第六章薄壳

其中
0 0
(6.2)
任一单元e有4个节点，其全部节点位移的 变换则为
T
' e
e
(6.3)
而变换矩阵为
T
(6.4)
这里，{δ’}e及{δ}e分别为e单元在局部坐标与总 体坐标中的节点位移列阵，各有4X6=24个分量。


由于壳体变形和承力的复杂性，再加上 本身几何形状的复杂性，使壳体结构的 分析成为力学中相当因难的一类问题。 在一些不同的假设条件下，可以列出各 种控制方程，但是，只有在很特殊的情 况下，才能求得其位移和应力的解析解， 而且解的形式一般也是相当繁杂而不便 于工程应用的。

采用有限元方法分析壳体，可以将整个 结构分成很多单元，当单元很小时，可 以把每个单元近似为平板、折板或某种 常曲率的壳块等，对于这种几何形状比 较简单的单元，其变形与应力分析就方 便多了。
壳体变形时，中曲面不但发生弯曲，而 且也发生了面内的伸缩变形，这点与薄 板不同。 薄壳弯曲时，中曲面曲率发生了改变， 产生了横截面（通过法线的截面）上的 正应力和平行于中曲面的剪应力。这些 应力在截面内合成为弯矩和扭矩。这些 弯曲的内力，可合了面内的伸 缩变形，对应有中曲面内的正应力和剪 应力，可合称为中面力和膜力。 薄壳的膜力与弯矩是互相影响的，它们 共同承担着壳体上承受的外载荷。



如取为平板单元，则平板的弯曲和面内变形互 不影响，可视为平板弯曲与平面问题的叠加。 如取为某种特定的曲壳块单元，一方面简化了 单元的几何性质（如为圆柱壳、二次曲面等）， 另一方面由于曲壳很小，接近于平板，也可采 用比一般壳体理论更为简化的扁壳理论，进行 单元计算。 因此，对于单元分析来说，往往可以不涉及复 杂的壳体理论。
k
k k k
' kl ' ll ' ml ' nl
k k k k
' kl ' lm ' mm ' nm
k k k k
' kn ' ln ' mn ' nn
其中每个子矩阵的形式为
k
' rs
'p k rs
k
'b rs
0
(r,s=k,l,m,n)
矩形板单元用于柱壳分析



柱形壳结构具有互相平行的直母线，可沿母线 方向及垂直于母线的方向把柱壳划分为一些四 边形壳块，如图6-2所示。 当网格足够密时，小四边形柱壳块就足够扁平， 可用其4个顶点组成的矩形平板近似它们。 用这些矩形平板单元拼成的折板结构，可以近 似代替原来的光滑结构。直观看来，当单元足 够小时，这种近似结构是能够趋于真实结构的。
Q T Q
' e
e
[T]为变换矩阵(6.4)。由此可得到
Q T
e
1
Q
T
' e
注意到方向余弦矩阵为一正交矩阵，有
T
1
T
则可得
Q T Q
e T
' e
这样，可以先在局部坐标系内把分布载荷分 配为节点载荷，经过坐标变换后，在统一坐 标系内叠加为结构的总载荷列阵


以矩形板单元 的4个顶点为节点，任一 节点i有3项线位移分量ui’、vi’、wi’，及i 点法线的两项角位移分量θxi’ 、θyi’ ，每 点有5个自由度，单元有4个节点，共有 20个自由度（图6-3） 。 平板单元的变形可分为互相独立的两部 分：平面内变形和弯曲部分。
面内变形


与面内变形有关的i节点位移有ui’及vi’ ， 单元 个4节点共有8项面内节点位移，8 个自由度。 在局部坐标系内，此面内变形部分与平 面问题四节点矩形单元一样，其单元刚 度矩阵可由式(2.22)给出。
单元刚度矩阵



