初中数学_12.1平方差公式教学设计学情分析教材分析课后反思

学习过程 学习活动设计 学生活动 设计意图
创设情景
用庄园主租地的实际问题，王大爷到底是吃亏了没有，
引入本节课要研究的内容——平方差公式。

1.学生做好充分的课
前准备。

2.学生认真分析实际问题，跟着老师抛出的问题积极思考。

1.利用身边的、学生所熟悉的探究背景，激发学生
的学习兴趣和求知欲望。

2.观察多媒体演示的土地
的变化过程，判断庄园主
的作法。

解读目标 本节课主要是借助几何图形和多项式乘法法则，探索平
方差公式，说出公式的结构特征，会识别a 和b ，并能用公式简化计算过程。

学生认真倾听，对本节课的内容的重点、核心
问题做好心中有数，结合学习目标展开探究
学习。

通过解读学习目标首先使学生对本节的核心内容有系统的认识，在课堂上有
的放矢，对与核心内容有
关的核心素养有基本的了
解。

素养形成 带着我们的目标，以及预习所得的收获，自主完成导学
案的例题。

有展示任务的小
组到相应的地点进行展示，
没有展示任务的同学在下面独立完成学案。

老师在此期
间做好巡视工作，抓住学生的易错点，为后面的深度学习做准备。

同时对展示的内
容进行详细的浏览，注重生成性问题的收集。

学生先根据学案和课
本的内容，结合情境大
胆的进行题目的探究。

在自主探究的过程中让学生经历将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，然后利用数学知识加以解决的过程，积累活动经验，增强学生的应用意识。

素养提升 1.这个环节充分发挥小组长 1.先组内讨论，找 由于学生之间的思维层
(x +5)(x -5)
x
2
a
a
a-
a+b
=－b
b
主题：数与式——乘法公式与因式分解课题：平方差公式预习案班级：______ 小组：______ 姓名：_______ 评价：______
【预习目标】
借助几何图形和多项式乘法，推导得出平方差公式，会简单应用。

【学法指导】
1.认真阅读课本P110—P111，了解平方差公式的推导过程，用红笔勾画关键词；
2.阅读例1和例2，判断什么样的式子能用平方差公式计算，然后完成预习案；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。

【课前准备】每人准备一张正方形的纸片，借助纸片，了解公式的几何背景。

【情境导航】
一、几何意义。

观察下图，有一个边长为a的正方形（图1），在其右下角剪去一个边长为b的小正方形，把①和②拼成图2，求剩下的图形的面积.
图2 图1
问题1.图1和图2中阴影部分的面积各是多少？
问题2.通过上面的操作，你发现图1和图2中阴影部分的面积有什么关系？
问题3.用式子表示出上面图形的关系。

二、代数意义。

问题4.用多项式的乘法法则，计算下面各题。

=-+)2)(2(a a =-+)2)(2(y x y x
=-+))((b a b a
问题5.观察上面式子的特点，以及最后的结果，你有什么发现？
【问题总结】
通过前面的探究，试用符号语言和文字语言描述平方差公式。

符号语言：
文字语言：
【素养初探】
判断下列式子能否用平方差公式计算，如果可以，请写出答案；如果不可以，请说明理由。

① )3)(3(a a --+- ②))((x y y x ---
③))((y x y x -+- ④)23)(23(y x y x ++-
【我的疑惑】
请将你在预习过程中遇到的疑问写在下面，以便课上与同学交流和质疑！
自评：
理由：
【情境链接】
我们知道2
2
2
2
2
2
100710081007)11007(100711007210071100722015-=-+=-+⨯+=+⨯=
因此，2015能写成两个整数的平方差。

是不是任意整数都能写成两个整数的平方差呢？
一般地，任意奇数都可以写成两个整数（并且是相邻的）的平方差。

事实上，是正整数）n n n n n n n ()1(12122
2
2
2
-+=-++=+
任意偶数也能写成两个整数的平方差吗？不妨看2012.由于
2
2
2
2
)1503()1503(150325031503250350342012--+=-⨯+-+⨯+=⨯=
因而，2012能写成两个整数的平方差。

一般地，形如4n （n 为正整数）的偶数可以写成两个整数的平方差。

事实上，2
2
2
2
)1()1(12124--+=-+-++=n n n n n n n
主题：数与式—乘法公式与因式分解 课题：平方差公式 探究案
班级：__________ 小组：_______ 姓名：__________
【课标要求】
能推导乘法公式：2
2
))((b a b a b a -=-+，
了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

【学科素养】
本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。

具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。

会用公式计算，并能倒用公式简化计算。

【整合理念】
将代数与几何相结合，从两方面推导平方差公式，为后面的因式分解做好铺垫。

【学习目标】
借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a 和b ，并能用公式简化计算过程。

【重点难点】
平方差公式的推导和应用。

【学法指导】
认真回扣课本和预习案内容，明确平方差公式的结构特征，在此基础上完成探究案；有能力的同学挑战“素养提升”。

探究问题：平方差公式的应用
【基础探索】
例1.利用平方差公式计算。

(1).)32)(32(n m n m -+ (2).)3)(3(22y x y x --+-
(3).))()((22y x y x y x ++- (4). )72)(27()52)(52(-+-+-x x x x
【能力养成】
例2.平方差公式的妙用。

