高中数学_人教版A版高一数学必修第一册第三章第三节幂函数教学课件设计

判断幂函数的方法：是看该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式， 且需满足：(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)底数为自变量.
【跟踪训练】 1.已知幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点(4,2),则m-n= .
2.函数 f(x)=(m2-m-1)
是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,
f(x)是增函数,则 f(x)= x3 .
1
y x2
2
例 4．幂函数 f(x)＝x 3 的大致图象为( B )
2
2
解析：由于 3 >0，所以排除 C，D 选项，而 f(－x)＝(－x) 3 ＝
3 （－x
）2＝3
x2＝x
2 3
＝f(x)，且
f(x)的定义域为
R，所以
f(x)是偶
函数，图象关于 y 轴对称．故选 B.
【跟踪训练】
5．下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上为增函数的是( C )
人民教育出版社A版 高一数学 必修第一册
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
3.3 幂函数
学习目标
1 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数图象，掌握它们的性质，并会应用．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
核心素养
1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2.借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
利用幂函数的单调性比较大小
例 2 比较下列各组数中两个数的大小.
①( )0.5 > ( )0.5;
②(- )-1 > (- )-1.
解:①因为幂函数 y=x0.5 在区间(0,+∞)上是单调递增的, > ,所以( )0.5>( )0.5. ②因为幂函数 y=x-1 在区间(-∞,0)上是单调递减的, - <- ,所以(- )-1>(- )-1.
4
A．y＝x 3
3
B．y＝x 2
C．y＝x－2
D．y＝x－
1 4
4
解析：y＝x 3 在(－∞，0)上是减函数；
3
y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数；
y＝x－2 既是偶函数，又在(－∞，0)上为增函数；
y＝x－
1 4
的定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数．故选
C.
1．理解 1 个概念——幂函数的概念
（3）幂函数图像在直线x=1右侧，随着指数的增大， 图像也越来越高（指大图高）
1.下列函数：①y＝x2＋1；②y＝x－
1 2
；③y＝2x2；
④y＝x－1；
⑤y＝x－
1 3
＋1.
其中是幂函数的是( C )
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
2. 幂函数的图象过点(3, ),则它的单调递增区间是( B )
A.-1<n<0<m<1 C.-1<n<0,m>1
B.n<-1,0<m<1 D.n<-1,m>1
指 大 图 高
4 分数指数型幂函数
n
f (x) x m （1）m和n都为奇数，则f(x)为奇函数
（2）m为奇数，n为偶数，则f(x)为偶函数
（3）m为偶数，则f(x)为非奇非偶函数
1
y x3
2
y x5
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(指大图低); 在(1，＋∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一
象பைடு நூலகம்内的图象
【跟踪训练】
4.幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象如图所示,则 ( B )
谢谢
A.[-1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
3. 已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ),则 f(9)= 3 .
合作 探 究 幂函数的概念
例 1 若 f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数,则 m= 5或-1 . 解析: ∵f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数,所以 m2-4m-4=1, 即 m2-4m-5=0,解得 m=5 或 m=-1.
判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合 y＝ xα(α 为常数)的形式．
2．掌握 1 个规律——幂函数图象的变化规律 幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内在直线 x＝1 的左侧，指大图底； 直线 x＝1 的右侧，指大图高。
3．会用 3 个性质——幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为 1 时，
A
B
C
D
1
3．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－2为幂函数，则实数 a 的值为( C )
A．－1 或 2 B．－2 或 1 C．－1 D．1
1 －8
[因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减，
所以当 x＝－2 时，y 最小值＝(－2)－3＝
1 －2
1 3＝－8.]
作业：
教材课后练习1、2 习题3.3 1、3
（1）解析:由函数 y=mxn(m,n∈R)为幂函数,得 m=1.
又∵函数 y=mxn 的图象经过点(4,2),∴4n=2,解得 n= .
所以 m-n=1- = . （2）解析:根据幂函数的定义,得 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1.
当 m=2 时,f(x)=x3 在区间(0,+∞)上是增函数; 当 m=-1 时,f(x)=x-3 在区间(0,+∞)上是减函数,不符合要求. 故 f(x)=x3.
1.利用幂函数的单调性比较大小的三种方法
2.利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内,
否则无法比较大小.
【跟踪训练】 3.比较下列各组数的大小.
(1)- < - ;
(2)
<
.
2
－2
－3
(3)4.15，3.8 3，(－1.9) 5.
解析:(3)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35 <0， 所以 4.125>3.8－23>(－1.9)－35.
（1）系数为1； （2）指数为常数；
1．幂函数的概念 （3）底数为自变量x
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数
1
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1
的图象如图所示：
3.幂函数的图像和性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图像
定义域 值域
奇偶性
单调性
R
R
R
[0，＋∞)
奇
偶
增函数
x∈(－∞，0] 时，减___函数
x∈[0，＋∞) 时，增___函数
R __[_0_，__＋_∞__) _ _{_x_|x_≠_0_}__
_R__ ___[0_，__＋_∞_)__ __{y_|y_≠_0_}__
_奇__ __非_奇_非__偶___
_奇__
增 函数
x∈(－∞，0)，
减 函数 增 函数 x∈(0，＋∞)，
_减__函数
恒过定点
（1,1）和（0,0）
（1,1）
4、幂函数性质总结
（1）幂函数一定在第一象限有图像，而在第四象限没有图像 （2）所有图像恒过定点（1,1）；
若α>0, 过（0,0），在[0， +∞）上是增函数 若α<0,不过（0,0），在（0， +∞）上是减函数
幂函数的图象及应用
例 3(1)幂函数 y=xα在第一象限的大致图象如图所示,已知α取
-2, - , , 2 四个值,则曲线 C1,C2,C3,C4 对应的α的值依次为( B)
指
A.-2, - , , 2 B.2, , - , -2
大
图
C.- , -2, 2,
D.2, , -2, -
高
解析:令 x=2,则 22> > >2-2, 故对应曲线 C1,C2,C3,C4 的α值依次为 2, ,- ,-2.故选 B.
函数值为 1，即 f(1)＝1. (2)如果 α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果 α<0，幂函数在 x＝0 处无意义，在(0，＋∞)上是减函
数．
1．幂函数的图象过点(2， 2)，则该幂函数的解析式是( B )
1
A．y＝x－1 B．y＝x2 C．y＝x2 D．y＝x3
5
2．函数 y＝x4的图象是( C )