直线、平面垂直的判定及其性质

题型三 线面垂直的综合应用 如图所示， 例 3 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC， ⊥ ， ∥ ， 是等边三角形， △PAD 是等边三角形， 已知 BD ＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. ＝ ， ＝ ＝ (1)设 M 是 PC 上的一点， 设 上的一点， 求证： 求证：平面 MBD⊥平面 PAD； ⊥ ； (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积 求四棱锥 的体积.
解析
①中由 n∥β，α∥β 得 n∥α 或 n⊂α， ∥ ∥ ∥ ⊂
又 m⊥α，∴m⊥n，故①正确； ⊥ ∴ ⊥ ① ②中可能 n⊂β，故②错误； ⊂ ② ③中直线 n 可能与平面 β 斜交或平行，也可能 在平面 β 内，故③错； ③ ④中由 m∥n，m⊥α，可得 n⊥α，又 α∥β 可 ∥ ⊥ ⊥ ∥ 得 n⊥β， ⊥ 故④正确. ④
(2)解 解
过 P 作 PO⊥AD， ⊥
∵面 PAD⊥面 ABCD， ⊥ ∴PO⊥面 ABCD， ⊥ 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形， △ ∴PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝2DC， ∥ ∴四边形 ABCD 为梯形. 在 Rt△ADB 中，斜边 AB 边上的高为 △ 此即为梯形的高. 2 5＋4 5 8 5 × ＝24. ∴S 四边形 ABCD＝ 2 5 1 ∴VP—ABCD＝ ×24×2 3＝16 3. 3 4×8 8 5 ＝ ， 5 4 5
如图所示， 、 、 变式训练 1 如图所示，P、Q、R 分别为正方 体 ABCD—A1B1C1D1 的 棱 AB、BB1、BC 的中点 、 的中点. 求证： 求证：BD1⊥平面 PQR.
证明
连接 BD、AC、AB1、A1B.
∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ⊥ 又∵P、 分别是 AB、 的中点， ∵ R BC ∴PR∥AC，∴PR⊥BD. ∥ ∴ ⊥ 又 DD1⊥ 平 面 ABCD ， PR ⊂ 平 面 ABCD ， ∴DD1⊥PR. 又 BD 和 DD1 是平面 DBD1 内的两条相交直线， ∴PR⊥平面 DBD1. ⊥ ∵BD1⊂平面 DBD1，∴PR⊥BD1. ∴ ⊥ 同理，PQ⊥平面 A1BD1，∴PQ⊥BD1. ⊥ ∴ ⊥ 又 PQ 和 PR 为平面 PRQ 内的两条相交直线， ∴BD1⊥平面 PQR.
证明
由四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°， ∠
可得△ABC 为正三角形. △ 因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC. ⊥ 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD. ∥ ⊥ 因为 PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD， PA⊥ ABCD，AE⊂ 所以 PA⊥AE. ⊥ 而 PA⊂平面 PAD， ⊂平面 PAD 且 PA∩AD AD⊂ ⊂ ∩ ＝A， 所以 AE⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD. ⊥ ⊂ 所以 AE⊥PD. ⊥
直线、 §8.5 直线、 平面垂直的判定及其性质 基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线与平面垂直 直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 利用判定定理： ② 利用判定定理 ： 一条直线和一个平面内的两条
相交 直线都垂直，则该直线和此平面垂直 _____直线都垂直，则该直线和此平面垂直. 直线都垂直
基础自测 1.若直线 a 与平面 α 不垂直，那么在平面 α 内 若直线 不垂直， 与直线 a 垂直的直线有 无数 条.
解析 显然可以在平面 α 内找到一条直线
b⊥a，而在平面 α 内有无数条直线平行 b，从 ⊥ ， ， 垂直的直线有无数条. 而与直线 a 垂直的直线有无数条
2. 如图，PA⊥平面 ABC，△ABC 如图， ⊥ ， 中，BC⊥AC， ⊥ ，则图中直角三角形 . 的个数为 4 由线面垂直知， 图中直角三角形为 4 个.
