专题04第八章立体几何初步(考点串讲)高一数学下学期期中考点大串讲(人教A版2019)
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则 x 2π5 10π，x 20 2π10 20π ，解得 π ， x 20 ，
2
故 MB 302 402 50. 故 BM 间细绳的最短长度为50cm .
典例剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题
【例 4】（2023 上·辽宁·高二校联考阶段练习）如图，某圆柱的轴截面 ABCD 是边
BAC CAD 60 ， PA 平面 ABCD ， PA 2 ， AB 1.设 M，N 分别为 PD ，AD 的中点.
(1)求证：平面CMN / / 平面PAB ；
(2)求三棱锥C PAB 的体积.
【详解】（1）证明：∵M，N 分别为 PD ， AD的中点，∴MN / /PA ， 又 MN 平面PAB ， PA 平面PAB ，∴ MN / / 平面 PAB . 在 Rt△ACD 中，CAD 60 ，CN AN ，∴ACN 60 . 又 BAC 60 ，∴CN // AB . ∵ CN 平面 PAB ， AB 平面 PAB ，∴CN / / 平面 PAB . 又 CN MN N ，∴平面CMN / / 平面PAB .
【详解】如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故 A 错；
有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即 B 错误，反例如图： 棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但 侧棱长不一定相等，故 C 错； 圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故 D 对.故选：ABC
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 13】（2024 高三·全国·专题练习）如图，BF// 平面 ADE，CF//AE ．求证：AD//BC ．
【详解】∵CF//AE ，CF 平面 ADE，AE 平面 ADE，∴CF // 平面 ADE． ∵ BF // 平面 ADE， BF CF F ， BF,CF 平面 BCF， ∴平面 ADE// 平面BCF ． 又平面 ADE 平面 ABCD AD ，平面 BCF 平面 ABCD BC ， ∴ AD//BC．
典例剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题
【例 2】（2023 下·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）如图，在三棱锥P ABC 中，
PA PB PC 8 ，APB APC BPC 40 ，过点 A 作截面，分别交侧棱 PB，PC 于 E，F
两点，则△AEF 周长的最小值为
．【答案】8 3
（2）如图，取 AD的中点 F ，连接 EF ，
∵四边形 ABCD是正方形，在△PAC 中，O 为 AC 的中点， 又∵E 为PA 的中点，∴ EO // PC ， 又∵PC 平面BDE ， EO 平面 BDE ， ∴ PC / / 平面 BDE；
则 EF / /PD 且 EF 1 PD 2 ，
2 13
65 8
1 2
8281 64
所以PE 91 ；
8
因为MN ∥PE ，所以 MN : PE 8:13，
所以MN 91 8 7 ．
8 13
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 11】（20-21 高一下·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥P ABCD 中，ABC ACD 90 ，
四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为 2 的截角
四面体，则该截角四面体的体积为（ ） 【答案】D
A． 20 2
B． 40 2
3
C．40 2
D．
46 3
2
【详解】棱长为 a 的正四面体的底面正三角形半径r 2 3 a 3 a ， 32 3
则该正四面体的高 h a2 r2 6 a ，
3
3
所以h 2 2 ， h
h2
6
2
2
2
(2
2)2
6
2
2
2
2
3，
所以正四棱台侧面积为S 4 (2 6) 2 3 32 3 ．
2
故答案为：32 3 ．
典例剖析 【考点题型六】多面体的体积
【例 7】（2024 上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）截角四面体是一种
半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为wenku.baidu.com6 的正
（2）∵ AB 1，ABC 90 ，BAC 60 ，∴BC 3 ，
∴三棱锥C PAB
的体积VC PAB
VP ABC
1 3
1 1 2
32
3 3
.
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 12】（22-23 高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD 中，
AB 2 ，PA 4 ， PB PD 2 5 ， AC 与 BD 相交于点 O，E 为 PD 中点．
（2）存在，点 F 是 PA 的中点，此时，连结 EF,OF 因为O, F 分别是 AC, AP 的中点， 所以OF / /PC ，OF 平面 PBC ， PC 平面 PBC ， 所以OF / / 平面 PBC ， 由（1）可知， EO / / 平面 PBC ，且OF EO O ，且OF, EO 平面OEF ， 所以平面OEF // 平面 PBC ， 所以PA 上存在中点F ，使平面OEF // 平面PBC .
