3.2一元二次不等式及其解法2

（3）当a 2时，不等式化为 x 2x 1 0,的x 1 2 （4）当 a 2时，不等式解得 x 1或x a
方法总结： 对于含参数的一元二次不等式常常要分 情况讨论，分类讨论的标准有： （1）二次项系数（若二次项系数含有字母）；
（2）判别式 ；
（3）两根 x1 , x2 的大小关系，在解题时，要根据 题目合理选择；
练习
解关于x的不等式：
（） 1 x2 (1 a) x a 0
a 1时，不等式的解集为 {x | a x 1}
a 1时，不等式的解集为
a 1时，不等式的解集为 {x |1 x a}
（2）x2 (a 2) x 2a 0
a 2时，不等式的解集为 {x | 2 x a}
(2)解不等式 ax (a 2) x 2 0
2
解：当a 0时，不等式等价于 2 x 2 0, 得x 1 当a 0时，不等式可化为 (ax 2)(x 1) 0
2 （ 1）当 a 0时，不等式解得 x 1 a 2 （2）当0 a 2时，不等式解得 x 或x 1 a 2
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 ∴原不等式的解集为： x x 或x〈 2 2
例2：解不等式 x 2 (a 2) x 2a 0
解：x (a 2) x 2a 0可化为（x 2） ( x a) 0
3. 2
一元二次不等式及其解法 （2）
学习目标：
1.在理解的基础上，熟练记忆一元二次不等式的 解法； 2.会解简单的分式不等式、含参不等式；
题型一 解分式不等式
1．分式不等式的解法 (1)分式不等式 分母中含有未知数，且分子、分母都是 关于 x 的多项式的不等式称为 分式不等式． (2)等价转化法解分式不等式 解分式不等式的基本方法是：将其转化 为与之同解的 整式 不等式(组)． 具体情况见 下表：
2
2 a 16 解：∵ ∴ 当a 4,4即 0时
分情况讨论
x ax 4 0
原不等式解集为
R
，
a 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x 2
当a 4或a 4即 0时， 此时两根分别为 ；
,ห้องสมุดไป่ตู้
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
2x－1 (1) ≥0； 3x＋1 2－x (2) >1. x＋3
解 2x－13x＋1≥0， (1)原不等式可化为 3x＋1≠0.
1 1 x≤－3或x≥2， 解得 x≠－1. 3 1 1 ∴x<－ 或 x≥ ， 3 2
1 1 ∴原不等式的解集为xx<－ 或x≥ 3 2 x＋3>0， 原不等式可化为 2－x>x＋3
法二
原不等式可化为
2－x－x＋3 －2x－1 >0，化简得 >0， x＋3 x＋3 2x＋1 即 <0， x＋3 1 ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－ . 2
1 ∴原不等式的解集为x－3<x<－ 2
题型二 含参不等式 例 1： 解不等式
2
当a 2时，原不等式可化为 ( x 2) 0 得x 2
2
当a 2时，不等式的解为 x a或x 2.
当a 2时，不等式的解为 x a或x 2.
综上得，当 a 2时，原不等式的解集为 {x | x R且x 2}
当a 2时，不等式的解为 {x | x a或x 2}. 当a 2时，不等式的解为 {x | x a或x 2}.
；
a 2时，不等式的解集为
a 2时，不等式的解集为 {x | a x 2}
练习
1 1、若0 a 1, 则不等式（x a） ( x ) 0的解是（A ） a
1 A．a＜x＜ a 1 B． ＜x＜a a
1 C．x＞ 或x＜a a 1 D．x＜ 或x＞a a
2、当a<0时，不等式 42x2 ax a2 0 的解集为（A ）
. x＋3<0， 或 2－x<x＋3.
(2)法一
x>－3， x<－3， 1 解得 或 ∴－3<x<－ ， 1 1 2 x<－ x>－ . 2 2
1 ∴原不等式的解集为x－3<x<－ 2
分式不等式
同解变形1
f ( x) 0 ， g ( x) 0 f ( x) 0 或 g ( x) 0
同解变形2
f ( x) 0 g ( x)

f ( x) g ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) 0 g ( x)
f ( x) 0 ， g ( x) 0 f ( x) 0 或 g ( x) 0
f ( x) g ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) a g ( x)
f ( x) ag( x) g ( x) 0
f ( x) ag( x) 或 g ( x) 0
f ( x) ag( x) 0 g ( x)
f ( x) a g ( x)
f ( x) ag( x) g ( x) 0
f ( x) ag( x) 或 g ( x) 0
f ( x) ag( x) 0 g ( x)
【例1】
x－3 (1) <0； x＋2 x＋1 (2) ≤1； 2x－3 2x＋1 (3) <0. 1－x
【变式1】 解下列不等式．
③将每一个一次因式的根标在数轴上， 自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线 (注意重根情况， 偶次方根穿而不过， 奇次方 根既穿又过)； ④观察曲线显现出的 f (x )的值的符号变 化规律，写出不等式的解集．
a a A. 7 , 6
a 2a C. , 7 7
B.
a a , 6 7
D.

3．简单的高次不等式的解法 (1)高次不等式 不等式最高次项的次数高于 2，这样的 不等式称为 高次不等式． (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将 f (x )最高次项系数化为正数； ②将 f (x )分解为若干个一次因式的积或 二次不可分因式的积；
综上，得a 0时不等式的解集为（ ,1 ） 2 当a 0时，不等式解集 {x | x 1} a 2 当0 a 2时，不等式解集 ( ,1) ( , ) a 当a 2时，不等式解集 (,1) (1,) 2 当a 2时，不等式解集 ( , ) (1, ) a