2022-2023高中物理--机械波--专题：波动问题的多解

波动问题的多解
一、知识点梳理
机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因.解题时常出现漏解，现归类分析
1.波的空间周期性
沿波的传播方向，在x 轴上任取一点)(x P ,如图所示.P 点的振动完全重复波源O 点的
振动，只是时间上比O 点要落后t ∆时间，且T x
v x t λ
==
∆.在同一列波上，凡坐标与P 点坐标x 之差为波长整数倍的质点，在同一时刻t 的振动位移都与坐标为x 的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也都与坐标为x 的质点相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同.因此在同一列波上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现，这就是机械波的空间周期性.波的空间周期性说明，在同一列波上，相距为波长整数倍的多个质点的振动情况完全相同.
2.波的时间周期性
在x 轴上取一给定质点，在kT t +时刻的振动情况与它在t 时刻的振动情况（位移、速度、加速度等)相同.因此在t 时刻的波形，在kT t +时刻必然多次重复出现，这就是机械波的时间周期性，波的时间周期性表明，波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同.
3.波的双向性
双向性是指波沿正、负两方向传播时，若沿正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则沿正、负两方向传播到那一时刻的波形图相同.
4.波的对称性
波源的振动，要带动它左、右相邻质点的振动，波要向左、右两方向传播.对称性是指波在向左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点的振动情况完全相同.
5.介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点相距的距离不确定，就会形成多解，学生若不能联想到所有可能的情况，则易出现漏解.
6.介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向相联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样会形成多解.
例1.一列简谐横波在0=t 时刻的波形如图中的实线所示，s 02.0=t 时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T 大于s 02.0，则该波的传播速度可能是（ ） A ．2m/s B ．3m/s C ．4m/s D ．5m/s
例2.如图所示，一列简谐横波在x 轴上传播，图甲和图乙分别为x 轴上a 、b 两质点的振动图象，且m 6=ab x ，下列判断正确的是（ ）
A ．此波一定沿x 轴正方向传播
B ．波长一定是8m
C ．波速可能是2m/s
D ．波速一定是6m/s
二、技巧总结
1.波动问题的解题技巧
(1)波动图象的周期性形成的多解分析方法求解波动图象多解问题，关键是分析时间和空间的周期性，注意以下两点：
①写关系式时，先找出两个状态下的最小时间间隔或最小距离，再引入整数n 写出通式.
x n x ∆+=λ，t T n t ∆+=',t
T n x
n t x v ∆+∆+=='
λ,其中n 、 3,2,1,0'=n ②如果有限制条件再根据限制条件确定n 的取值
(2)解决由周期性及双向性带来的多解问题的般思路是： ①首先考虑传播方向的双向性，如果题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向(x +和x -两个方向)的可能性进行讨论.
②对设定的传播方向，确定t ∆和T 的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT .
③应注意题日是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间t ∆大于或小于一个周期等所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意.
④空间的周期性和时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以解题时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解 (3)波形的不确定造成的多解问题
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态,这样，波形就有多种情况，形成相关波动问题的多解. 实际上这类题型主要有两种命题形式：一是已知同一时刻波动中两质点所处的位置求解可能的波长.我们应先确定这两点间可能出现的小于一个波长的所有可能性，再利用波的空间的周期性，判断出所有可能
的波形.二是告诉同一质点在不同时刻所处的位置.例如0t 时A 质点处于波峰，
1t 时刻A 质点处于平衡位置，此时就应利用振动时间的周期性来确定周期.由于A 质点振动方向不明确，先确定A 质点在一个周期内发生这一运动的两种可能性即T t 41
=∆或T 4
3. 再由时间的周
期性可得到，T nT t t 4101+=-或T nT t t 4
301+=-,即可求出所有可能的周期值，
解决此类问题的关键是：①分析题目给定的关键状态. ②确定两状态点可能存在的波形，只需画出一个周期内的可能波形.③利用波的周期性，确定所有可能出现的波形.④结合
题日的限制条件，选择正确的值.
(4)两质点间关系不确定形成多解的分析方法 在波的传播方向上，如果两个质点间距离不确定或者两者相位之间关系不确定，就会形成多解，若不能联想到所有可能的情况，就会出现漏解.
例3.一列简谐横波沿水平直线向右传播. M 、N 为介质中相距为s ∆的两质点，M 在左，N 在右. t 时刻，M 、N 两质点正好振动经过平衡位置，而且M 、N 之间只有一个波峰，经过t ∆时间N 质点恰好在波峰位置，求这列波的波速.
2.图象互推问题分析要点
(1)1t 时刻波形图⇔2t 时刻波形图：将“波形图平移”，即波形沿传播方向平移.平移的距离t v x ∆⋅=∆
