所以24545
200(6910)(
6)8(6)93(cm )88
DCFE S =÷++×+=×+=
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形
DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A B
C
D
E F
A B
C
D
E
F 2.41.62A B
C D
E F 12
【解析】
连接CF ,根据燕尾定理，1
2ABF ACF S BD S DC ==△△，23
ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，2
4 1.623
AEF S =×=+△ 份,3
4 2.423
EFC S =×
=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC S =÷×=△
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多
少平方厘米?
F
E D C
B
A
33F
E D C
B
A
213
【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55
1212
BCD S S =
=△阴影平方厘米.
【例 16】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四
边形AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
G
F
E
D C
A
【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB
S =△份，1BGC S =△份，则
11126S =++×=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷×=
【例 17】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF
的面积是_____平方厘米．
H
G
E
D
C
B A
H
G
E
D
C
B A
【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，
因此122)210S =++×=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以7
12010146
BFHG S =÷×=(平方厘米).
【例 18】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D C B
A
F
E D
C
B A
【解析】 连接CD ．
由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．
【巩固】在ABC Δ中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？
A B
C
D
E O
A
B
C
D
E O
【解析】 连接OC ．
因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ΔΔ==，即3
2
AOB AOC S S ΔΔ=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ΔΔ=
．则334
2223
AOB AOC AOE AOE S S S S ΔΔΔΔ==×=， 所以::2:1AOB AOE OB OE S S ΔΔ==．
【例 19】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，
:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =
，故2255
ABE ABC S S ΔΔ==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ΔΔ==，::3:2BCG ABG S S CE EA ΔΔ==，所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ΔΔΔ=，则419ACG S Δ=，9
19
BCG S Δ=；
那么2248
551995
AGE AGC S S ΔΔ==×=
； 同样分析可得9
19
ACH S Δ=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ΔΔ==，::4:19ACG ACB EG EB S S ΔΔ==，所以
::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，
所以5521101055BIE BAE S S ΔΔ==×=，5511
1919519
GHI BIE S S ΔΔ==×=
．
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC Δ中2BD DA =，2CE EB =，
2AF FC =，那么ABC Δ的面积是阴影三角形面积的 倍．
B
C
D
F
G
H
I
I
H
G
F
D
C
B
【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ΔΔ==，::1:2BCI ABI S S CF AF ΔΔ==，
所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ΔΔΔ=，
那么，22
1247
BCI ABC ABC S S S ΔΔΔ==++．
同理可知ACG Δ和ABH Δ的面积也都等于ABC Δ面积的
2
7
，所以阴影三角形的面积等于ABC Δ面积的21
1377
−×=，所以ABC Δ的面积是阴影三角形面积的7倍．
【例 20】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多
少?
35
30
4084
O F
E
D C
B
A
【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得
::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33
(84)6344
ACO S x x =×+=+△，
再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3
(84):(4030)(6335):354
x x ++=+−解得56x =
:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△
所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=
【巩固】(101中入学考题)一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅
热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、
南、北四部分(如图).修剪西部、东部、南部各需10分钟、16分钟、20分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？”
16
2010y x F
E
D B
A
【分析】 如右图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母．
即有(10):20:16(16):20:10x y y x +=⎧⎨
+=⎩，即有5404216y x x y =+⎧⎨=+⎩，解得20
24x y =⎧⎨=⎩
所以修剪北部草坪需要202444+=分钟.
【例 21】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，
AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E
F
N
M
G
A B
C
D E
F
【解析】 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以
1
5
ABM ABC S S =△△；
再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以
:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =×=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎞
=−=×=⎜⎟⎝⎠△△△． 根据题意，有1
5
7.25
28
ABC
ABC S S −=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)
【巩固】（2007年四中分班考试题)如图，ABC Δ中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，
若ABC Δ的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
F
A
B
C
D
E
M N
F A
B
C D
E
M
N
【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的
比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ΔΔ==，而2ACM ADM S S ΔΔ=，所以24ABM ACM ADM S S S ΔΔΔ==，
那么4BM DM =，即4
5
BM BD =．
那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ΔΔ=
××=××=，147
21530
CDMF S =−=四边形．
另解：得出24ABM ACM ADM S S S ΔΔΔ==后，可得1111
55210
ADM ABD S S ΔΔ==×=，
则117
31030
ACF ADM CDMF S S S ΔΔ=−=−=
四边形．
【例 22】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，
请写出这9部分的面积各是多少?
