1.3.1三角函数的诱导公式(一)教案

1. 3.1三角函数的诱导公式（一）
一、教学目标：
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：
重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；
三、学法与教学用具：
（1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；
（2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学过程：
创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2
[ππ
内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知
1. 诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一： )
(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απαα
παα
πα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 ︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(π
π
=︒⋅+k 是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2
,0[π
角呢？ 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？
若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：
α
αααα
αtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二） 特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有
α
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）
特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有
α
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四）
所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；
【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为)2,0[π内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

2、例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）sin 960o
； （2）43cos()6
π-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣o o 范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣o o 范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦o o 范围内
角的三角函数的值。

解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=o o o o
（诱导公式一） sin(18060)sin 60=+=-o o o （诱导公式二）
（2）4343cos()cos 66
ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos 66
πππ=+=（诱导公式一） cos()cos 66
πππ=+=-（诱导公式二） 方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为)
0,360⎡⎣o o 内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2 化简23cot cos()sin (3)tan cos ()
απαπααπα⋅+⋅+⋅--． 解：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()
ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 3 课堂练习：
（1）．若)cos()2
sin(απαπ-=+，则α的取值集合为 （ ） A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=π
παα
C ．}|{Z k k ∈=παα
D ．}2|{Z k k ∈+=π
παα
（2）．已知,)1514
tan(a =-π那么=︒1992sin
（ ）
A ．21||a a +
B ．21a a +
C ．21a a +-
D ．2
11a +-
（3）．设角则,635πα-=)
(cos )sin(sin 1)
cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A ．33 B ．－33
C ．3
D ．－3
（4）．当Z k ∈时，]
)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为 （
） A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．与α取值有关
（5）．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f
那么=)2004(f A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 （
） （6）．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααα
αcos sin cos sin .
4、课堂练习答案：
（1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 2
5、作业：根据情况安排
6 板书设计：
三角函数的诱导公式（一）
基本概念： 例1 课堂练习
例2。