数学建模案例之多变量有约束最优化共22页文档

第 3 步：计算边界上的极大值
由于可行域由 5 条直线围成，因此需要分别计算 P(s,t)在每一条边界线段上的极大值，下面
分别计算，重点介绍如何计算 P(s,t)在直线 s t 10000 上的最大值。
（1）P(s,t)在约束直线 s t 10000 上的极大值
此时，需要求解问题
max P(s, t) s.t. g(s, t) s t 10000
因此，19 英寸彩电的销售价格为： p=339 - a×s - 0.03×t，此处 a=0.01
21 英寸彩电的销售价格为： q=399 - 0.01×t - 0.04×s
因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t
生产成本为： C=400000 + 195×s + 225×t
净利润为： P=R-C
10000 8000 6000 4000 2000
可行域
2000 4000 6000 8000 10000 图 1 目标函数的可行域图
第 2 步：计算 P
P
(
P s
,
P t
)
(144
0.02s
0.007t , 174
0.007s
0.02t
)
（2.2）
在可行域 S 的内部， P 0 ，因此，最大值一定在边界上达到。
P(s,t)在整个可行域上的最大值。
（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值 采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对 P(s,t)的极大
值点，结果如下：
直线段 s 5000：极大值点（5000，5000），极值为 515000 美元； 直线段 t 8000：极大值点（2000，8000），极值为 488000 美元； 直线段 s 0 ：极大值点（0，8000），极值为 352000 美元； 直线段 t 0 ：极大值点（5000，0），极值为 70000 美元。
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及的变量和问题１相同： s：19 英寸彩电的售出数量（台）； t：21 英寸彩电的售出数量（台）； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元）
这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多Fra Baidu bibliotek售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数）； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 固定成本 400000 美元。
变量之间的相互关系确定： 假设 1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 美分。 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制
s 5000, t 8000 ； 假设３：公司年内的生产能力有上限 c=10000 台，即 s t 10000 ；
假设４：据估计，每售出一台 21 英寸彩电，19 英寸的彩电平均售价会下降 0.3 美分， 而每售出一台 19 英寸的彩电，21 英寸彩电的平均售价会下降 0.4 美分。
问题 2[1]（续问题 1）：在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现
在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 年可以生产 10000 台电视（约每周 200 台）。公司有充足的 19 英寸、21 英寸彩色显像管、 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？
第 4 步：比较边界极大值，求出最大值点 比较函数 P(s,t)在区域 S 的五段边界直线上的最大值，可得到 P(s,t)在区域上的
最大值为 532308 美元，在点(3846,6154)处取得。
其 Lagrange 乘子方程为 P g ，即
144 0.02s 0.007t 174 0.007s 0.02t
与约束方程
联立求解，得到
s t 10000
s0 3846
t0
6154
24
代入目标函数 P(s,t)可得极大值为 P(s0 , t0 ) 532308 。
（2.3） （2.4）
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max P(s, t) (339 as 0.003t)s (399 0.004s 0.01t)t (400000 195s 225t),
s.t. s t 10000, s 5000 , t 8000 , s 0,t 0
图 2 可行域及水平集图
上面的图 2 给出了可行域以及 P(s,t)的水平集图像。水平集 P(s,t)=C 为一 簇同心环，这些环与可行域相交，水平集 P(s,t)=532308 为最小的环。这个集
合刚刚接触到可行域 S，且与直线 s t 10000 在极值点相切。由图 2 还可以 看出，利用 Lagrange 乘子法在约束直线 s t 10000 上找到的临界点就是
这里 a=0.01。
（2.1）
3．模型求解
3.1 求解方法----Lagrange 乘子法 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用 Lagrange 乘子法求解。 第 1 步：确定目标函数 P(s,t)的可行域 S 目标函数 P(s,t)的可行域 S（见图 1）为：
S {(s, t) : s t 10000,0 s 5000,0 t 8000}