(2)振动图象与波动图象：通常取振动图象上的特殊时刻或波动图象上的特殊质点，利用波的传播方向和振动方向关联分析，任一质点的振动状态（如位移，振动方向）在波形图和振动图上应该一致.
(3)1x 振动图象⇔2x 振动图象：将“振动图象平移”，即被带动的质点的振动状态（或振动图象）延迟了t ∆时间，延迟的时间v
x t ∆=
∆.
例4.多选一列简谐横波沿x 轴正方向传播，图（a ）是t ＝0时刻的波形图，图（b ）和图（c ）分别是x 轴上某两处质点的振动图象．由此可知，这两质点平衡位置之间的距离可能是（ ） A ．
m 3
1
B ．
m 3
2
C ．m 1
D ．
m 4
3
三、针对训练
1.（多选）一列简谐横波沿直线传播，该直线上的a 、b 两点相距4.42m. 图中实、虚两条曲线分别表示平衡位置在a 、b 两点处质点的振动曲线. 从图示可知（ ） A ．此列波的频率一定是10Hz B ．此列波的波长一定是0.1m
C ．此列波的传播速度可能是34m/s
D ．a 点一定比b 点距波源近
2. 一列简谐横波沿直线由a 向b 传播，相距10.5m 的a 、b 两处的质点振动图象如图中a 、b 所示，则（ ）
3. A ．该波的振幅可能是20cm
4. B ．该波的波长可能是8.4m
5. C ．该波的波速可能是10.5m/s
6. D ．该波由a 传播到b 可能历时7s
3.（多选）一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿正x 方向传播.某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点1P 、2P ，已知1P 的x 轴坐标小于2P 的x 轴坐标，则（ ） A ．若2
21λ
<P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动 B ．若2
21λ
<P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 C ．若2
21λ
>P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 D ．若2
21λ
>
P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动
4.（多选）M 、N 为介质中波的传播方向上的两点，间距s =1.5m ，它们的振动图象如图所示，这列波的波速的可能值为（ ）
A ．15 m/s
B ．7.5m/s
C ．5 m/s
D ．3 m/s
5. 在波传播的直线上有两个质点A 、B ，它们相距60cm ，当A 质点在平衡位置处向上振动时，B 质点处在波谷位置. 已知波的速度是24m/s ，则此列波的频率可能是（ ） ①30Hz ②410Hz ③400Hz ④430Hz
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③④
6. (多选)(2019·天津高考)一列简谐横波沿x 轴传播，已知x 轴上m 11=x 和m 72=x 处质点
的振动图象分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能
是
( )
图1 图2
A ．7 m/s
B ．2 m/s
C ．1.2 m/s
D ．1 m/s
7. （多选）如图所示，一根张紧的水平弹性长绳的a 、b 两点相距14.0m ，b 点在a 点右方. 当一列简谐波沿此绳向右传播时，若a 点位移达到正向极大时，b 点位移恰好为零，且向下运动，经过1.00s 后，a 点位移第一次变为零，且向下运动，而b 点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于( ) A ．4.67m/s B ．6 m/s C ．2 m/s D ．14 m/s
8. 一列简谐横波向右传播，波速为v ，沿波传播方向上有相距为L 的P 、Q 两质点，如图所示，某时刻P 、Q 两质点都处于平衡位置，且P 、Q 间仅有一个波峰，经过时间t ，Q 质点第一次运动到波谷，则t 的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9.（多选 ）一列横波以10 m/s 的速率沿水平方向传播，某时刻的波形如图中的实线所示，经时间t ∆后的波形如图中的虚线所示，已知T t T >∆>2(T 为这列波的周期). 由此可知t ∆可能是（ ）
A ．0.3s
B ．0.5s
C ．0.6s
D ．0.7s
10. 一列简谐横波沿直线由A 向B 传播，A 、B 相距0.45m ，如图是A 处质点的振动图象，当A 处质点运动到波峰位置时，B 处质点刚好到达平衡位置且向y 轴正方向运动，这列波的波速可能是（ ）
A ．4.5m/s
B ．3.0m/s
C ．1.5m/s
D ．0.7m/s
11. 如图所示，一简谐横波在x 轴上传播，轴上a 、b 两点相距12m ，t=0时a 点为波峰，b 点为波谷，t=0.5s 时，a 点为波谷，b 点为波峰. 则下列判断中正确的是（ ） A ．波一定沿x 轴正方向传播 B ．波长可能是8m C ．周期可能是0.5s D ．波速一定是24m/s
12. 如图所示，实线是一列简谐横波在01=t 时刻的波
形，虚线是这列波在s 5.02 t 时刻的波形. (1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74 m/s ，波速方向如何？
13. 如图所示，实线是某时刻的波形图象，虚线是0.2s 后的波形图 (1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期， (2)若波向右传播，求它的可能传播速度. (3)若波速是45m/s ，求波的传播方向.
14. 在波的传播方向上有两个质点P 和Q ，它们的平衡位置相距s=1.2m ，且大于一个波长，介质中的波速为v =2m/s ，P 和Q 的振动图线如图所示，求振动周期的最大值，并画出t=0时的波的图象.
答案
例题
例1.B 解析：由图λ＝0.08m ，该波的周期T 大于0.02s,波传播的距离小于波长，则据题意，由两个时刻的波形得到：T t 41=或T t 4
3=，解得s 08.01=T , s 308
.01=T
由波速公式T
v λ
=
，得m/s 11=v ,m/s 32=v ， 故选：B
例2.C 解答：解：A 、由振动图象无法比较a 、b 两质点振动的先后，所以无法判断波的传播方向，故A 错误。