（1） 103×97 （2） 20172-20162
计算：)23()23()23()23()23(64
64
8
8
4
4
2
2+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+
【构建反思】 基础知识自我构建：
数学思想方法总结：
《平方差公式》学情分析
学生的知识技能基础：在七年级上册，学生已经学过有理数的运算、用字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算的知识基础和基本方法。

第11章学过幂的运算、整式乘法 等知识，为本节课的学习奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法。

学生的活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，养成了一定的符号感和推理能力。

同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历
了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。

但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推 导过程和结构特点可能会有一定困难。

所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力。

《平方差公式》效果分析
本节课以“自主——探究——合作——生成”的学习方式为主线，充分体现了学生是课堂的主人，发挥了学生的主体地位和教师的引领作用，效果很好。

导入时，用一个狡猾的庄园主，租给王大爷一块正方形的土地，后来他说一边减少5米，另一边加长5米，王大爷觉得自己没有吃亏，所以就答应了。

引领学生思考这个问题，用动画的形式来演变这个过程，引入本节课的课题《平方差公式》，激发了学生的求知欲，调动了学生的积极性。

最后又回扣了本例子，说出了面积的变化，为王大爷解决了难题。

在探究平方差公式的时候，采用了两种方法。

首先以小组为单位，组织学生进行几何意义的推导，在剪纸的过程中学生得出了 的结论，学生利用了不同的拼接方式，并派代表进行了展示。

然后又用多项式的乘法法则进行了三个式子的推导，经
22))((b a b a b a -=-+
历了“实验——观察——猜测——分析——验证”等过程，加深了对平方差公式的认识。

在这个过程当中，锻炼了孩子们的动手能力和小组合作精神，将自己的成果进行了展示，锻炼了学生的口头表达能力。

训练的时候，精心选择问题，包含了常见的问题类型。

通过自己探究，小组交流，展示点评等活动，学生真正参与各个环节，效果很好。

《平方差公式》教材分析
《平方差公式》是青岛版七年级下册第12章《乘法公式与因式分解》第1节的内容。

平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。

本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。

它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。

学生在前一章中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出
(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是
难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

因此本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

《平方差公式》评测练习
【素养初探】
判断下列式子能否用平方差公式计算，如果可以，请写出答案；如果不可以，请说明理由。

① )3)(3(a a --+- ②))((x y y x ---
③))((y x y x -+- ④)23)(23(y x y x ++-
【基础探索】
例1.利用平方差公式计算。

(1).)32)(32(n m n m -+ (2).)3)(3(22y x y x --+-
(3).))()((2
2y x y x y x ++- (4). )72)(27()52)(52(-+-+-x x x x
【能力养成】
例2.平方差公式的妙用。

（1） 103×97 （2） 20172-20162
计算：)23()23()23()23()23(64
64884422+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+
《平方差公式》课后反思
数学的学习是一个连贯的过程，数学知识是前后衔接逐步形成体系的，数学思想方法是在不断的探索应用过程中逐渐积累和体会的，因此，在教学时怎样引导学生把新知识与已熟悉的旧知识巧妙联系起来、怎样运用前面的数学活动经验来解决新的问题是我们教师必须进行深入思考和精心设计的。

1.动手剪纸、重组图形，利用多项式乘法验证公式的成立
在本节课的教学设计中从狡猾庄园主的租地事例引出课题， 借助前面的经验让学生自主探索平方差公式，利用多项式乘以多项式法则从代数的角度验证了平方差公式，同时利用割补法求图形的面积再次从几何的角度验证了平方差公式的正确性。

这样的设计充分利用了学生原有的知识和经验基础，有利于学生知识体系的形成，让学生深刻体会了解决不同的问题时蕴涵的相同数学思想方法。

2.改进方式，为学生提供自主探索的机会
数学教学活动，应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考；学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，因此我们的数学课堂应该努力改进学习和评价的方式，给学生提供更多自主探索的机会.在这节课的设计中就进行了一些尝试：在学习“利用平方差公式进行计算”和“利用平方差公式进行数的简便运算”这两个重点时，根据学生已有的知识和经验基础，将举特例到一般验证的过程大胆的放手给学生，教师只做适当的引导，让学生通过自主探索、合作交流的方式完成了对知识和方法的学习。

对学生的评价也作出了相应的改进：不仅关注习题的正确率，而且更加注重对学生以下两方面的评价：一是学生在活动中的投入程度，如是否能积极主动地
投入活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的意见和建议等；二是学生在活动中的水平，如是否能通过独立思考探索出运算法则，是否能有条理的表达自己的思考过程，是否有独特的解决问题的方法，是否能进行反思并提出一些新的问题等.采用这样的教学和评价方式可以更好地提高学生解决问题的能力，丰富他们解决问题的策略，从而实现对数学思维的培养。

实际教学时，如果面对的学生知识和能力的基础更好，放手给学生的内容还可以再多一些，甚至可以让学生课前自主学习，课上通过学生自主讲解展示学习效果，教师只需要根据学生自学的情况点拨部分难点即可。

《平方差公式》课标分析
新课标对本节课的要求是：能推导乘法公式：22))((b a b a b a -=-+，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。

具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。

会用公式计算，并能倒用公式简化计算。

《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。

对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式的学习提供了方法。

因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位。

综上所述，本节课所要达成的目标是：借助几何图形和多项式乘
法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a和b，并能用公式简化计算过程。