典例剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图
【例 5】（2023 下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，正方形 ABCD 是用斜二测画法画出的水
平放置的一个平面四边形 ABCD的直观图，若OD 2 ，则四边形 ABCD 周长与面积的数值之比为（ ）
A． 2 2 :1
B． 2 :1
C． 2 :2
【详解】如图，沿着侧棱PA 把三棱锥P ABC 展开在一个平面内，如图所示：
则 AA即为△AEF 的周长的最小值， 在△PAA中， APA 340 120 ， PA AP 8 ，
由余弦定理得： AA
PA2 AP2 2PA AP cos120
． 82
82
2
88
1 2
8
3
故答案为：8 3 .
典例剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题
【例 3】（2023 下·高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为5cm ，10cm ，母线长为20cm ，从母 线 AB 的中点 M 拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的B 点，求 BM 间细绳的最短长度.
【详解】如图所示：圆台的展开图，设SA x ，S ，MB 为最短距离，
3
该正四面体的体积V 1 1 a2 sin 60 h 3 a2 6 a 2 a3 ，
32
12 3 12
所以该截角四面体的体积为V 2 63 4 2 23 46 2 .
12
12
3
故选：D
典例剖析 旋转体表面积（侧面积）
【例 8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π 的
(1)求证： EO∥平面 PBC ；
(2) PA 上是否存在点 F，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，
请说明理由．
【详解】（1）因为O, E 分别是 BD, PD 的中点， 所以EO / /PB ，且EO 平面PBC ， PB 平面PBC ， 所以EO / / 平面PBC ；
的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的点 N，求线段 MN 的长．
【详解】（1）存在， BN : ND 5:8；理由如下： 假设存在，连接 AN 并延长，交BC 于 E，连接 PE ． 因为MN / / 平面 PBC ，PE 平面PBC ， PE 平面 APE ， 所以MN ∥PE ， 则 PM NE 5 ，
扇形，若圆锥的体积为2 2π ，则该圆锥的表面积为
．
3
【答案】 4
【详解】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
由题意，由扇形弧长得 2πr 2π l ， ①
3
又圆锥的高为h l2 r2 ，
则 2 2π 1 πr2 l2 r2 ，②
33
由①②可得 r 1,l 3 ，
所以圆锥的表面积 S πr2 πrl 4π. 故答案为： 4.
典例剖析 【考点题型九】直线与平面平行
【例 9】（2024 高三上·全国·专题练习）在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD 是
正方形， PD 平面 ABCD，且 PD AD 4，E 为线段 PA 的中点.
(1)求证： PC// 平面 BDE.
(2)求三棱锥 E BCD的体积
【详解】（1）如图，连接 AC 交 BD 于点O ，连接 EO .
典例剖析 【考点题型五】多面体表面积（侧面积）
【例 6】（2024 下·广东·高三统考阶段练习）如图是一个正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ，已知正四
棱台的上、下底面的边长分别为 2 和 6，体积为104 2 ，则侧面积为
．
3
【答案】32 3
【详解】设该正四棱台的高、斜高分别为 h，h ，
由已知得 h 22 62 2 6 104 2 ，
人教版高一数学必修第二册期中考点大串讲
串讲04 第八章 立体几何初步
目 01 录 02
03
考点透视 典例剖析 考场练兵
考点透视
考点透视
典例剖析 【考点题型一】基本立体图形
【例 1】（多选）（2023 上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）下列说法中不正确的是（ ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
由于圆柱的轴截面
ABCD
是边长为
2
的正方形，故BAC
BCA
π 4
，
AE AB BE 2 1 3，
则 PQ PE PQ PE EQ ，当Q, P, E 三点共线时取等号，
当 EQ AC 时，EQ 最小，最小值为 AEsin π 3 2 ，
42
即 PQ PE 的最小值为3 2 ，
2
故选：C
MA NA 8
因为正方形 ABCD中， AD∥BC ，所以 EN BN 5 ，
NA ND 8
假设成立. 则此时 BN : ND 5:8.
