空间几何二面角解题技巧练习

空间几何二面角解题技巧练习
作者: 日期:
知识点：二面角的求法
一、思想方法
求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点
•直接法的核心是作（或找）出二面角的平面
角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。

常用的方法有以下几种：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。

方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点
P 棱及另一个面分别引垂线P A 、PB,连接AB,根据三垂线定理 、例题：
例1 •在棱长为1的正方体 AC 1中，（1）求二面角A B 1D 1 C 的大小;
例2 •如果二面角
丨 的平面角是锐角，点P 到，，1的距离分别为2「2,4,4「2,求二面角的大小.（垂面
法）。

例3 .在正方体 A C 1中,E 是BC 中点,F 在A A 1上,且A 1F : FA= 1 : 2,求平面 B E F 与底面 A 1B 1C 1D 所成的二面 角•
方法四（投影面积法 角为，则S z =Sco s 或 方法五（异面直线法 ,, 2 2 2 2 ）一个平面 上的图形面积为
S,它在另一个平面 上的投影面积为 S'，这两个平面的夹 s /
c O s =-・
S =n, C D =d,则有 A B =m+n + d -2mncos ,故 cos = 在已知二面角两个面上两点间距离
说明：原来的公式中 理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角
2 2 2 2 =m+n + d 2mnc o s .但二面角可以取钝钝角 方法六（空间向量法）如图5,设n1,n 2,是二面角
相交成角，AC B D 分别在、上，且与棱垂直•若AC =m,BD m n d AB
） 2mn （即丨AB|）的情况下，可以用此公式来求 •
），故根据A 、E 的位置情况公式是 AB ,故只需取“-”号得出公式（1 ）• l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内 侧,另 一个指向外侧，则二面角
的平面角 =arccos 締。

（2 ）求平面G BD 与底面ABCD 所成二面角G
BD C 的平面角大小•
（或逆定理）,/ PAB 为所求的二面角的平面角•如图2。

方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图
A
例4.矩形ABCD勺两边AB=1, AD= 3，以E D为棱折成二面角，使AC詔•求二面角A-B D-C的大小.
例5 .正三棱柱ABC ABC i的所有棱长均为2,P是侧棱AA i上任意一点.当B。

大小.
Bf时，求二面角C B’P G的例6 .如图，AB 平面BCD , BD CD，若AB BC 2BD求二面角B AC D的正弦值+
例7.如图，在空间四边形ABCD中，面角
A BD C为直二面角，求二面角
BCD是正三角形,
A CD
ABD是等腰直角三角形，且BAD 90，又二
D
(I )求二面角 Q-BD -C 的大小：90°
(n)求二面角 B — QD- C 的大小.6 0°
3 . B D = 8 .
已知平面 a 丄平面卩,交线为A B , C €
, D € ,AB AC BC 4 , 3 , E 为 BC 的中点，A C 丄 BD , ①求证:B D 丄平面 ;
②求证：平面AE D 丄平面B C D
③求二面角 BAGD 的正切值. tg
BD 4
BFD 4. 如图，△ ABC^D ^ DBC 所在的两个平面互相垂直，且
/ DBG 1 20° ,求
(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小;
三、课堂练习题
1.如图，A BCD -A i BiCD 是正方体,E 、F 分别是 AD D D 的中点，则面 E F CB 和面B CC 所成二面角的正切值 等于(C)
在立体图形 P -A BC D 中，底面A B CD 是正方形，PA!底面A B CD PA= AB Q 是P C 中点.
A C BD 交于O 点.
9 0°. n — ar ctg2.
5 .正方形ABCD 中，以对角线E
1
的余弦值。

-— 7
6.如图平面S A C 丄平面 ACB,A S A C 是边长为4的等边三角形，△ ACB 为直角三角形,/ ACB=90 ,BC=4J2 , 求二面角S-AB- C 的余弦值。

22
课后练习：
1.三棱柱 AB C -A i B i C i 中,
BAC=9 00 ,AB=BB=1，直线 B i 值。

面角B —B i C- A 的正弦值为 2 .已知菱形A B C D 边长为a,且其一条对角线 BD=a ，沿对角线B D 将 ABD 折起与 BCD 所在平面成直 面角，点E 、F 分别是BC CD 的中点。

(1)求AC 与平面A EF 所成的角的余弦值
(2 ) 面角A — BD- C 的大小
D 为折线，把AA BD 折起,使二面角A ，-BD — C 为6 0° ,求二面角B-A ，C — D
B —B 1C- A 的正弦
(2)求二面角A -E F -B 的正切值。

3.如图，在梯形 ABCD 中, A"/ B C, ABC=9 0°,A B=a,AD =3a,sin V5
求二面角P — C D -A 的大小。

（答案：arct g ）
3
4. 在直三棱柱 ABC-A B' C'中，/BA C= 90°, AB =B B'= 1,直线B' C 与平面 AB C 成30°的角.(如 图所示)
(1)求点C'到平面A B' C 的距离；(2 )求二面角B -B ' C- A 的余弦值.
AD* ,又 PA!平面
ABCD,PA= a,。