2015-2023北京中考真题数学汇编：解直角三角形及其应用

2015-2023北京中考真题数学汇编
解直角三角形及其应用(1)求证：四边形AECF 是矩形；
(2)AE BE =，2AB =，1tan 2
ACB ∠=2．（2021北京中考真题）如图，在四边形垂足为F ．
（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；
（2）若AE 平分,5,cos BAC BE B ∠==3．（2020北京中考真题）如图，AB 为⊙OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．
（1）求证：∠ADC=∠AOF ；
（2）若sinC=13
，BD=8，求EF 的长．
二、问答题
4．（2021北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的“关联线段”是______________；
（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点求t 的值；
（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若值，以及相应的BC 长．
5．（2020北京中考真题）在平面直角坐标系如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为连接点A 与点的线段的长度等于线段（2）若点A ，B 都在直线3y x =+（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，记线段6．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定（1）当⊙O 的半径为1时．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径为r，
在Rt △OCD 中，1sin 3
C =，∴13
OD OC =，∴3OD r OC r ==，，
∵OA=r ，
∴AC=OC-OA=2r ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF ⊥AD ，
∴OF ∥BD ，
∴12
OE OA BD AB ==，∴OE=4，3OF OC
通过观察图象可得：线段22B C 能绕点得到；
故答案为22B C ；
（2）由题意可得：当BC 是O 的以点1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：
设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得∴12
B D D
C ''==，∴2232O
D OB B D ''=-=
，AD AB =∴3OA =，
∴3t =；
当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：
由运动轨迹可得当点A 也在O 上时为最小，最小值为∴90AB C ''∠=︒，
∴30AC B ''∠=︒，
∴cos303BC B C AC '''==⋅︒=；
由以上情况可知当点,,A B O '三点共线时，连接,OC B C '''，过点C '作C P OA '⊥于点P ∴1,2OC AC OA ''===，
设OP x =，则有2AP x =-，
∴由勾股定理可得：222C P AC AP OC ''=-=解得：14x =
，∴154
C P '=，∴34B P OB OP ''=-=
，
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A
3
2,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
为圆心，半径为
且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为
2
2
35
2
22 AO⎛⎫
=+=
⎪．
平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=12,A2M=3 2 ,
=
2
2
339⎛⎫,
∴2d 的取值范围为：233922
d ≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
6．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是【分析】（1）①根据反称点的定义画图得出结论；②∵（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x ≤0，x （x －0），P ′（2，0）不符合题意P （0，2），P ′（0，。