（2）由（1）得
BE
:
AD
5:
8
，所以
BE
65 8
；
△PBE 中，PE2 PB2 BE2 2PB BE cos 60 ，
所以 PE 2
132
65
2
8
长为 2 的正方形，P，Q 分别为线段 BC，AC 上的两个动点，E 为AB 上一点，且BE 1，
则 PQ PE 的最小值为（ ）
【答案】C
A．3
B．
3
3 2
C
．
3
2 2
D．
3 2
【详解】如图，连接 EC，将 BCE 沿直线 BC 旋转到 BCE 的位置，
且 E在 AB 的延长线上．则 PE PE ，
【详解】（1）连接 PO ，则PO 圆O 所在平面，而CD 在圆O 所在平面 （2）由题意得，PA PB 2 ， AB 2 2 ，
内，∴ PO CD ， 又 CD AB ， AB PO O ， AB ， PO 平面PAB ， ∴CD 平面 PAB ，又PB 平面PAB ，∴ PB CD ，
由 ABF 30 可得 AF 2 ，BF 6 ，
典例剖析 【考点题型十一】直线与平面垂直
【例 14】（2022·全国·模拟预测）如图，AB ，CD 是圆锥底面圆O 的两条互相垂直的直径， 过CD 的平面与 PB 交于点 E ，若BOE 45 ，点F 在圆O 上， PA PB . (1)求证： PB 平面CDE ； (2)若ABF 30 ，PA 2 ，求三棱锥F BOE 的体积.
D． 2【: 4答案】A
【详解】由图可知， SABCD AD2 1, 所以四边形 ABCD 的面积为2 2 1 2 2 ；
根据x 轴不变， y 轴减半的原则，C 的坐标为：0,2 2
四边形 ABCD周长为 1 32 8, 所以四边形 ABCD周长与面积的数值之比为2 2 :1 , 故选：A.
2
∵ PD 平面 ABCD ，∴ EF 平面 ABCD ，
∴ EF 就是三棱锥 E BCD 的高.
∴ . V三棱锥EBCD
1 3
S△BCD
EF
1 8 2 3
16 3
典例剖析 【考点题型九】直线与平面平行
【例 10】（21-22 高一下·山东淄博·期中）如图，正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长和底 面边长均为 13，M 为侧棱 PA 上的点，且 PM∶MA=5∶8． (1)在线段 BD 上是否存在一点 N，使直线MN / / 平面 PBC？如果存在，求出 BN∶ND
2
故 MB 302 402 50. 故 BM 间细绳的最短长度为50cm .
典例剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题
【例 4】（2023 上·辽宁·高二校联考阶段练习）如图，某圆柱的轴截面 ABCD 是边
BAC CAD 60 ， PA 平面 ABCD ， PA 2 ， AB 1.设 M，N 分别为 PD ，AD 的中点.
(1)求证：平面CMN / / 平面PAB ；
(2)求三棱锥C PAB 的体积.
【详解】（1）证明：∵M，N 分别为 PD ， AD的中点，∴MN / /PA ， 又 MN 平面PAB ， PA 平面PAB ，∴ MN / / 平面 PAB . 在 Rt△ACD 中，CAD 60 ，CN AN ，∴ACN 60 . 又 BAC 60 ，∴CN // AB . ∵ CN 平面 PAB ， AB 平面 PAB ，∴CN / / 平面 PAB . 又 CN MN N ，∴平面CMN / / 平面PAB .
