云南省玉溪市一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

玉溪一中2021—2022学年上学期高二年级期中考
文科数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：飞超 审题人：张丹
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某试验E 的样本空间{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}Ω=，事件{(1,0),(0,1)}A =，事件
{(0,1),(0,0)}B =，则事件A B = A ．{(1,0),(0,1),(0,0)} B ．{0,1}
C ．{(0,1)}
D ．{(1,0)}
2．已知复数z 满足2iz i =+，其中i 是虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列函数为奇函数的是 A ．2x y =
B ．cos6y x =
C ．22x x y -=+
D ．22x x y -=-
4．若直线1:610l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则两条直线之间的距离为
A B C D 5．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，则1AC 的长为
A ．6
B
C ．92
D 6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为3
π
，直线l 的方向向量为a ，已知a b ⊥，则b 的坐标可以是
A ．
B ．(1,
C ．(-
D ．1)-
7．已知直线l 经过点(2,3,1)A ，且(2,0,n =是l 的方向向量，则点(4,3,2)P 到l 的距离为
A ．12
B C D
8．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80,150]内，现将这100名学生的成绩按照[80,90)，
[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)， [130,140)，[140,150]分组后，得到的频率分布
直方图如图所示，则下列说法正确的是 A ．频率分布直方图中a 的值为0.040 B ．样本数据低于130分的频率为0.3
C ．总体的中位数（结果保留1位小数）估计值为123.3
D ．总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数相等
9．已知函数()()21,1ln 1,
1
x x f x x x -≤⎧⎪=⎨
->⎪⎩,则方程()1f x =的根的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为
A ．12π
B ．48π
C ．24π
D ．43π
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得3分．
11. 为了得到曲线1sin()23
y x π
=-，只需把曲线sin y x =上所有的点
A ．先向右平移3
π
个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B ．先向右平移23
π
个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C ．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移
3π
个单位长度 D ．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移23
π
个单位长度
12．在空间直角坐标系O xyz -中，平面α的法向量(2,2,1)n =，直线l 的方向向量为m ，则
C
1
A 1
下列说法正确的是
A ．x 轴一定与平面α相交
B ．平面α一定经过点O
C ．若1
(1,1,)2
m =---，则l α⊥ D ．若(1,0,2)m =-，则//l α
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线:12l y kx k =--恒过定点P ，则点P 坐标为 ．
14．一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第
二次取到白球的概率为 ．
15．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(2,1),(1,1)A B --两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角α的取值范围是 ；l 的斜率k 的取值范围是 ． 16．已知对任意两个向量,αβ，都有αβαβ≥⋅.若将12(,)a a α=和12(,)b b β=代入
αβαβ≥⋅，计算化简可得：2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+；若将123(,,)a a a α=和
123(,,)b b b β=代入αβαβ≥⋅，计算化简可得： ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知ABC △的三个顶点是(3,0)A ，(5,2)B ，(0,6)C ，求： （1）边AB 上的中线所在直线的一般式方程； （2）边AC 上的高所在直线的一般式方程．
18．（本小题满分12分）某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x 的频数分布表如下：
（1）估计该市制造业企业中产值增长率不低于20%的企业比例及产值负增长的企业比例； （2）代
表）．
19．（本小题满分12分）如图，正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为BC ，1DD ，1BB 的中点．
（1）求证：1//C G 平面ABF ； （2）求证：1B E ⊥平面ABF ．
20．（本小题满分12分）垃圾分类（Garbage classification ），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为34，小亮每轮答对的概率为
23
，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； （2）求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．
21．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面
ABCD ， //EF AB ，90BAF ∠=，4AD =，22AB AF EF ===，点P 在线段DF 上．
（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；
（2）若13
FP FD =，求平面ADF 与平面APC
的夹角的余弦值．
22．（本小题满分12分）为响应国家“乡村
振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC △区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA △区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC △区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC △周围筑起护栏．已知40m AC =，
P
F E
D
C
B
A
BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒．
（1）若20m AM =，求护栏的长度（MNC △的周长）；
（2）若鱼塘MNC △的面积是“民宿”CMA △ACM ∠； （3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC △的面积最小，最小面积是多少？
玉溪一中2021—2022学年上学期高二年级期中考
文科数学试卷
一、单项选择题： C D D A B D B C C A 二、多项选择题：AD AC
三、填空题：13． (2,1)- 14． 25 15．30,,34πππ⎡⎤
⎡⎫
⎪⎢⎥
⎢⎣⎦
⎣⎭
；[-. 16．2222222
123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
四、解答题：
17．解：（1）AB 边的中点(4,1)D ，又∵直线过点(0,6)C ，∴ 所求直线的斜率615
044
k -==--,方程为：5
64
y x =-+，即54240x y +-=......5分
（2）∵直线AC 的斜率为60203-=--，所以边AC 上的高所在的直线的斜率为1
2
，又∵直线过点(5,2)B ，∴所求直线的方程为1
