矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。

它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。

矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。

矩阵的运算是线性代数的基本内容。

1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。

凯莱 —— 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。

本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。

本章要求掌握矩阵的运算，会求可逆阵的逆矩阵。

§1 矩 阵
一. 矩阵的定义
1、 引例 10
求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方 程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。

设含个m 方程、n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) (1)的系数共有m ×n 个数，可排成一个m 行n 列的矩形的数阵 mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⇒⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2122221
11211 且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(1)的系数矩阵。

20
列昂杰夫投入—产出模型 从经济角度来看，每个部门都有双重身份：
①作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要—— 产出 ②作为消费者又消费着其他部门生产的产品—— 投入
设某国民经济(或某地区的经济)有n 个经济部门。

为简单起见，假定每部门只生产一类产品。

为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品:
ij a ——表示每生产1万元第j 类商品要消耗掉ij a 万元的第i 类商品，称为投入系数，显然0≥ij a 。

例如45.034=a ：表示每生产1万元第四类商品要消耗掉0.45万元的第三类商品。

所有的投入系数共n ⨯n 个，可排成一个n 行、n 列的数表，将数表用一括号括起来，即有
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211——称为投入—产出矩阵。

例如 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=06.022.031.021.021.04.05.018.025.0A ———运行正常！！但效益最好的是生产第2类产品的部门。

A :第一列元素分别表示生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类商品及第三类商品的价值（用货
币表示）；同理，第二（三）列的元素则分别表示生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的值。

若ij a >1，则表明每生产1万元的第i 类产品就要消耗掉1万多元的第j 类产品——亏损！！！
若A 的某列元素的和>1——意味着每生产1万元此类产品消耗了1万多元——亏损！！！ 这种由m 行n 列个数构成的数表在数学上就被抽象成矩阵的概念。

定义 由m ×n 个数ij a 排成的m 行n 列的数表 mn
m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211
称为m 行n 列矩阵，简称m ⨯n 矩阵，记为
A ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211. 这m ⨯n 个数称为矩阵A 的元素，也简称为元，元素ij a 位于矩阵的第i 行第j 列，称为矩阵的(i ,j )元， 矩阵A 也常简记为(ij a )，m ⨯n 矩阵A 也记为n m A ⨯或n m ij a ⨯)(.
注 矩阵和行列式不一样！！！ 矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！
实矩阵——元素均为实数的矩阵。

复矩阵——元素中有复数的矩阵。

注 我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。

方阵——行数与列数都等于的矩阵称为n 阶矩阵，或强调称为n 阶方阵，常记为n A .
行矩阵——只有一行的矩阵AB )(21n a a a A =，又称行向量，也记为),,,(21n a a a . 列矩阵——只有一列的矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n b b b B 21，又称列向量。

同型矩阵——行数相等，列数也相等的矩阵。

矩阵的相等——若A 、B 为同型矩阵，且对应元素相等，即),,2,1,,2,1(n j m i b a ij ij ===；
就称矩阵A 与B 相等，记作A = B .
零矩阵——元素均为零的矩阵，记为O . 注意：不同型的零阵是不相等的。

例1某厂向三个商店发送四种产品的数量就可用矩阵表示 A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=4332
32
31
42232221
41131211a a a a a a a a a a a a ，其中ij a 表示工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。

且这四种产品的单价和单件重量也可表示为矩阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎝=4241
32312221
11b b b b b b b B ，其中1i b 为第i 种产品的单价，2i b 为第i 种产品的单件重量。

例2 四城市间的单线航线通航图如右图所示，令 ⎩
⎨
⎧=。

市没有单向航线市到从；；
市有一条单向航线市到从，j i j i a ij 01 则此航线图可用矩阵表示为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛==01
010*******
1110
)(ij a A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⨯00
012001
0101
01
01010121
01155D 一般地，有限多个点之间的单向或双向通道图都可以这样用矩阵表示，它实际上就是用矩阵作工具进行研究的一个数学分支——图论的内容。

方阵A 称为图的邻接矩阵。

例3 若个n 变量n x x x ,,,21 与m 个变量m y y y ,,,21 之间有变换关系
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n
mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111， (2) 称(2)为一个从n 个变量n x x x ,,,21 到m 个变量m y y y ,,,21 的线性变换，其中ij a 为常数，显然(2)的系数可构成一矩阵n m ij a A ⨯=)(，称为线性变换(2)的系数矩阵。