A.①② B.②③ C.②④ A.①② B.②③ C.②④
解析
D.③④ D.③④
平面都有可能相交， ①与③中，α 与 β 平面都有可能相交，
②、④正确. 正确
5.设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不 设 ， 是两条不同的直线， ， 同的平面，则下列四个命题： 同的平面，则下列四个命题： ①若 α∥β，m⊂α，则 m∥β；②若 m∥α， ∥ ， ⊂ ， ∥ ； ∥ ， n⊂α，则 m∥n； ⊂ ， ∥ ； ③若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β；④若 m⊥α， ⊥ ， ∥ ， ⊥ ； ⊥ ， m∥β，则 α⊥β. ∥ ， ⊥ 其中为真命题的是( 其中为真命题的是 C ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ①③ ②③ ①④ ②④ 为空间面面平行的性质，是真命题； 解析 ①为空间面面平行的性质，是真命题； ②m，n 可能异面，故该命题为假命题；③直 ， 可能异面，故该命题为假命题； 线 m 与平面 β 平行或 m⊂β，故该命题是一个 ⊂ ， 假命题； 为真命题. 假命题；④为真命题
思维启迪： 思维启迪：(1)因为两平面垂直与 M 点位置无 关，所以在平面 MBD 内一定有一条直线垂直 于平面 PAD，考虑证明 BD⊥平面 PAD. ⊥ (2)四棱锥底面为一梯形，高为 P 到面 ABCD 的距离.
(1)证明 证明 ＝4 5， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. ∴ ⊥ 又∵面 PAD⊥面 ABCD， PAD∩面 ABCD＝ ∵ 面 ⊥ ∩ AD，BD⊂面 ABCD，∴BD⊥面 PAD. ⊂ ∴ ⊥ 又 BD⊂面 BDM， ⊂ ∴面 MBD⊥面 PAD. ⊥ 在△ABD 中， AD＝4， △ BD＝8， AB ∵
答案 ①④
4.设 α、β、γ 为平面，a，b 为直线，给出下列 设 、 、 为平面， ， 为直线， 条件： 条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ⊂ ，⊂ ，∥ ，∥ ； ∥ ，∥ ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. ⊥ ， ⊥ ； ⊥ ， ⊥ ， ∥ 其中能使 α∥β 成立的条件是 C ) ∥ 成立的条件是(
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图所示， △ 为正三角形， EC⊥ 如图所示， ABC 为正三角形， ⊥平
面 ABC，BD∥CE，EC＝CA＝ ， ∥ ， ＝ ＝ 2BD，M 是 EA 的中点 求证： ， 的中点.求证 求证： (1)DE＝DA； ＝ ； (2)平面 BDM⊥平面 ECA. 平面 ⊥
探究提高 面面垂直的问题常常转化为线面
垂直、线线垂直的问题解决. 垂直、线线垂直的问题解决.
如图所示， 变式训练 2 如图所示，在四面体 ABCD 中， CB＝CD，AD⊥BD， E， ＝ ， ⊥ ， ， F 分别是 AB，BD 的中点， 的中点， ， 求证： 求证： (1)直线 EF∥面 ACD； 直线 ∥ ； (2)面 EFC⊥面 BCD. 面 ⊥
解析
3.m、n 是空间两条不同直线，α、β 是两个不 、 是空间两条不同直线， 、 n 同平面，下面有四个命题： 同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ⊥ ， ∥ ， ∥ ⇒ ⊥ ； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ⊥ ， ∥ ， ⊥ ⇒ ∥ ； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ⊥ ， ∥ ， ∥ ⇒ ⊥ ； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β. ⊥ ， ∥ ， ∥ ⇒ ⊥ 其中， 其中，所有真命题的编号是 .
