2015-2016年上海市杨浦高级中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试
卷（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为．
2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝．
3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是．
4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为．
5．（4分）不等式的解集为．
6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则
＝．
7．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝．
8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．
9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．
10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．
11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范
围是．
12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．
下面命题：
①1›i›0；
②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；
③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；
④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．
其中真命题是．（写出所有真命题的序号）
14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）
A．12B．24C．36D．48
16．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A．B．3C．m D．3m
17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所
得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）
A．2πr B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．
20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．
21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．
（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；
（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．
22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的
公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．
（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；
（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：
（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；
（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．
23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．
（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；
（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．
（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为（，0）．
【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝{0}．
【解答】解：
∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2
则x＝﹣2，﹣1，1，2即A＝{﹣2，﹣1，1，2}
而U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁U A＝{0}
故答案为：{0}
3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是（﹣4，2）．
【解答】解：＝，可得＝，
可得，解得a∈（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为x＝log43．
【解答】解：令4x＝t，（t＞0）．
则当t≥2时，t2﹣2t﹣3＝0，解得t＝3或t＝﹣1（舍）．
∴x＝log43．
当0＜t＜2时，t（2﹣t）＝3，即t2﹣2t+3＝0，方程无解．
故答案为：x＝log43．
5．（4分）不等式的解集为．
【解答】解：等价于lgx++2＝+2≥0，
即，
解得0＜x≤或x＞1，
故不等式的解集为．
故答案为：．
6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则
＝4．
【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系
可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）
∵
∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣
因此，＝＝4
故答案为：4
7．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝2n．
【解答】解：由①，得a2＝2，
且（n≥2）②，
①÷②得：，
∴数列{a n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
则．
故答案为：2n．
8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为20160．
【解答】解：由题意，在（2x+y+z）10的展开式中，含有x3y2z5的项为，所以系数为8××＝20160．
故答案为：20160．
9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．
【解答】解：圆ρ＝2的圆心为（0，0），半径为2；
沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；
绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；
设p为所求圆上任意一点，则OP＝ρ＝2×2cos（θ﹣）＝4cos（θ﹣）．
故答案为：ρ＝4cos（θ﹣）．
10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5
人中的2人）的概率是．
【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，
设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，
则基本事件总数n＝45，
这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：
m＝+，
∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：
p＝＝＝．
故答案为：．
11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．
【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|的零点个数，
即函数y＝f（x）与y＝log a|x|的交点的个数；
f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，
据此可以做出f（x）的图象，
y＝log a|x|是偶函数，当x＞0时，y＝log a x，
则当x＜0时，y＝log a（﹣x），做出y＝log a|x|的图象，
结合图象分析可得：
要使函数y＝f（x）与y＝log a|x|至少有6个交点，
则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．
所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．
故答案为：（0，]∪（5，+∞）．
12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是（，
）．
【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．
∴a+b+＝1，∴，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，
∴0＜a＜，
∵投篮一次得分ξ的数学期望，
∴3a+2b＝3a+2（﹣a）＞，解得a＞，
综上，．
故答案为：（，）．
13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．
下面命题：
①1›i›0；
②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；
③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；
④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．
其中真命题是①②③．（写出所有真命题的序号）
【解答】解：①．∵1＝1+0•i，i＝0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．
又0＝0+0•i，∵实部0＝0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．
②设z k＝a k+b k i，k＝1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1＝a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；
③令z＝a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，
当a1＝a2时，b1＞b2，故a1+a＝a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；
当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；
④取z＝0+i＞0，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（a k，b k∈R，k＝1，2），
不妨令a1＝a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1＝﹣b1+a1i，z•z2＝﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故