G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
【解析】
设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．
根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，
则1225ABC S =++=△(份)，所以1
5
ABP S =△
同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =−=
△，121
3721AQG S =−=△． 同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =−−=四边形，139********MNED S =−−=四边形,1151321426NFCE S =−−=四边形,1115
321642
GFNQ S =−−=四边形
【巩固】如图，ABC Δ的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么
四边形JKIH 的面积是多少？
K J
I H
A
B
C D E
F G
K
J
I H
A B
C
D E
F
G
【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ΔΔ==，::1:2ABK CBK S S AG CG ΔΔ==，
所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ΔΔΔ=，那么111247ACK S Δ==++，11
321
AGK ACK S S ΔΔ==．
类似分析可得2
15
AGI S Δ=．
又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ΔΔ==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ΔΔ==，可得1
4
ACJ S Δ=．
那么，1117
42184
CGKJ S =−
=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17
84
，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ΔΔ×++=×++=，所以四边形JKIH 的面积为619
17070
−=．
【例 23】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴
影部分面积.
I
H
E
D C
B
A
I
N
M
Q
P
H
E
D C
B
A
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接
AM 、BN 、CP
⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，
::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△
设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),
所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1
12AIM ABC S S =△△,
所以111
()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1
6
⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理
::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,
所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==×=△△△△,同理1
21
BEQ ABC S S =△△
在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以1
5
ABP ABC S S =△△
所以11
11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎞=−−=−−=⎜⎟⎝⎠
△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105
所以11113
133610570
S =−×−
×=阴影
【例 24】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中
心六边形面积.
I
G
H
E
D C
B
A
S R
I N
M Q
P
G
H
E
D
C
B
A
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,
::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△
所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,2
7CQB ABC S S =△△
所以2221
17777
RQS S =−−−=△
同理17
MNP S =
△ 根据容斥原理，和上题结果11131777010
S =
+−=六边形
【例 25】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =
乙
甲b
a
O
E
D
C
乙
甲
b
a
M
G
O
E
D C 【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题
目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，
根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF
∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =
【例 26】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，
且13AE AB =，1
4
CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG Δ与CGF Δ的面积之和为 ．
B
E
G
H B
E G
B
E
G
【解析】
(法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==， 所以1
22
AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，
所以12231
1033942AEG ABF ABCD S S S ΔΔ=××=××=-．
且22313342EG HF EC EC ==×=，故CG GE =，则1
152
CGF AEG S S ΔΔ=××=．
所以两三角形面积之和为10515+=．
(法2)如上右图，连接AC 、BG ．
根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ΔΔ==，::2:1BCG ACG S S BE AE ΔΔ==， 而1
602
ABC ABCD S S Δ==-，
所以3321ABG S Δ=++，160302ABC S Δ=×=，2321BCG S Δ=++，1
60203ABC S Δ=×=，
则1103AEG
ABG S S ΔΔ==，1
54
CFG BCG S S ΔΔ==， 所以两个三角形的面积之和为15．
练习1. 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．
A E
D C
B
【解析】
根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421DBCE S =−=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△
练习2. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的
一块直角三角形的面积是多少？
3
4O
F
E D
B
3
4O
F E D
B
【解析】
连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的1
4
，所以431OEB S =−=△,所以:1:3OE EA =,所以:5:8CE CA =,由三角形相似可得阴影部分面积为2525
8()88
×=．
练习3. 如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC
的中点，则三角形APD 的面积是 平方厘米．
A
B
C
D
P M
K
N A
B
C
D
P M
【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这
一点做垂线．
取AD 的中点N ，连接MN ，设MN 交PD 于K ．
则三角形PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三角形PDM 的
面积等于182MK BC ××=(平方厘米)，所以8MK=3(厘米)，那么84
433
NK =−=(厘米)．
因为NK 是三角形APD 的中位线，所以8
23
AP NK =×=(厘米)，所以三角形APD 的面积为
18
6823
××=(平方厘米)．
练习4. 如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占
ABC △ 面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
13.5
4.59
2
1121
3
O E D C
B
A
【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四
部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59
,,,30306030103020
+===
练习5. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，
7，则阴影四边形的面积是多少？
77
3
7
7
3F
E
D
C
x+3x
77
3F
E
D C
【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计
算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，
则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．
方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=
练习6. 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
4
3
21
【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系
的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.
方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（
），解得2S =阴影.
练习7. (2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相
交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C X
Q
P
A
B
C
4
4
11
X
Q
P
C
B
A
【解析】 方法一：连接PQ ．
由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =++，11
26
BPQ BCQ ABC S S S ==+++．
由蝴蝶定理知，21
:::4:136
ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===++++，
所以44122
6 2.455255
ABX ABP ABC ABC S S S S ==×==×=++++．
方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++×=△
练习8. 如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部
分的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
4
8
621
A
B
C
D
E
F
【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242
217
FDCE S +==。