B 、若波沿x 轴正方向传播时，由振动图象读出t ＝0时刻，a 质点经过平衡位置向下运动，而b 位于波峰，结合波形得到：λ)4
1(+=n x ab ， 2,1,0=n ，得到
波长为m 1424144+=+=
n n x ab λ,波速为m/s 1
46
+==n T v λ，同理可知，若波沿x 轴负方向传播时，波长为m 3424+=n λ,只有当0=n 时λ等于8m ；波速为m/s 3
46
+==n T v λ，由于n 为
整数，波速不一定等于6m/s ；当0=n 时，m /s 2=v ， 故选：C
例3.【解析】设该波的波长为λ，周期为T .由题意可知，M 、
N 两质点间的距离s ∆可能等于2λ，或等于λ，或等于2
3λ
，则
M,N 均过平衡位置的时刻，其波形为如下四种情况，如图所示。

对甲，N 质点正在经过平衡位置向上振动，已知N 经过时间t
∆到达波峰位置，t ∆可能为：T k t )4
1
(+=∆，)3,2,1,0( =k
由T v λ=，并且考虑到s ∆=2λ,可得t
s k v ∆∆+=2)14(，)3,2,1,0( =k
同理，对乙，t
s
k v ∆∆+=4)34(，)3,2,1,0( =k
对丙，t s k v ∆∆+=4)14(，)3,2,1,0( =k ，对丁，t
s
k v ∆∆+=6)34(，)3,2,1,0( =k
例4.BD 解析：图（b ）所示质点在t ＝0时在正向最大位移处，图（c ）所示质点在t ＝0时，x ＝−0.05（振幅的一半），运动方向沿y 轴负方向，结合波形图找到对应的点，若图（c ）
所示质点在图（b ）所示质点的左侧有
λλ
λλ
λ
n n +=
++
3
4
12
，当n ＝0时，B 正确；
若图（c ）所示质点在图（b ）所示质点的右侧有
λλ
λλ
λ
n n +=
++
3
22
6
，当n ＝0时，D 正确.
针对训练
1.AC
2.D
3.AC
4.ACD
5.C
6.BC
7.AC
8.D 解析：由题中条件可知，P 、Q 间的波形有如图所示四种且均向右传播： 对于图(1)，L 2=λ,Q 点振动到波谷需时间
v
L
v T t 234343=
⋅==λ，对于图（2）,L =λ，Q 点振动到波谷需时间v
L
v T t 44141=⋅==λ，对于图（3），L =λ，
Q 点振动到波谷需时间v
L
v T t 434343=⋅==λ，对于图(4)，
L 32=λ,Q 点振动到波谷需时间v L v T t 64141=
⋅==λ
9.BD 解析：由v
T λ
=
，得s 4.0=T ，向右传播时s 7.04
3=+=∆T T t
向左传播时s 5.04
1=+=∆T T t
10.A 解析：m 45.0)41(=+=λn AB ，所以m 1
48
.1+=
n λ，由振动图象知s 4.0=T 所以m/s 1
45
.4+=
=
n T
v λ
)3,2,1,0( =n ，综上只有A 正确
11.B 解析：由于t=0时a 点为波峰，b 点为波谷，所以a 、b 两点的间距为半波长的奇数
倍，则有2)
12(m 12λ