④不正确．
由以上可知：只有①②③正确．
故答案为：①②③．
14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝1007．
【解答】解：S2016＝0，（﹣1）k＝0，
即＝，
∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，
∴≥，
∴a2k﹣1＝a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，
∵a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），
∴当取最小值，
∴a2016＝1007，
故答案为：1007．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）
A．12B．24C．36D．48
【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，
0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得
0.18+16d＝1 可以求得d＝
∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）＝36．
故选：C．
16．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A．B．3C．m D．3m
【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．
故选：A．
17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+＝kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选：B．
18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）
A．2πr B．C．D．
【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的
一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，
例如动点从A到S，再到C，到B回到A，
∠SOA＝∠SOC＝90°，∠COB＝∠BOA＝60°，
则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，
即：＝
故选：B．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN；
（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．
【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），
得，，
∴，∴AB⊥MN．
（2）解：取平面AMB的一个法向量为，
设平面AMN的法向量，又，，
由，取平面AMN的一个法向量，
设二面角N﹣AM﹣B为α，则＝，
∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．
20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意：
可得：
⇔
f（x）的最小正周期T＝
sin x的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，
∴的最大值是2．
所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．
（2）由（1）可知．
∵＝1，得：，
∵0＜A＜π，
∴，
∴，
解得：．
又∵，即，
∴b2+c2﹣bc＝3，
又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），
则有：3+bc≥2bc，
∴bc≤3，
∴，
所以：△ABC面积的最大值为：．
21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．
（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；
（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．
【解答】解：（1）因为CD＝30﹣t＝20，解得t＝10；…3分
此时圆E：x2+（y﹣10）2＝202，
令y＝0，得AO＝10，
所以OD＝AD﹣AO＝30，
将点C（30，20）代入y＝﹣ax2+30（a＞0）中，
解得；…7分
（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD＝30﹣t，
在y＝﹣ax2+30中，令y＝30﹣t，
解得，
则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分
所以恒成立，而，当，即t＝15∉（0，10]时，
由（）递减，
可知：当t＝10取最小值；…12分
故，
解得．…14分．
22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的
公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．
（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；
（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：
（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；
（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．
【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，
∴a1n＝1+（n﹣1）d1，a2n＝1+（n﹣1）d2，a3n＝1+（n﹣1）d3．
∵每一列也是等差数列，∴2a2n＝a1n+a3n，
∴2+2（n﹣1）d2＝1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2＝d1+d3
∴d1，d2，d3成等差数列．
∵a mn＝1+（n﹣1）d m，
a mn＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）
（d2﹣d1），
∴1+（n﹣1）d m＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）
化简得d m＝（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．
（2）当d1＝1，d2＝3时，d m＝2m﹣1（m∈N*），
按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）＝m2个数．
则前m组的所有数字和为，
∴，∵c m＞0，∴c m＝m，
从而，m∈N*，
∴S n＝1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，
∴2S n＝1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，
∴﹣S n＝2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1＝2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）×2n+1﹣6．
∴．
（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．
令a n＝（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）＝（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．
∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，
所以，满足条件的所有正整数N＝5，6，7，8， (20)
23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．
（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；
（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．
（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．
【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2＝0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，
r＝
∴圆的方程为：x2+y2＝1
圆与x轴的交点A（1，0），与直线y＝x在第一象限的交点B为（，），
由＝x+y，可得：，将代入x2+y2＝1
得到：x2+y2+xy＝1，（）即为曲线Γ的方程；
（2）∵两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．
∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）
那么：|EF|＝
同理：
联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）
那么：|MN|＝
由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S＝|MN|•|EF|＝2×＝
∵．（当且仅k＝±1时等号成立）
∴
⇒
故当k＝±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．
（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1，（）
关于直线y＝x，也关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称
证明：
设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有
点P关于直线y＝x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y＝x对称．
同理：
曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称．
证明曲线Γ为椭圆型曲线．
证明：
曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）
曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）
|0A1|＝，|0B1|＝，那么，
在y＝﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）
设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|＝
＝
＝＝
＝＝
因为xy≤，
∴＝2＝|A1A2|
即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．
可以反过来证明：
若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy＝1
故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．。