【详解】如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故 A 错；
有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即 B 错误，反例如图： 棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但 侧棱长不一定相等，故 C 错； 圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故 D 对.故选：ABC
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 13】（2024 高三·全国·专题练习）如图，BF// 平面 ADE，CF//AE ．求证：AD//BC ．
【详解】∵CF//AE ，CF 平面 ADE，AE 平面 ADE，∴CF // 平面 ADE． ∵ BF // 平面 ADE， BF CF F ， BF,CF 平面 BCF， ∴平面 ADE// 平面BCF ． 又平面 ADE 平面 ABCD AD ，平面 BCF 平面 ABCD BC ， ∴ AD//BC．
典例剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题
【例 2】（2023 下·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）如图，在三棱锥P ABC 中，
PA PB PC 8 ，APB APC BPC 40 ，过点 A 作截面，分别交侧棱 PB，PC 于 E，F
两点，则△AEF 周长的最小值为
．【答案】8 3
（2）如图，取 AD的中点 F ，连接 EF ，
∵四边形 ABCD是正方形，在△PAC 中，O 为 AC 的中点， 又∵E 为PA 的中点，∴ EO // PC ， 又∵PC 平面BDE ， EO 平面 BDE ， ∴ PC / / 平面 BDE；
则 EF / /PD 且 EF 1 PD 2 ，
2 13
65 8
1 2
8281 64
所以PE 91 ；
8
因为MN ∥PE ，所以 MN : PE 8:13，
所以MN 91 8 7 ．
8 13
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 11】（20-21 高一下·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥P ABCD 中，ABC ACD 90 ，
四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为 2 的截角
四面体，则该截角四面体的体积为（ ） 【答案】D
A． 20 2
B． 40 2
3
C．40 2
D．
46 3
2
【详解】棱长为 a 的正四面体的底面正三角形半径r 2 3 a 3 a ， 32 3
则该正四面体的高 h a2 r2 6 a ，
3
3
所以h 2 2 ， h
h2
6
2
2
2
(2
2)2
6
2
2
2
2
3，
所以正四棱台侧面积为S 4 (2 6) 2 3 32 3 ．
2
故答案为：32 3 ．
典例剖析 【考点题型六】多面体的体积
【例 7】（2024 上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）截角四面体是一种
半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示，将棱长为wenku.baidu.com6 的正
（2）∵ AB 1，ABC 90 ，BAC 60 ，∴BC 3 ，
∴三棱锥C PAB
的体积VC PAB
VP ABC
1 3
1 1 2
32
3 3
.
典例剖析 【考点题型十】平面与平面平行
【例 12】（22-23 高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD 中，
AB 2 ，PA 4 ， PB PD 2 5 ， AC 与 BD 相交于点 O，E 为 PD 中点．
（2）存在，点 F 是 PA 的中点，此时，连结 EF,OF 因为O, F 分别是 AC, AP 的中点， 所以OF / /PC ，OF 平面 PBC ， PC 平面 PBC ， 所以OF / / 平面 PBC ， 由（1）可知， EO / / 平面 PBC ，且OF EO O ，且OF, EO 平面OEF ， 所以平面OEF // 平面 PBC ， 所以PA 上存在中点F ，使平面OEF // 平面PBC .
典例剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图
【例 5】（2023 下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，正方形 ABCD 是用斜二测画法画出的水
平放置的一个平面四边形 ABCD的直观图，若OD 2 ，则四边形 ABCD 周长与面积的数值之比为（ ）
A． 2 2 :1
B． 2 :1
C． 2 :2
【详解】如图，沿着侧棱PA 把三棱锥P ABC 展开在一个平面内，如图所示：
则 AA即为△AEF 的周长的最小值， 在△PAA中， APA 340 120 ， PA AP 8 ，
由余弦定理得： AA
PA2 AP2 2PA AP cos120
． 82
82
2
88
1 2
8
3
故答案为：8 3 .
典例剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题
【例 3】（2023 下·高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为5cm ，10cm ，母线长为20cm ，从母 线 AB 的中点 M 拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的B 点，求 BM 间细绳的最短长度.
【详解】如图所示：圆台的展开图，设SA x ，S ，MB 为最短距离，
3
该正四面体的体积V 1 1 a2 sin 60 h 3 a2 6 a 2 a3 ，
32
12 3 12
所以该截角四面体的体积为V 2 63 4 2 23 46 2 .
12
12
3
故选：D
典例剖析 旋转体表面积（侧面积）
【例 8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π 的
(1)求证： EO∥平面 PBC ；
(2) PA 上是否存在点 F，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，
请说明理由．
【详解】（1）因为O, E 分别是 BD, PD 的中点， 所以EO / /PB ，且EO 平面PBC ， PB 平面PBC ， 所以EO / / 平面PBC ；
的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的点 N，求线段 MN 的长．
【详解】（1）存在， BN : ND 5:8；理由如下： 假设存在，连接 AN 并延长，交BC 于 E，连接 PE ． 因为MN / / 平面 PBC ，PE 平面PBC ， PE 平面 APE ， 所以MN ∥PE ， 则 PM NE 5 ，
扇形，若圆锥的体积为2 2π ，则该圆锥的表面积为
．
3
【答案】 4
【详解】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
由题意，由扇形弧长得 2πr 2π l ， ①
3
又圆锥的高为h l2 r2 ，
则 2 2π 1 πr2 l2 r2 ，②
33
由①②可得 r 1,l 3 ，
所以圆锥的表面积 S πr2 πrl 4π. 故答案为： 4.
