常微分方程的基本概念

齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
y2
Fn
x
C1 xn1
n 1!
C2 xn2
n 2!
Cn2 2!
x2
Cn1 1!
x Cn
Fn x C1xn1 C2 xn2 Cn2 x2 Cn1x Cn
其中 C1，C2， ，Cn2 仍为任意常数.
例1.6 求微分方程 y''' x 的通解.
解 两边积分一次,得 整理得
y''
x2 2
C1
y'
x3 3!
C1x
C2
再积分一次,得
y
x4 4!
C1 2!
x2
C2 1!
x C3
x4 24
C1x2
C2 x C3
高等数学
的特
例1.3 求解微分方程 dx xydy y2dx满足yd初y 始条件 y解. 2
x0
整理得
y2 C x 12 （1 或y2 e2C x 12 1）
的特
将初始条件 y x0 2 代入通解,得C=3(或C=ln3/2 ), 故所求特解为
y2 3 x 12 1
从该题的解答过程可以看出,今后我们可以把任意常数 写成方便求解的形式,结果都 一样.
F x, y, y', y'', , yn 0
(6 - 6)
把二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.
定义1.2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都称为该微分方程 的解. 在微分方程的解中,若含有与方程的阶数相同个数的任意常数,则称 该解为方程的通解. 把确定通解中任意常数的条件称为定解条件或初始 条件. 把不含任意常数(或确定了任意常数)的解称为方程(满足初始条件) 的特解.微分方程解的图形称为此方程的积分曲线.由于通解中含有任 意常数,所以它的图形是具有某种共同性质的积分曲线族.
1.4 高阶微分方程
高阶微分方程的表达式为
yn f (x) n 2
（6-11）
这是一种可降阶的微分方程,对式(6-11)两边积分一次,得到n-1阶微分方程
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
设G(y),F(x) 分别是g(y),f(x) 的原函数,则得式(6 - 8) 的通解
G(y) =F(x) +C
(6 - 9)
例1.2 求微分方程 dy y sin x 0 的通解. dx
解 分离变量得 两边积分
1 dy sin xdx y
1 y
dy
sin
x
dx
求出它们的原函数,得方程的通解
ln y cos x C
该解称为隐式通解
例1.3 求解微分方程 dx xydy y2dx满足yd初y 始条件 y解. 2
x0
解 整理、分离变量得
y x 1dy y2 1dx
y y2 1 dy
1 dx x 1
两边积分
1 ln y2 1 ln x 1 1 ln C
2
2
或
1 ln y2 1 ln x 1 C ln x 1 ln ec 2
例1.1 在下列方程中,哪些是微分方程,指出其阶数,哪些不是微分 方程?
(1) y ' 0
(2)x ln(x y) 1
(3)
dy dx
3
x
dy dx
y
0
(4)
d3y dx3
y
dy dx
y
0
解 (1)是一阶微分方程. (2)不是微分方程. (3)是一阶微分程可化为
令 y ux
整理得
或 两边积分得
dy y y2 dx x x2
u x du u u2 dx
du u2
dx x
1 ln x ln C ln x
u
C
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
代入 u y x
整理得
x ln x yC
即
x
x Ce y