数学建模案例之多变量有约束最优化共22页文档
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
数学建模分配问题模型
数学建模分配问题模型数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的方法。
在实际生活中，我们经常会遇到分配问题，即将一定数量的资源分配给不同的需求方。
这些资源可以是金钱、人力、材料等，需求方可以是个人、企业、机构等。
为了合理地分配资源，我们可以使用数学建模的方法进行分析和优化。
一般来说，分配问题可以分为两类：最优化问题和约束问题。
最优化问题的目标是使得某个指标达到最大或最小值，比如最大化利润、最小化成本等。
约束问题则是在一定的条件下寻找满足需求的最优解。
下面我们将分别介绍这两类问题的数学建模方法。
对于最优化问题，我们首先需要确定一个目标函数。
目标函数描述了我们希望优化的指标，可以是一个或多个变量之间的函数关系。
然后，我们需要确定一组约束条件。
约束条件反映了资源的限制以及需求方的限制，可以是等式或不等式。
最后，我们需要确定决策变量，即需要分配的资源量或决策方案。
通过求解目标函数在约束条件下的最优解，就可以得到最佳的分配方案。
以货物运输为例，假设有一批货物需要从仓库分配给不同的销售点，我们希望通过最优化分配来降低运输成本。
我们可以将每个销售点的需求量作为约束条件，将货物的运输成本作为目标函数。
然后，我们需要确定每个销售点的分配量作为决策变量，通过求解目标函数在约束条件下的最优解，就可以得到最佳的分配方案，从而降低运输成本。
对于约束问题，我们需要确定一组约束条件，这些条件可能是资源的限制、需求方的限制或其他限制。
然后，我们需要确定决策变量，即需要分配的资源量或决策方案。
通过在约束条件下寻找满足需求的最优解，就可以得到合理的分配方案。
以人力资源分配为例，假设有一定数量的员工需要分配到不同的项目中，每个项目对员工的技能要求不同。
我们希望通过合理的分配来最大化项目的效益。
我们可以将每个项目的效益作为约束条件，将员工的技能水平作为决策变量。
通过在约束条件下寻找满足需求的最优解，就可以得到最佳的分配方案，从而最大化项目的效益。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
新目标函数： Φ ( x, r1 , r2 ) =
(k ) M
(k ) p
G[ g u ( x)] + r2 ∑ H [hv ( x)] f ( x) + r1 ∑ u =1 v =1
m
p
H [hv ( x)] 其中r ∑ G[g u ( x)] 和 r ∑ 称为加权转化项，并根据它们在惩 v =1 u =1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
2、等式约束优化问题（EP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
3、一般约束优化问题（GP型）
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
k →∞
lim[Φ ( x ( k ) , r1 , r2 ) − f ( x ( k ) )] = 0 k →∞
(k ) (k )
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。 这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick 提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规 划问题开创了一个新局面。 适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
数学建模最优化模型
解 设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2x)2 x
建立无约束优化模型为：min y =- (3 2x)2 x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
最优化：在一定的条件下，寻求 使得目标最大（最小）的策略
• 约一半以上的问题与最优化问题有关。如： 飞行管理问题（95A） 最优捕鱼策略（96A） 节水洗衣机（96B） 零件的参数设计(97A) 投资收益和风险(98A) 钢管订购和运输(2000B)
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表 示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括 把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这 通常是用约束的数学函数形式来表示的。
min f (x) x
2、约束条件下极值问题的数学模型
min f (x) x
s.t. gi (x) 0, i 1, 2,..., m hi (x) 0, i 1, 2,..., n
其中，极大值问题可以转化为极小值问题来
进行求解。如求： max f (x) x 可以转化为：min f (x) x
第二章多变量最优化
问题1中的全部常量包括：
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.004美元和0.003美元； 4.固定成本为400000美元。
–
– 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得y=P