+=n )3,2,1,0( =n ,所以m 1
224
+=
n λ)3,2,1,0( =n ，当1=n 时，
m 8=λ,故B 正确. 由于经t=0.5s, a 点为波谷，
b 点为波峰，所以0.5s 为半个周期的奇数倍，则有2)12(s 5.0T m +=)3,2,1,0( =m , 所以s 121+=m T )3,2,1,0( =m ，
设T=0.5s,则2
1
=m ，所以周期不可能为05s, 故C 错，由于机械波具有双向性和周期性，所以A 、D 均错.
12.[解析] (1)由题图可知λ＝8 m ，当波向右传播时，波传播距离为
s ＝nλ＋38λ＝(8n ＋3)m(n ＝0,1,2…)，波速为v ＝s Δt ＝8n ＋3
0.5 m /s ＝(16n ＋6)m/s(n ＝0,1,2…)。

当波向左传播时，波传播距离为，s ＝nλ＋5
8
λ＝(8n ＋5)m(n ＝0,1,2…)
波速为v ＝s Δt ＝8n ＋5
0.5
m /s ＝(16n ＋10)m/s(n ＝0,1,2…)。

(2)若波速大小为74 m/s ，在Δt ＝t 2－t 1时间内波传播的距离为s ＝v ·Δt ＝74×0.5 m ＝37 m 。

因为37 m ＝4λ＋5
8
λ，所以波向左传播。

13.解析：(1)波向左传播，传播的时间为nT T t +=∆4
3)3,2,1,0( =n ， 所以s 348.0344+=+∆=n n t T )3,2,1,0( =n ，最大周期为s 27.038
.0max ==T
(2)波向右传播，nT T t +=∆4
1
)3,2,1,0( =n ，s 1
48
.0+=n T )3,2,1,0( =n 而λ=4m, 所以m/s )14(5+==
n T
v λ
，)3,2,1,0( =n
(3)若波速是m /s 45,设波向右传播，由m/s )14(5+==
n T
v λ
,得45m/s=5(4n+1)m/s, 解得n=2. 故假设成立，波向右传播. 或m 92.045=⨯=∆=∆t v x ，,因为λ=4m,所以12+=∆λx .由图象可知波向右传播.
14.解析：(1)当波由P 点向Q 点传播， 由振动图线可知Q 点的振动在时间上比P 点至少落后4T ，因而P 、0两点之间的距离至少是λ4
1
，根据波的周期性，s 与λ的关系应为（注意λ>s ）λλn s +=4
1
)3,2,1,0( =n ，
1
44+=
n s
λ，故周期s )14(512+=
=n v T λ)3,2,1,0( =n ，显然，1=n 时，λ和T 有最大值，其最大值分别为1λ=0.96m,1T =0.48s.
0=t 时波的图像如图甲所示.
(2)当波由Q 点向P 点传播这种情况下与(1)的求解方法基本相同. 所以λλn s +=
43)3,2,1,0( =n ，344+=
n s
λ，
s )34(512+==n v T λ)3,2,1,0( =n 当1=n 时，λ和T 取最大值，其最大值分别为m 78.42=
λ，s 7
4.22=T ，0=t 时波的图象如图乙所示.。