以矩形板单元面内的两对称轴作为x’、y’轴， 以板面的法线方向为z’轴，建立任一单元的局 部坐标系。一般单元的局部坐标系x’y’z’与总 体坐标xyz是不一致的（图6-2）。 柱壳结构受载荷时，各单元也发生有变形，在 各单元的局部坐标系内，沿x’、y’轴及z’轴的 的位移以u’、v’及w’表示，其中u’、v’为板平 面内的位移， w’为横向位移。 在小变形情况下，平析的横向位移w’与面内位 移u’、v’互不相关、不相耦合，可以分别研究 两者各自的单元刚度。
与刚架分析中的坐标变换相似，此时单元刚 阵的变换关系是
k T k T
e T ' e
(6.5)
其中[k’]e与[k]e分别为e单元在局部坐标系与总 体坐标系中的单元刚阵，各为24X24的方阵。



按式（6.1），[k’]e中的各子矩阵中，面内刚度 与弯曲刚度是分离的、不相耦合的， [k’]e对应 于绕法线的转角θzi’有4个零行和4个零列。 然而，按式(6.5)变换到总标系之后，单元刚阵 就不是这种形式了，一般是满矩阵。 在统一坐标系内，单元刚度矩阵可以叠加构成 结构总刚度矩阵。在载荷作用下，可以求解出 全部节点位移。

刚阵中对应于θzi’的行与列皆给为零元素， 则此扩大的单元刚阵在局部坐标系内， 有4行和4列零元素。
如单元4个节点的编号为k、l、m、n，任一 节点i的6项位移分量排列为ui’、vi’、wi’ 、 θxi’ 、θyi’ 、 θzi’ ，则在局部坐标系内，单 元刚阵按节点分块表示为
' k kk ' klk e k ' k mk ' k nk
局部坐标系内，i节点的载荷列阵为
Q X
' e i
' i
Yi
'
Z
' i
M
' Xi
M
' Yi
0

T
其中零元素为绕z’轴的力偶留有一个空位，以 便于坐标变换后，叠加入统一坐标系内的结构 总载荷列阵{Q}。
如以{Q’}e和{Q}e分别表示在局部坐标系和统 一坐标系的单元载荷列阵，则与单元节点位 移相似，两者间变换关系为

柱壳的母线是互相平行的，如取总坐标 系xyz的y轴与柱壳母线方向一致，则各 单元局部坐标系在面内的一个坐标轴也 可以与y轴一致，这里取y’轴与y轴一致， 而z’与z轴间的夹角设为φ。如图6-4。
在局部坐标系内的线位移分量u’、v’、w’与总 体坐标系内的线位移分量u、v、w间的关系为
u ' cos 0 sin u 1 0 v v' 0 w' sin 0 cos w u v w


当i节点周围单元共面而不平行于某个统 一坐标面时， 经过坐标变换之后，表面 上没有零行、零列元素，但叠加后的总 刚阵仍然有线性相关的行与列，总刚阵 还是奇异的。 为使问题能求解，可删去θzi’这自由度， 或在i节点加上一个绕z’轴的约束（如可 限定此转角为零）。
节点载荷


用矩形平板单元分析柱壳时，形状函数 是定义于单元局部坐标系，如结构受有 分布载荷，也应在局部坐标系内分配到 各节点。 由于平板的面内变形与弯曲变形不相耦 合，载荷分配也可以分别计算，再合起 来。
如单元在板平面内受有x’、y’方向的单位面 积力px’、py’，则分配到单元4个节点，有 面内的单元节点载荷
Q
' e p e
' T px N p ' dx' dy' py
其中[Np]即平面问题四节点矩形单元的形状函 数矩阵(2.20)式。 由此，单元e的任一节点i将分配有x’、y’两个 方向的节点载荷Xi’、Yi’。
任一节点i处6项节点位移分量的变换关系则为
ui' ' vi ' w i ' xi ' yi ' zi


ui ui v v i i wi wi xi xi yi yi zi zi


当两个相邻单元不共面时，各自的z’轴不 相平行，一个单元的θx’转角对另一个单 元会引起有绕法线的转角θz’ 。 单元刚阵叠加时，原来为θz’保留的零行、 零列将变换有或叠加入非零元素。这样， 在总坐标系内是可以求解的。