取得最大值。
2.选择建模方法
概述选定的建模方法
– 这个问题我们视为无约束的多变量最优化问题。这类
问题通常在多元微积分得入门课程中都有介绍。我们 这里只给出模型的要点和一般的求解过程。
2.选择建模方法
的子集S上的函数 y f ( x1 , , xn ) 。我们要求 f 在集合S上的最大值或最小值。一个定 理给出：若 f 在S的某个点内 ( x1 , , xn ) 达到极大值或 极小值，设 f 在这点可微，则在这个点上 f 0 。也 就是说，在极值点有 f f ( x1 , , xn ) 0 ( x1 , , xn ) 0 （2-1） xn x1 据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内 部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或 极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、 n个方程的联立方程组。然后我们还要检查S的边界上的 点,以及那些一个或多个偏导数没有定义的点。
S x1 , x2 : x1 0, x2
y f x1 , x2 339 0.01x1 0.003 x2 x1 339 0.04 x1 0.01x2 x2 400 000 195 x1 225 x2
4.利用第二步确定的标准过程求解
数学建模最优化模型
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
最优化：在一定的条件下，寻求 使得目标最大（最小）的策略
• 约一半以上的问题与最优化问题有关。如： 飞行管理问题（95A） 最优捕鱼策略（96A） 节水洗衣机（96B） 零件的参数设计(97A) 投资收益和风险(98A) 钢管订购和运输(2000B)
2
min
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi
x4 a5
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
非线性最优化：目标函数和约束条件如果含 有非线性的，则称为非线性最优化。
（二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关， 则是静态最优化问题。
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
运行结果:
f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
数学建模案例之多变量有约束最优化
4.3 影子价格
P 的方向向外移动，且 P 导数 dP dc 的几何解释为：因为 P g ，当 c 增加时，在几何上为沿着
的增加速度是 g 的增加速度的 倍。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max P ( s, t ) (339 as 0.003t ) s (399 0.004 s 0.01t )t (400000 195 s 225t ), s.t . s t 10000, s 5000 , t 8000 , s0,t 0
数学建模案例之 多变量有约束最优化
2010.10
问题 2[1]（续问题 1） ：在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现
在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 电视机的生产。 这样装配厂就有了额外的生产能力。 这些额外的生产能力就可以用来提高那 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 年可以生产 10000 台电视 （约每周 200 台） 。 公司有充足的 19 英寸、 21 英寸彩色显像管、 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及的变量和问题１相同： s：19 英寸彩电的售出数量（台） ； t：21 英寸彩电的售出数量（台） ； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； C：生产彩电的成本（美元） ； R：彩电销售的收入（美元） ； P：彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数） ； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 固定成本 400000 美元。
数学建模中的优化与控制问题
特点：线性系统 控制具有简单、 易于分析和设计 的优点，适用于 一些较为简单的
系统。
应用场景：在工程、 经济、生物等领域 中，对于一些可以 近似为线性系统的 对象，可以采用线 性系统控制方法进
行优化和控制。
局限性：线性系统 控制对于非线性系 统的描述和控制效 果有限，对于一些 复杂的系统可能需 要采用更为复杂的
特点：整数规划 问题在求解过程 中具有较高的难 度，因为整数约 束使得可行解的 范围大大缩小。
应用领域：整 数规划广泛应 用于组合优化、 生产计划、物 流运输等领域。
求解方法：常 见的整数规划 求解方法包括 穷举法、割平 面法、分支定
界法等。
数学建模中的控制 问题
定义：线性系统控 制是数学建模中的 一种重要方法，通 过建立线性方程组 来描述系统的动态 行为，并采用控制 策略对系统进行调
应用领域：生产计划、物流、金融等
