福建高一高中数学期末考试带答案解析

福建高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知函数为偶函数，则在区间上是（）
A．先增后减B．先减后增
C．减函数D．增函数
2.已知全集，且，则（）
A．B．
C．D．
3.有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（）
A．B．
C．D．
4.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A．B．
C．D．
5.圆与圆的公切线有且仅有（）
A．条B．条
C．条D．条
6.如图，在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（）
A．B．
C．D．
7.已知是两条不重合的直线，是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）
A．B．
C．D．
9.直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）
A．B．
C．D．
10.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
11.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）
A．B．
C．D．
12.已知平面上两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.已知直线.则直线恒经过的定点．
2.设为原点，点在圆上运动，则的最大值为．
3.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为．
4.如图，为等腰直角三角形，，一束光线从点射入，先后经过斜边与直角边反射后，恰好从点射出，则该光线在三角形内部所走的路程是．
三、解答题
1.已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程.
2.如图，在三棱锥中，、分别为、的中点.
(1)求证:平面；
(2)若平面平面,且,求证:平面．
3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是中点,
(1)证明:平面；
(2)证明:平面平面．
4.如图是某圆拱桥的示意图.这个圆拱桥的水面跨度，拱高.现在一船；宽，水面上高，这条船能从桥下通过吗？为什么？
5.如图，在四棱锥中，底面是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求和平面所成的角的正切值.
6.已知圆，过原点的直线与其交于不同的两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）若直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.
福建高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知函数为偶函数，则在区间上是（）
A．先增后减B．先减后增
C．减函数D．增函数
【答案】D
【解析】∵是偶函数，∴，即，∴的图象开口向上，∴在上是增函
数．故选：D.
【考点】二次函数的性质.
2.已知全集，且，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵全集，且，∴；又，∴．故选：A.
【考点】交、并、补集的混合运算.
3.有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，其中这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有种结果，故这两位同学不在同一个兴趣小组的概率，故选C.
【考点】列举法计算基本事件及其发生的概率.
4.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为，高为，下底为，
．故选A.
【考点】斜二测画法画直观图.
5.圆与圆的公切线有且仅有（）
A．条B．条
C．条D．条
【答案】C
【解析】圆化为，圆心，半径为，圆
化为，圆心，半径，∵
，∴两圆外切，作出两圆图象如图，∴圆与圆的公切线有且仅有条．故选C.
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【方法点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判断，考查数形结合的解题思想方法，是中档题；化圆的一般式方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由圆心距等于半径和可得两圆外切，数形结合可得两圆公切线的条数，几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断，①外离（条公切线）：②外切（条公切线）：
③相交（条公切线）：④内切（条公切线）：
⑤内含（无公切线）：.
6.如图，在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】连接，，∴为异面直线和所成的角，而三角形为等边三角形，∴，故选C.
【考点】异面直线所成的角.
【方法点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题；求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线；连接，将平移到，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，即可求出此角.
7.已知是两条不重合的直线，是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】由，是两条不重合的直线，，是不重合的平面，知：在A中：若，则
与相交或平行，故A错误；在B中：若，则与相交、平行或，故B错误；在C中：若，则由面面平行的判定定理得，故C正确；在D中：若，则或，故D错误．故选：C.
【考点】直线与平面之间的位置关系.
8.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】侧视图是从左向右看，侧视图的底边长应当是正三角形的高，俯视图可知三棱锥的一条侧棱在俯视图中是一个点，另两条侧棱重合于底面三角形的边，∴B满足题意．故选B.
【考点】简单几何体的三视图.
9.直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，∵，∴，．由图可知，使直线与线段相交的的斜率取值范围是．故选D.
【考点】直线的倾斜角.
10.直线与圆相交于、两点.若，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，则圆心到直线的距离，即
，解得：，故选C.
【考点】直线与圆的位置关系.
11.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，侧面是半球底面圆的
内接正方形，则侧面的面积为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，球心在平面的中心上，取的中点，连接，则，∵侧面是半球底面圆的内接正方形，，∴，∴，∴，∴侧面
的面积为，故选A.
【考点】球内接多面体.
【方法点晴】本题考查与球有关的几何体的问题，考查勾股定理，空间点、线、面的位置关系的应用；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体
的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面；判断球心的位置，利用侧面是半球底面圆的内接正方形，，求出，利用勾股定理求出，然后求解四边形
的面积．
12.已知平面上两点，若圆上存在点，使得，则的
取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵圆，∴圆心，半径；设点在圆上，则，；∵，∴，∴；即；∴
，∴的最大值是，最小值是；
∴的取值范围是．故选C.
【考点】直线与圆的位置关系.
二、填空题
1.已知直线.则直线恒经过的定点．
【答案】
【解析】将直线化简为点斜式，可得，∴直线经过定点，且斜率为．即直
线恒过定点．故答案为：．
【考点】恒过定点的直线.
【方法点晴】本题给出含有参数的直线方程，求直线经过的定点坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题；如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成，将直线化简成点斜式的形式得：，可得直线的斜
率为且经过定点，从而得到答案.