(2)如图所示，取 AC 中点 N，连接 MN、NB， 1 ∵M 是 EA 的中点，∴MN // EC. ∴ 2 1 由 BD // EC， BD⊥平面 ABC， 且 可得四边形 ⊥ 2 MNBD 是矩形，于是 DM⊥MN.∵DE＝DA， ⊥ ∵ M 是 EA 的中点， ∴DM⊥EA.又 EA∩MN＝M， ⊥ ∩ ∴DM⊥平面 ECA，而 DM⊂平面 BDM， ⊥ ⊂ ∴平面 ECA⊥平面 BDM. ⊥
题型分类
题型一
深度剖析
直线与平面垂直的判定与性质
如图， 例 1 如图， 已知四棱锥 P—ABCD， ， 为菱形， ⊥ 底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC＝60°， ABCD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点. 的中点 证明： ⊥ 证明：AE⊥PD. 思维启迪： 思维启迪： 即可. 只要证明 AE⊥平面 PAD 即可 ⊥
疑点清源］ ［难点正本 疑点清源］ 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂 直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据， 要过平面外一点 P 作平面的垂线，通常是先作 (找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β， β∩α 设 ∩ ＝l，在 β 内作直线 a⊥l，则 a⊥α. ⊥ ⊥
证明
(1)因为 E，F 分别是 AB，BD 的中点，
所以 EF 是△ABD 的中位线，所以 EF∥AD. △ ∥ 因为 EF⊄面 ACD，AD⊂面 ACD， ⊄ ⊂ 所以直线 EF∥面 ACD. ∥ (2)因为 AD⊥BD，EF∥AD，所以 EF⊥BD. AD⊥BD，EF∥ EF⊥ 因为 CB＝CD， 是 BD 的中点， F 所以 CF⊥BD. ⊥ 又 EF∩CF＝F，所以 BD⊥面 EFC. ∩ ⊥ 因为 BD⊂面 BCD，所以面 EFC⊥BCD 面. ⊂ ⊥
＝ ， 可以通过图形分 思维启迪： 证明 思维启迪： (1)证明 DE＝DA， 割，利用三角形全等证明. 利用三角形全等证明 (2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直 证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直 线垂直于另一平面. 线垂直于另一平面
证明
(1)如图所示，取 EC 中点 F，连接 DF.
∵EC⊥平面 ABC，BD∥CE， ⊥ ∥ ∴DB⊥平面 ABC. ⊥ ∴DB⊥AB，∴EC⊥BC. ⊥ ∴ ⊥ 1 ∵BD∥CE，BD＝ CE＝FC， ∥ 2 ∴四边形 FCBD 是矩形，∴DF⊥EC. ∴ ⊥ 又 BA＝BC＝DF， ∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA. △ ≌ △ ∴
探究提高
(1)证明直线和平面垂直的常用方 (1)证明直线和平面垂直的常用方
法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α； 法有： 判定定理；
a ③α∥β， ⊥α⇒a⊥β； 面面垂直的性质. ④面面垂直的性质.
(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. (2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 线面垂直的性质
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一 推论：如果在两条平行直线中， 个平面，那么另一条直线也 垂直 这个平面 这个平面. 个平面，那么另一条直线也______这个平面
(2)直线和平面垂直的性质 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内_____ ① 直线垂直于平面 ， 则垂直于平面内 任意 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线_______. 垂直于同一个平面的两条直线 平行 ③垂直于同一直线的两平面_______. 垂直于同一直线的两平面 平行 2.斜线和平面所成的角 斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角， 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜 线和平面所成的角. 线和平面所成的角
4.二面角的有关概念 二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 二面角：从一条直线出发的___________ 二面角 所组成的图形叫做二面角. 所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在 二面角的平面角：二面角棱上的一点， 二面角的平面角 两个半平面内分别作与棱______的射线， 两个半平面内分别作与棱 垂直 的射线，则 的射线 两射线所成的角叫做二面角的平面角. 两射线所成的角叫做二面角的平面角
3.平面与平面垂直 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 利用判定定理：
一条垂线 ，则这两个平面垂直 ____________，则这两个平面垂直.
(2)平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 交线 的 两平面垂直，则一个平面内垂直于______的 直线垂直于另一个平面. 直线垂直于另一个平面