求解方法：单纯形法、分解法等
定义：在数学建模中，非线性规划是寻 找一组变量的最优解，使得某个目标函 数达到最小或最大值，同时满足一系列 约束条件。
应用领域：包括但不限于金融、经济、工 程和科学计算等领域。
特点：目标函数或约束条件至少有一个是 非线性的。
求解方法：常见的求解非线性规划的方法 包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
案例背景：交通信号灯在城市交通中起着至关重要的作用，如何实现高效、合理的控制 是关键问题。
建模过程：通过建立数学模型，对交通信号灯的配时进行优化，提高道路通行效率。
控制策略：采用智能控制算法，如模糊控制、神经网络等，实现自适应调节。
案例结论：通过实际应用，证明优化后的交通信号灯控制能够有效提高道路通行效率， 减少拥堵。
数学建模中的优化与 控制问题
数学建模最优方案
数学建模最优方案1. 引言数学建模是运用数学工具和方法分析和解决实际问题的过程。
在实际应用中，如何寻找最优方案是数学建模中一个重要的问题。
本文将介绍数学建模中寻找最优方案的常用方法和步骤。
2. 最优化问题的定义在数学建模中，最优化问题常常涉及到寻找一个函数的最大或最小值。
设有一个函数 f(x)，其中 x 是一个变量，在一个特定的区域内取值。
最优化问题可以定义为寻找 x 的取值，使得 f(x) 达到最大或最小。
3. 最优化问题的分类在数学建模中，最优化问题可以分为两类：无约束最优化问题和有约束最优化问题。
3.1 无约束最优化问题无约束最优化问题是指在寻找函数的最大或最小值时，没有任何限制条件。
这意味着 x 可以在整个定义域内任意取值。
常用的求解无约束最优化问题的方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
3.2 有约束最优化问题有约束最优化问题是指在寻找函数的最大或最小值时，存在一些限制条件。
这些限制条件可以是等式约束或不等式约束。
常用的求解有约束最优化问题的方法有拉格朗日乘子法、KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件等。
4. 求解最优化问题的步骤在数学建模中，求解最优化问题的一般步骤如下：4.1 定义问题首先需要明确问题的定义，明确要求寻找函数的最大值还是最小值。
4.2 建立数学模型根据问题的实际情况，建立数学模型来描述问题。
模型的建立包括定义决策变量和目标函数，以及约束条件。
4.3 寻找最优解的方法选择根据问题的特点和限制条件，选择合适的最优化方法来寻找最优解。
常见的方法有梯度下降法、牛顿法、拉格朗日乘子法等。
4.4 求解最优解根据选择的方法，进行数值计算和优化算法实现，求解最优解。
4.5 分析和验证对求解得到的最优解进行分析和验证，确保结果的合理性和可行性。
4.6 结果呈现最后，将结果以适当的形式呈现出来，包括数值结果和图表等。
5. 实例应用为了更好地理解数学建模最优方案的应用，以下是一个实例应用的简单介绍。
数学建模中的优化问题与约束条件的求解
数学建模中的优化问题与约束条件的求解在数学建模的广阔领域中，优化问题与约束条件的求解是至关重要的组成部分。
优化问题旨在寻找某种最佳的解决方案，而约束条件则限制了可行解的范围。
理解和解决这些问题对于解决实际生活中的各种复杂情况具有深远的意义。
首先，让我们明确什么是优化问题。
简单来说，优化问题就是在给定的一组条件下，寻找能够使某个目标函数达到最大值或最小值的变量取值。
例如，一家工厂在生产多种产品时，需要决定每种产品的产量，以在有限的资源和市场需求的限制下，实现利润最大化。
这里，每种产品的产量就是变量，利润就是目标函数，而资源和市场需求则构成了约束条件。
优化问题的类型多种多样。
常见的有线性规划、非线性规划、整数规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的问题。
非线性规划则涉及到目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
整数规划要求变量取整数值。
每种类型的优化问题都有其特定的求解方法和特点。
接下来谈谈约束条件。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束表示某些变量之间必须满足精确的相等关系，比如在一个物理系统中，能量守恒定律就可以表示为一个等式约束。
不等式约束则限制了变量的取值范围，比如资源的有限性可能导致生产过程中对某些投入的使用不能超过一定的上限。
在实际问题中，约束条件往往是复杂且多样化的。
它们可能来自于物理规律、经济规律、技术限制、政策法规等多个方面。
例如，在交通运输规划中，道路的容量限制、车辆的速度限制等都是约束条件；在投资决策中，资金预算、风险承受能力等也是约束条件。
求解优化问题与约束条件的方法有很多。
经典的方法如单纯形法，适用于线性规划问题。
对于非线性规划问题，常用的方法有梯度下降法、牛顿法等。
此外，还有一些智能算法，如遗传算法、模拟退火算法等，它们在处理复杂的优化问题时表现出了强大的能力。
单纯形法是一种通过在可行域的顶点上进行搜索来找到最优解的方法。
它的基本思想是从一个可行解开始，通过不断地移动到相邻的顶点，逐步改进目标函数的值，直到找到最优解。
多目标约束条件下 最优解
多目标约束条件下最优解多目标约束条件下的最优解在现实生活中，我们经常会面临多个目标同时存在的问题。
例如，在企业决策中，我们不仅要考虑利润最大化，还要考虑成本最小化、风险最小化等多个目标。
在这种情况下，我们需要找到一个最优解，使得多个目标同时得到最优化。
为了解决这类问题，我们可以使用多目标优化方法。