典例剖析 【考点题型九】直线与平面平行
【例 9】（2024 高三上·全国·专题练习）在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD 是
正方形， PD 平面 ABCD，且 PD AD 4，E 为线段 PA 的中点.
(1)求证： PC// 平面 BDE.
(2)求三棱锥 E BCD的体积
【详解】（1）如图，连接 AC 交 BD 于点O ，连接 EO .
典例剖析 【考点题型五】多面体表面积（侧面积）
【例 6】（2024 下·广东·高三统考阶段练习）如图是一个正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ，已知正四
棱台的上、下底面的边长分别为 2 和 6，体积为104 2 ，则侧面积为
．
3
【答案】32 3
【详解】设该正四棱台的高、斜高分别为 h，h ，
由已知得 h 22 62 2 6 104 2 ，
人教版高一数学必修第二册期中考点大串讲
串讲04 第八章 立体几何初步
目 01 录 02
03
考点透视 典例剖析 考场练兵
考点透视
考点透视
典例剖析 【考点题型一】基本立体图形
【例 1】（多选）（2023 上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）下列说法中不正确的是（ ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
由于圆柱的轴截面
ABCD
是边长为
2
的正方形，故BAC
BCA
π 4
，
AE AB BE 2 1 3，
则 PQ PE PQ PE EQ ，当Q, P, E 三点共线时取等号，
当 EQ AC 时，EQ 最小，最小值为 AEsin π 3 2 ，
42
即 PQ PE 的最小值为3 2 ，
2
故选：C
MA NA 8
因为正方形 ABCD中， AD∥BC ，所以 EN BN 5 ，
NA ND 8
假设成立. 则此时 BN : ND 5:8.
（2）由（1）得
BE
:
AD
5:
8
，所以
BE
65 8
；
△PBE 中，PE2 PB2 BE2 2PB BE cos 60 ，
所以 PE 2
132
65
2
8
长为 2 的正方形，P，Q 分别为线段 BC，AC 上的两个动点，E 为AB 上一点，且BE 1，
则 PQ PE 的最小值为（ ）
【答案】C
A．3
B．
3
3 2
C
．
3
2 2
D．
3 2
【详解】如图，连接 EC，将 BCE 沿直线 BC 旋转到 BCE 的位置，
且 E在 AB 的延长线上．则 PE PE ，
【详解】（1）连接 PO ，则PO 圆O 所在平面，而CD 在圆O 所在平面 （2）由题意得，PA PB 2 ， AB 2 2 ，
内，∴ PO CD ， 又 CD AB ， AB PO O ， AB ， PO 平面PAB ， ∴CD 平面 PAB ，又PB 平面PAB ，∴ PB CD ，
由 ABF 30 可得 AF 2 ，BF 6 ，
典例剖析 【考点题型十一】直线与平面垂直
【例 14】（2022·全国·模拟预测）如图，AB ，CD 是圆锥底面圆O 的两条互相垂直的直径， 过CD 的平面与 PB 交于点 E ，若BOE 45 ，点F 在圆O 上， PA PB . (1)求证： PB 平面CDE ； (2)若ABF 30 ，PA 2 ，求三棱锥F BOE 的体积.
D． 2【: 4答案】A
【详解】由图可知， SABCD AD2 1, 所以四边形 ABCD 的面积为2 2 1 2 2 ；
根据x 轴不变， y 轴减半的原则，C 的坐标为：0,2 2
四边形 ABCD周长为 1 32 8, 所以四边形 ABCD周长与面积的数值之比为2 2 :1 , 故选：A.
2
∵ PD 平面 ABCD ，∴ EF 平面 ABCD ，
∴ EF 就是三棱锥 E BCD 的高.
∴ . V三棱锥EBCD
1 3
S△BCD
EF
1 8 2 3
16 3
典例剖析 【考点题型九】直线与平面平行
【例 10】（21-22 高一下·山东淄博·期中）如图，正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长和底 面边长均为 13，M 为侧棱 PA 上的点，且 PM∶MA=5∶8． (1)在线段 BD 上是否存在一点 N，使直线MN / / 平面 PBC？如果存在，求出 BN∶ND