但是，当某一节点i周围的单元都平行于一个坐 标面时（如平行x,y面，见图6-5），各单元刚 阵中对应于绕法线转角θzi’的元素皆为零，叠加 后仍然都是零，即θzi’的位移与总体刚阵[K]无 关。 此时即使对整个结构给定了必要的位移约束之 后（约束其刚体位移），总刚阵仍然是奇异的， 不能求解（ θzi’可为任意值）。
如单元沿法线z’方向受有单位面积的横向力pz’， 则分配到4个节点有弯曲的单元节点载荷
Q N p dx' dy'
' e b T e b ' z
其中[Nb]即四节点矩形平板弯曲单元形状函数 矩阵(5.11)式.
由此，单元e的任一节点i将分配有z’方向的集 中力Z i’和绕x’、y’轴的集中力偶M xi’、 M yi’ 。
其中[Φ]为局部坐标系x’y’z’对总体坐标系xyz 的方向余弦矩阵。
同样，当壳体变形很小时，其法线的转角很 小，不同坐标系的转角分量间也有变换关系

' x ' y ' z
x y z
式中θx、 θy 、 θz为壳体法线绕x、y、z轴的转角。
弯曲变形


与弯曲变形有关的i节点位移有wi’ 、 θxi’ 、 θyi’ ，单元内4个节点共有12项弯曲变形 的节点位移，12个自由度。 在局部坐标系内，与四节点薄板单元一 样，具有相同的单元刚阵。



把这两部分单元刚阵拼合起来，就构成了用于 分析柱壳的四节点矩形平板单元的刚度矩阵。 此单元有20个自由度，其单元刚阵本应是 20X20的方阵。 但是，为了便于变换到总体坐标系，在单元局 部坐标系中，对每一节点再补上一个绕z’轴转 动的角位移θzi’ ，每个节点视为有6项节点位移 分量，6个自由度。这样，单元刚阵就被扩大 为24X24的方阵。



壳体的厚度比其它尺寸（如长度、曲率 半径等）小得多的壳体称为薄壳。 由壳体厚度中点构成的曲面称为中曲面。 当薄壳受载荷而发生微小的变形时，与 薄板相似，也可以忽略沿壳体厚度方向 的挤压变形和应力，且认为符合直法线 假设，即薄壳中曲面法线上各点在变形 过程中仍保持在变形后中曲面的法线上。


概述



工程结构中，为了减轻重量、美观实用，常常 采用一些壳体结构，如柱面及球面屋顶、各种 压力容器、航天及航空器的薄壁结构等。 还有不少机器的部件本身就是一个壳体，如水 轮机的叶片、各种外壳等。 壳体的几何形状及其变形都是很复杂的。为了 便于分析，针对各种壳体情况做了不同的假设， 建立有不同的壳体理论和相应的有限元分析方 法。



在薄壳的直法线假设之下采用位移法，可只分 析壳体中曲面的位移。 一般采用正交曲线坐标（如图6-1中的s1、s2）， 把中曲面上点在空间的位移分为沿中曲面切线 方向的两项位移u、v和垂直于中曲面的法向位 移w（图6-1） 。 壳体变形时，这3项位移是相互联系的，必须 同时加以分析。但是，这3项位移都只是中曲 面内两个坐标（一般沿两主曲率线）的函数， 是一种二维求解域的问题。
(6.1)
其中，平面变形的子刚阵，弯曲变形的子刚阵， 对角零元素为对应于θzi’的空白部分。其余空白部 分皆为零元素，这反映出，在局部坐标系内，平 面变形与弯曲变形是互不相关的。
单元刚阵的坐标变换与叠加



式(6.1)是在单元的局部坐标系x’y’z’内给出的 矩阵，而组成柱壳的各个平板单元显然不会都 在一个平面内，因而各单元的局部坐标一般是 不一致的。 这样，与同一节点相邻的单元就可能有不同的 局部坐标。 与第一章中刚架分析相似，这种不同坐标系给 出的单元刚阵是不能直接叠加的，必须变换到 统一的坐标系。