多目标优化是指在存在多个目标函数的情况下，寻找使这些目标函数同时最优化的解。
与传统的单目标优化不同，多目标优化需要考虑多个目标之间的相互关系和权衡。
在多目标优化中，我们需要考虑两个方面的约束条件：目标函数的约束条件和决策变量的约束条件。
目标函数的约束条件是指我们希望优化的目标函数需要满足的条件，例如利润最大化、成本最小化等。
决策变量的约束条件是指决策变量需要满足的条件，例如资源限制、技术要求等。
为了找到多目标优化问题的最优解，我们可以借助多目标优化算法。
常用的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法通过不断地迭代和优化，逐渐接近最优解。
在多目标优化中，我们常常需要面临一个折中的问题。
由于多个目标之间存在冲突，很难同时达到最优化。
因此，我们需要在多个目标之间进行权衡，找到一个平衡点。
这个平衡点不是每个目标都达到最优，而是在不同目标之间找到一个最优的平衡。
为了解决这个问题，我们可以使用多目标优化中的非支配排序方法。
非支配排序方法将解空间划分为多个不同的层次，每个层次代表一个非支配解的集合。
在每个层次中，我们可以选择一个最优的解作为代表。
这样，我们就可以得到一个解的集合，其中每个解都是在多个目标之间找到的最优平衡。
除了非支配排序方法，我们还可以使用模糊集理论来解决多目标优化问题。
模糊集理论可以将模糊的目标函数和约束条件转化为具体的数值，从而进行优化。
通过模糊集理论，我们可以考虑不同目标之间的模糊性和不确定性，找到一个最优的解。
总结起来，多目标约束条件下的最优解是一个在多个目标之间找到的最优平衡点。
数学建模案例之多变量有约束最优化
数学建模案例之多变量有约束最优化多变量有约束最优化是数学建模中常见的问题之一，其目标是在多个变量的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
举个例子，假设我们有一块草地，现在要在上面建设一个矩形花坛，花坛的周长为20米。
我们想要最大化花坛的面积。
如何确定花坛的尺寸才能使得面积最大呢？我们可以设花坛的长为x，宽为y，则花坛的面积为S=xy。
又因为花坛的周长为20米，所以有2x+2y=20。
我们的目标是最大化S。
这是一个多变量有约束最优化问题。
我们可以将其转化为单变量无约束优化问题，通过消元的方式求得一个变量的表达式，然后将其代入目标函数中求解。
具体步骤如下：1.将约束条件与目标函数联立，得到一个包含约束条件和目标函数的方程组。
2x+2y=20S=xy2.将方程组中的一个变量用另一个变量表示，然后代入目标函数中，得到一个只含一个变量的函数。
2x+2y=20 可以化简为 x=10-y，将其代入目标函数S=xy，得到S=y(10-y)=10y-y^23.求解这个只含一个变量的函数的最大值或最小值。
对函数S(y)=10y-y^2求导，得到S'(y)=10-2y。
令导函数为0，即求解方程10-2y=0，得到y=54.将求解得到的变量值代入约束条件中，得到另一个变量的值。
将y=5代入方程x=10-y，得到x=10-5=55.将求解得到的变量值代入目标函数中，得到目标函数的最大值或最小值。
将x=5，y=5代入S=y(10-y)，得到S=5(10-5)=25综上所述，在花坛的周长为20米的约束条件下，使得花坛的面积最大时，花坛的尺寸为5米×5米，面积为25平方米。
多变量有约束最优化问题的解法方法不仅仅局限于上述步骤，还可以利用拉格朗日乘子法、KKT条件等进行求解。
通过适当选择合适的方法，可以高效地解决实际问题中的多变量有约束最优化问题。
总结起来，多变量有约束最优化问题是数学建模中常见的问题之一，通过转化为单变量无约束问题，可以找到目标函数的最大值或最小值。
第五节 约束最优化
得到 K-T 条件如下
2( x1 1) 1 2 0 2( xx 2) 1 3 0 2 1 ( 1 x 2 2) 0 2 x1 0 x 0 3 2 1 , 2 , 3 0
作为 K-T 点，还应满足可行性条件：
x1 x 2 2 0 x1 x 2 1 0 x 0, x 0 2 1
定理
hj, j J
4.5.2
对 于 (MP) 问 题 ， 若 f , g i , i I ，
在点 x * 处连续可微，可行点 x * 满足(MP)的
2 m in x12 x 2 2 x1 x 2 2 x1 6 x 2 s .t . x1 x 2 4 x1 x 2 2 x , x 0 1 2
取 x (1,1) , 1 0
*
（4.5.8）
其中 i g i ( x ) 0,i I 为互补松紧条件
* *
Kuhn-Tucker条件-例题
• 例4.5.1用K-T条件求解下列问题
m in f ( x1 , x 2 ) ( x1 1) 2 ( x 2 2 ) 2 s .t . g 1 ( x ) x1 x 2 2 0 g 2 ( x ) x1 0 g ( x ) x 0 3 2 h1 ( x ) x1 x 2 1 0
p
Fc ( x ) f ( x ) p c ( x )
k k
其中，
p c ( x ) c k [m ax ( g i ( x ), 0 )]
2
k
ck 2
多变量约束优化方法
第7章 多维约束优化方法Chapter 7 Constrained Several Variables Technique7-1 概述 Summarize工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即nR X X f ∈)(m innp v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10)(,,2,10)(..约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。