2.设为原点，点在圆上运动，则的最大值为．
【答案】
【解析】圆，表示以为圆心，半径等于的圆．由于，∴的最大值为，故答案为.
【考点】圆的标准方程.
3.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为．
【答案】
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体和四棱锥的组合体，正方体的棱长为，故体积为：，
四棱锥的底面面积为：，高，故四棱锥的体积为：，故组合体的体积，故答案为：
.
【考点】由三视图求面积、体积.
【方法点晴】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键；三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算.
4.如图，为等腰直角三角形，，一束光线从点射入，先后经过斜边与直
角边反射后，恰好从点射出，则该光线在三角形内部所走的路程是．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，可得，，；∴的方程为，设，分别是点关于直线和轴的对称点，则，由光的反射原理可知，四点
共线，又直线的方程为，且点，，∴，，；∴．故答案为：.
【考点】两点间距离公式的应用；与直线关于点、直线对称的直线方程.
三、解答题
1.已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】（1）利用中点坐标关系、点斜式即可得出；（2）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
试题解析：（1）易求得的中点坐标为…………（2分）
又，所以的中垂线的斜率为，…………（6分）
的中垂线的方程为即.…………（8分）
（2）由（1）知，所以直线的方程为，…………（10分）
即.…………（12分）
【考点】待定系数法求直线的方程.
2.如图，在三棱锥中，、分别为、的中点.
(1)求证:平面；
(2)若平面平面,且,求证:平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据中位线定理得出，故而平面；（2）由平面平面可得平面，故有，由，可得，从而平面.
试题解析：（1）∵分别是的中点，∴.
又平面平面，
∴平面.…………（6分）
（2）在三角形中，∵为中点，
∴
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∴
又，
∴，又，
∴平面…………（12分）
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
【方法点晴】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于中档题；直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行；直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线和平面，垂直于内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面是中点,
(1)证明:平面；
(2)证明:平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连结，设与交于点，连结，易证为的中位线，从而，再利用线面平行的判断定理即可证得平面；（2）依题意，易证底面，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面.
试题解析：（1）连接交于，连接
∵底面是正方形，∴为中点，∵在中，是的中点，
∴…………（3分）
∵平面平面，∴在平面…………（5分）
（2）∵侧棱底面底面，∴
∵底面是正方形，∴
∵与为平面内两条相交直线，∴平面…………（8分）
∵平面，∴
∵是的中点，∴
∵与为平面内两条相交直线，∴平面…………（11分）
∵平面，∴平面平面…………（12分）
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.
4.如图是某圆拱桥的示意图.这个圆拱桥的水面跨度，拱高.现在一船；宽，水面上高，这条船能从桥下通过吗？为什么？
【答案】该船可以从桥下通过.
【解析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出各点坐标，设出圆的标准方程，将
坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把横坐标代入求出纵坐标，与比较即可作出判断.
试题解析：建立如图所示的坐标系，依题意，有
…………（2分）
设所求圆的方程是.于是有
，
解此方程组得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是…………（8分）
把点的横坐标代入上式，得，…………（10分）
由于船在水面以上高，所以该船可以从桥下通过，…………（12分）
【考点】直线和圆的方程的应用.
5.如图，在四棱锥中，底面是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求和平面所成的角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由为等边三角形可得，于是，通过证明平面得出，故而平面；（2）取中点，连接，则可证明平面，故为与平面所成的角，利用勾股定理求出，即可得出.
试题解析：（1）∵在中，，
∴为等边三角形，∴…………（1分）
∵在中，是的中点，∴
∵与为平面内两条相交直线，∴平面…………（4分）
∵平面，∴
∵与为平面内两条相交直线，∴平面…………（6分）
（2）取中点，连接、，设
∵在中，为中点，∴
∵底面底面，∴
∵与为平面内两条相交直线，∴平面
∴为在平面内的射影，∴为和平面所成的角…………（9分）
∵底面底面，∴
∵，∴
∴在中，
∴和平面所成的角的正切值为…………（12分）
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
【方法点睛】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题；具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答--回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.
6.已知圆，过原点的直线与其交于不同的两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）若直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】(1) ；（2）；（3）或.
【解析】（1）直线与其交于不同的两点，，可得，即可求直线斜率的取值范围；（2）利用
，即可求线段的中点的轨迹的方程；（3）利用直线与曲线只有一个公共点，分类讨论，即可求的取值范围.
试题解析：（1）由得
直线过原点，可设其方程：
∵直线与其将于不同的两点∴∴
（2）设点，∵点为线段的中点，
而曲线是圆心为，半径的圆，∴
∴（且）化简得①
由得
是不同的两点，且点的坐标满足①
因此点满足②
这是圆心为，半径为的一段圆弧（不包括端点），反之，可验证以方程②的
解为坐标的点是曲线上的一个点，因此②是轨迹的方程.
（3）设直线过
设直线与圆相切于点，则有，解得
直线的斜率为
类似的可得
综上，若直线与曲线只有一个公共点，
则的取值范围是或.
【考点】直线与圆的位置关系.。