直线平面平行的判定及其性质

证明：∵α ∩β ＝b，∴bα ∵ a∥α ，∴a与b无公共点，
∵aβ ，bβ ，∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.
直线与平面平行的性质定理：
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。
符号表示：
a //, a , b
作用： 可证明两直线平行。
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行； ×
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
知的条件怎样找这条直线？
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
证明：连结BD.
练习反馈：
1.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
l
a
b
α
β
练习反馈：
2.一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这 两个平面的交线平行。
已知直线a∥平面α，直线
b
a∥平面β ，平面α平面
a
β =b，求证a//b.
b
ca d
例题示范
例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的
求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO.
D1
C1
∵O 为矩形ABCD对角线的交点, A1
B1
∴DO=OB,
E
又∵DE=ED1,
D
C
∴BD1//EO. BD1 平面AEC
A
EO

平面AEC


BD1
//
平面AEC
BD1 // EO

O B
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a

b
a
b




a
//
a // b
线线平行
线面平行
复习回顾：
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
a // b
β
a
α
b
欲证“线线平行”，可先证明“线面平 行”。
直线和平面平行的判定定理:
直线与直线平行
直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理:
注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行； 但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面 内与它共面的直线平行．
A
F
E
D
B
C
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O
为底面正方形DBCE对角线的交
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.(04年天津高考)
B
A
D
O
F E
C
分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O
为底面正方形DBCE对角线的交
又D1A 平面C1BD,
CB 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD， 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1,
所以，平面AB1D1∥平面C1BD。
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
求证：平面DEF∥平面ABC。
D
F
A EC
B
2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M， N，G分别为△ABC，△ABD， △BCD的重 心，求证：平面MNG∥平面ACD。 B
N· ·G
M·
A
D
C
小结：
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
探研新知
探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条
直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
a
a
b α
b α
答:由直线与平面平行的定义，如果一条直线a
与平面α 平行，那么a与平面α 无公共点，即a 上的点都不在平面α 内，平面α 内的任何直线 与a都无公共点，这样，平面α 内的直线与平面 α 外的直线a只能是异面直线或平行直线。
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质）
EF 平面BCD BD 平面BCD EF//平面BCD
FE//BD

变式1:
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
别为AB、AD上的点，若
AE EB

AF FD
，则EF
与平面BCD的位置关系是_E_F_/_/平__面__B_C__D__.

归纳结论
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .
(线线平行 线面平行)
a
符号表示：
a
b

b




a
//

a // b
感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面
感受校园生活中线面平行的例子:
球场地面
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉， 前后两块黑板也是平行的。Biblioteka Baidu
(1)三角板或课本的一条边所在直线与 桌面平行，这个三角板或课本所在平 面与桌面平行吗？
(2)三角板或课本的两条边所在直线分 别与桌面平行，情况又如何呢？
当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。
线面平行 线线平行
面面平行
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D A
C B
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
练一练,巩固新知:P58练习1,2,3题
1、如图：P三D棱 锥PEP-APBFC, D,E,F分别是棱 P PA，PB，PPAC中P点B ，PC
（１）平面内有一条直线与 平面平行，，平行吗？
（２）平面内有两条直线与平 面平行，，平行吗？
（1）中的平面α，β不一定 平行。如图，借助长方体模 型，平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B'，但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。
（2）分两种情况讨论：
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。
探研新知
探究4.教室内的日光灯管所在的 直线与地面平行，如何在地面上 作一条直线与灯管所在的直线平 行？
答:只需由灯管两端向地面 引两条平行线,过两条平行 线与地面的交点的连线就 是与灯管平行的直线。
例题示范
例1：已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
第一步:将原题改写成数学 符号语言
如果平面β内的两条直线 Q
是相交的直线，两个平 面会不会一定平行？
P
直线的条数不是关键 直线相交才是关键
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示：
ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a


线不在多，重在相交
行的平面．×
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平 面AB1D1//平面C1BD 证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
探研新知
探究3.如果一条直线a与平面α 平行,在 什么条件下直线a与平面α 内的直线平 行呢？ 答:由于a与平面α 内的任何直线无公共 点，所以过直线a的某一平面，若与平 面α 相交，则直线a就平行于这条交线。
下面我们来证 明这一结论.
探研新知
已知：如图，a∥α ， a β ，α ∩β ＝b。 求证：a∥b。
提出问题、引入新课
提出问题:如果已知直线与平面平 行，会有什么结论？
直线与平面平行的性质
探研新知
探究1.如果一条直线与平面平行，那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行？
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行，这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。
2.2.3《直线与平面 平行的性质》
复习旧知
线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判 定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一条 直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平 面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条件 是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平 行。 平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。定理中的线与线、线与面应具备 的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平 行于另一个平面。
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。
3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
巩固练习:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
的平面是__平__面__Ｂ__Ｃ__1_、__平__面__C__D. 1
D1 A1
C1 B1
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a



探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
（2）直线 a与平面 相交吗？

a
b
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
a
b




a
//
a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。
2.2.2《平面与平面 平行的判定》
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢?
D A
C B
巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中 点，求证:BD1//平面AEC.
分析：要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找
A1
D1
一条直线与BD1平行.根据
E
已知条件应该怎样考虑辅
C1 B1
助线?
D
C
O
A
B
巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平 行的转化？→如何作辅助平 面？
第三步:书写证明过程
例题示范
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α β =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 画的线和面AC有什么关系？
解：（1）过点P作
EF∥B’C’，分别交棱
A’B’，C’D’于点E，F。
连接BE，CF，则
D1
E
C1
EF，BE，CF就是应画的线。 A1
P
F
B1
D
C
B A
例题示范
例2：有一块木料如图，已知棱
BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.
证明:连结OF,
B
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
∴BO=OE,
又AF=FE,
∴AB//OF,
AB 平面DCF
OF 平面DCF AB//平面DCF
AB//OF

A
D
O
F E
C
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.