因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。
直接算法简单，直观性强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。
但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。
这类算法包括随机方向法、复合形法等。
2) 间接法 Indirect Method间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。
间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2 惩罚函数法 Penalty Method在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。
但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。
因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即**2*1,,kX X X ，当k →∞时，**k X X →。
因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。
数学建模案例之多变量最优化
数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：某家液晶电视机制造商计划推出两种产品：一种47英寸液晶电视机，制造商建议零售价每台7900元。
另一种42英寸液晶电视机，零售价6500元。
公司付出的成本为47英寸液晶电视机每台4500元，42英寸液晶电视机每台3800元，再加上3200000元的固定成本。
在竞争的销售市场中，每年售出的液晶电视机数量会影响液晶电视机的平均售。
据估计，对每种类型的电视，每多售出一台，平均销售价格会下降0.08元。
而且47英寸液晶电视机的销售量会影响42英寸液晶电视机的销售，反之也是如此。
据估计，每售出一台47英寸液晶电视机，42英寸的液晶电视机平均售价会下降0.024元，而每售出一台42英寸的液晶电视机，47英寸液晶电视机的平均售价会下降0.032元。
问：（1）问每种电视应该各生产多少台，使总利润最大？（2）对你在（1）中求出的结果讨论42英寸液晶电视机的价格弹性系数的灵敏性。
1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：47英寸液晶电视机的售出数量（台）；t：42英寸液晶电视机的售出数量（台）；p：47英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；q：42英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；C：生产液晶电视机的成本（元）；R：液晶电视机销售的收入（元）；P：液晶电视机销售的利润（元）这里涉及的常量有：两种液晶电视机的初始定价分别为：339元和399元，成本分别为：195元和225元；每种液晶电视机每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01元（称为价格弹性系数）；两种液晶电视机之间的销售相互影响系数分别为0.04元和0.03元；固定成本400000元。
变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的液晶电视机，每多售出一台，平均销售价格会下降1元。
假设2：据估计，每售出一台42英寸液晶电视机，47英寸的液晶电视机平均售价会下降0.3元，而每售出一台47英寸的液晶电视机，42英寸液晶电视机的平均售价会下降0.4元。
7- 优化设计-4多维优化之约束优化方法
4
基本思想：
依据原约束优化问题的约束条件构 建可限制其目标函数值脱离可行域之外的 约束函数，并将其与原目标函数共同组成 一个新目标函数，进而通过对新目标函数 的求解实现约束优化问题向无约束优化问 题的转化和求解．
5
2、惩罚函数法的内涵和本质
原目标函数f(X) 约束条件
+
构建 约束优化问题 转 约束函数
g2(X)=1/ (P· L/(4L2-B2)1/2-π3ET/8L2· (D2+T2))
２００ ≤1/2· (4L2-B2)1/2 ≤ 1200
g3(X)=1/(200 - 1/2 · (4L2-B2)1/2 ) g4(X)=1/ (1/2· (4L2-B2)1/2 -1200)
u
2
24
性质３：当迭代次数足够大，惩罚函数
中各项违反约束的函数取值趋于０,惩罚 函数的极小点就是目标函数的最优点
max g x,0
u 1 u
m
2
1 k k x*, r f x * 0 r
25
6）外点法计算步骤
１：给定初始点x0 以及初始惩罚因子 r0、递 增系数a、收敛精度 ε1 ε2 ，令 k=0； ２： 构造惩罚函数； ３：用无约束优化方法求惩罚函数的最优解 xk* 和对应函数值 ４：运用终止准则进行收敛判断，满足收敛 条件，计算结束，xk* 为最优点，否则 令X0=xk*；rk+1=a*rk*；k=k+1,返回步骤3 继 续计算
点在约束边 界值趋于∞
惩罚函数为：
1 ( x , r ) f ( x ) r u 1 gu ( x )
k k m
或： ( x, r ) f ( x ) r
k
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第 3 步：计算边界上的极大值