2(5)2
y x -=-，即210x y --=......10分
18．（1）制造业企业中产值增长率不低于20%的企业比例为50
100%50%100
⨯=，产值负增长的企业比例
10
100%10%100
⨯=，所以，估计该市制造业企业中产值增长率不低于20%的企业比例为50%，产值负增长的企业比例为10%......4分 （2）100家制造业企业产值增长率的平均数为
()1
100.10400.10400.30100.50100%20%100⎡⎤⨯-+⨯+⨯+⨯⨯=⎣
⎦，......7分 方差为
()2
2221100.100.2040(0.100.20)40(0.300.20)10(0.500.20)100⎡⎤⨯--+⨯-+⨯-+⨯-⎣
⎦
0.026=......11分，所以该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值分别为20%
和0.026......12分
19．解：法一、（1）取1AA 中点H ，连结HG ，1D H ，因为11//HG A B ，11HG A B =且1111//D C A B ，
1111D C A B =，所以11//HG D C ，11HG D C =，所以四边形11D HGC 为平行四边形，所以
11//C G D H ，又因为1//D F GA ，1D F GA =，所以四边形1D FAH 为平行四边形，所以
1//AF D H ，从而1//C G AF ，又因为1C G ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以1//C G 平面
ABF ......6分
（2）点E ，G 分别为BC ，1BB 的中点，在正方形11BCC B 中，可得111B BE C B G ≅△△，所以111B C G B E B ∠∠=，设1
1E GC B M =，因为111190B B C G GC ∠+∠=，所以
11190B G B E B C ∠+∠=，即 1GB M △中，1190B M B G GM ∠+∠=，所以190GMB ∠=，即
11B E GC ⊥，因为1//GC AF ，所以1B E AF ⊥.又因为AB ⊥平面11BCC B ，1B E ⊂平面11BCC B ，所以1B E AB ⊥，AB
AF A =，所以1B E ⊥平面ABF ......12分
法二、（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 则1(0,2,2)C ，(2,2,1)G ，(2,0,0)A ，(0,0,1)F ，所以1(2,0,1)C G =-，(2,0,1)FA =-，所以1C G FA =，所以1//C G FA ，又因为1C G ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以1//C G 平面ABF ......6分
（2）1(2,2,2)B ，(1,2,0)E ，所以1(1,0,2)B E =--，因为(0,2,0)AB =， (2,0,1)FA =-，所以10B E AB =，10B E FA =，所以1B E AB ⊥，1B E AF ⊥，又因为AB
AF A =，所以
1B E ⊥平面ABF ......12分
20．解：（1）设A = “一轮活动中小明答对一题”，B =“一轮活动中小亮答对一题”，则()34P A =
，()2
3
P B =.设C =““明亮队”在一轮活动中一题都没有答对”，则C AB =，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以A 与B 相互独立，从而A 与B 相互独立，所以，()()
()()11
()()1p 1312
P C P AB P A P B P C ===-=-=.所以“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率为
1
12
.....4分 （2）设=i A “两轮活动中小明答对了i 道题”，i B =“两轮活动中小亮答对了i 道题”，0i =，
1，2.由题意得，()11331344448P A =⨯+⨯=，()23394416P A =⨯=，()121124
33339P B =⨯+⨯=，
()2224
339
P B =⨯=......8分设E =““明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则1221E A B A B =+.
由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 互斥，所以
()()()()()()()1221122134945
8916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=.
所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率5
12
......12分
21．（1）因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ， 因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ， AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -......2分 所以 (2,0,0)B ，(1,0,2)E ，(0,2,1)P ，
(2,4,0)C ，(0,0,2)F
所以(2,0,2)BF =- (1,0,2)BE =-，
(2,2,1)CP =--，所以45
cos ,15
||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>=
=⋅BE 与CP 所成角的余
45
.....5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面ADF 的法向量为1(1,0,0)n =......6分,设P(0,,)y z ，
(0,y,z 2)FP =-，(0,4,2)FD =-，因为1
3FP FD =，∴41y ,z 233=-=-，∴4y z 3
==，
440,,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭,在平面APC 中，440,,33AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，(2,4,0)AC =，设平面APC 的法向量2n =（x ，y ，z ），则22440
33240n AP y z n AC x y ⎧
⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令y ＝1，则1,2z x =-=-， 得平面APC 的法向量为
2(2,1,1)n =-- ，....10分,121222
12||6
cos ,||||(2)1(1)n n n n n n ⋅<>=
==⋅-++-ADF 与平面APC 6
.....12分 22．解：（1）∵40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，∴
C
A
M
N
B
tan AC B BC =
=
，∴30B =︒，∴60A =︒，∴280AB AC ==，在ACM △中，由余弦定理可得2222cos CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅1
16004002402012002=+-⨯⨯⨯=
，则
CM =222AC AM CM =+，∴CM AB ⊥，∵30MCN ∠=︒，∴
tan3020MN CM =︒=，∴240CN MN ==，∴护栏的长度（MNC
的周长）为204060++=+.....4分
（2）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），因为鱼塘MNC 的面积是“民宿”CMA
所以11
sin 30sin 22
CN CM CA CM θ⋅︒⋅
，即CN θ=，60BCN θ︒∠=-，BCN
△中，由三角形外角定理可得90CNA B BCN θ︒∠=∠+∠=-，在CAN △中，由
()40sin 60sin 90cos CN CA θθ==︒︒-
，得CN =
θ=，即1sin 22θ=， 由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，所以15θ=︒，即15ACM ∠=︒......8分
（3）设()060ACM θθ∠=︒<<︒，由（2
）知CN =90BCM θ︒∠=-，BCM △中，
由外角定理可得120CMA B BCM θ︒∠=∠+∠=-,又在ACM △中，由()
sin60sin 120CM CA θ=︒︒-，得
CM =
(
)1300sin 302sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==
︒-△
=
=
所以当且仅当26090θ+︒=︒，
即15θ=︒时，
CMN △的面积取最小值为(212002km ......12分
C
A。