由于可行域由 5 条直线围成，因此需要分别计算 P(s,t)在每一条边界线段上的极大值，下面
分别计算，重点介绍如何计算 P(s,t)在直线 s t 10000 上的最大值。
（1）P(s,t)在约束直线 s t 10000 上的极大值
此时，需要求解问题
max P(s, t) s.t. g(s, t) s t 10000
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max P(s, t) (339 as 0.003t)s (399 0.004s 0.01t)t (400000 195s 225t),
s.t. s t 10000, s 5000 , t 8000 , s 0,t 0
其 Lagrange 乘子方程为 P g ，即
144 0.02s 0.007t 174 0.007s 0.02t
与约束方程
联立求解，得到
s t 10000
s0 3846
t0
6154
24
代入目标函数 P(s,t)可得极大值为 P(s0 , t0 ) 532308 。
（2.3） （2.4）
第 4 步：比较边界极大值，求出最大值点 比较函数 P(s,t)在区域 S 的五段边界直线上的最大值，可得到 P(s,t)在区域上的
最大值为 532308 美元，在点(3846,6154)处取得。
这里 a=0.01。
（2.1）
3．模型求解
3.1 求解方法----Lagrange 乘子法 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用 Lagrange 乘子法求解。 第 1 步：确定目标函数 P(s,t)的可行域 S 目标函数 P(s,t)的可行域 S（见图 1）为：
S {(s, t) : s t 10000,0 s 5000,0 t 8000}
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及的变量和问题１相同： s：19 英寸彩电的售出数量（台）； t：21 英寸彩电的售出数量（台）； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元）
这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数）； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 固定成本 400000 美元。
10000 8000 6000 4000 2000
可行域
2000 4000 6000 8000 10000 图 1 目标函数的可行域图
第 2 步：计算 P
P
(
P s
,
P t
)
(144
0.02s
0.007t , 174Leabharlann 0.007s0.02t
)
（2.2）
在可行域 S 的内部， P 0 ，因此，最大值一定在边界上达到。
图 2 可行域及水平集图
上面的图 2 给出了可行域以及 P(s,t)的水平集图像。水平集 P(s,t)=C 为一 簇同心环，这些环与可行域相交，水平集 P(s,t)=532308 为最小的环。这个集
合刚刚接触到可行域 S，且与直线 s t 10000 在极值点相切。由图 2 还可以 看出，利用 Lagrange 乘子法在约束直线 s t 10000 上找到的临界点就是
问题 2[1]（续问题 1）：在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现
在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 年可以生产 10000 台电视（约每周 200 台）。公司有充足的 19 英寸、21 英寸彩色显像管、 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？
变量之间的相互关系确定： 假设 1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 美分。 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制
s 5000, t 8000 ； 假设３：公司年内的生产能力有上限 c=10000 台，即 s t 10000 ；
假设４：据估计，每售出一台 21 英寸彩电，19 英寸的彩电平均售价会下降 0.3 美分， 而每售出一台 19 英寸的彩电，21 英寸彩电的平均售价会下降 0.4 美分。
P(s,t)在整个可行域上的最大值。
（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值 采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对 P(s,t)的极大
值点，结果如下：
直线段 s 5000：极大值点（5000，5000），极值为 515000 美元； 直线段 t 8000：极大值点（2000，8000），极值为 488000 美元； 直线段 s 0 ：极大值点（0，8000），极值为 352000 美元； 直线段 t 0 ：极大值点（5000，0），极值为 70000 美元。
因此，19 英寸彩电的销售价格为： p=339 - a×s - 0.03×t，此处 a=0.01
21 英寸彩电的销售价格为： q=399 - 0.01×t - 0.04×s
因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t
生产成本为： C=400000 + 195×s + 225×t
净利润为： P=R-C