给定线性变换(2)，其系数矩阵就可被唯一确定；反过来，给定一矩阵作为线性变换的系数矩阵，则就唯一确定一个线性变换。

这表明线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，这使得我们可将对线性变换的研究转化到对矩阵的研究上，或说通过研究矩阵理论达到研究线性变换理论的目的，体现了矩阵理论的一个应用。

因此对一些特殊线性变换对应的矩阵应有足够的认识是重要的。

例如
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010000100001n E ⎪⎪⎩⎨
=n n
x
y 22 ⎪⎪⎪
⎪⎪⎫ ⎛λλ00
000000000
2
1
∆
==diag )
,,,(21n λλλ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===n
n n x y x y x y λλλ 2221
11 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛ϕϕcos sin ⎩⎨+=-y x y y
x ϕϕϕϕcos sin sin cos 1
1 ∵⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ⇒⎩⎨⎧+=+=+=-=)(sin )sin cos cos (sin )(cos )sin sin cos (cos 1
1ϕθθϕθϕϕθθϕθϕr r y r r x . ① ②
③ ④
这表明这个线性变换将平面上的点)sin ,cos (θθr r P 变为))(sin ),(cos (1ϕθϕθ++r r P ，
或说将极坐标系中坐标为(r ,θ)的点P 变为极坐标为(r ,θ+ϕ)的点P 1，从几何上看就是将向量P O
的幅角增加ϕ长度保持不变，即这是一个以原点为中心旋转ϕ角的变换，称为旋转变换。

§2 矩阵的运算
只有赋予数四则运算，数才有了生命力一样，也只有赋予矩阵运算，它才能有生命力，才能得到更好的应用。

我们从最简单运算入手：
一、
矩阵的加法
定义2 设有两个m ⨯n 矩阵
),(
ij B a A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2211222222212111121211
11B A += 称为矩阵A 与B 的和，记为A +B . 即有
注❶ 同型阵之间才能进行加法运算。

❷ 称矩阵-A =)(ij a -为矩阵A 的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：)(B A B A -+=-.
❸ 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。

运算规律：
① 交换律——A B B A +=+；
② 结合律——)()(C B A C B A ++=++；
③O A A =-+)(；
④A+O = A .
二、
数与矩阵相乘
定义3 矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 212222111211λλA A == 称为数λ与矩阵A 的乘积，记为A λ，或λA . 即有
运算规律：
① 结合律——)()()(A A A μλμλλμ==；
② 矩阵关于数加法的分配律——A A A μλμλ+=+)(； ③ 数关于矩阵加法的分配律——B A B A λλλ+=+)(. 注 利用数乘也可以定义负阵和减法。

三、 矩阵与矩阵相乘
我们回到矩阵的一个抽象背景——线性变换，看其一个实际问题：
设有两个线性变换 ⎩⎨⎧++=++=32322212123
132121111x a x a x a y x a x a x a y (3)， ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=2321313
22212122
121111t
b t b x t b t b x t b t b x (4)，
要求从变量21,t t 到变量21,y y 的线性变换，只需将(4)代入(3)：
⎩⎨
⎧+++++=+++++=2
322322221221131232122112122
32132212121113113211211111)()()()(t b a b a b a t b a b a b a y t b a b a b a t b a b a b a y , (5) 线性变换(5)是先作线性变换(4)，再作线性变换(3)的结果，在线性变换里称线性变换(5)是(3)与(4)的乘积，从矩阵的角度分析看：线性变换(5)的矩阵C 是由(3)的矩阵A 与(4)的矩阵B 按一定的运算规律得到的：乘积矩阵的元素ij c =左矩阵的第i 行元素与右矩阵的第j 列对应元素乘积之和：
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3231222112112322
21131211b b b b b b a a a
a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++3223222212213123212211
21321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a . 将这个现象在矩阵理论里反应出来，即从中抽象出矩阵乘法的一般定义。

但首先要注意：要想做出左矩阵的第i 行元素与右矩阵的第j 列对应元素乘积之和必须要求左矩阵的列数=右矩阵的行数。

定义4 设是A 一个m ⨯s 矩阵，B 是一个s ⨯n 矩阵，记矩阵A 与B 的乘积为)(ij c C AB ==，其 中C 是一个m ⨯n 矩阵，∑==+++=s
k j k ik j s s i j i j i ij b a b a b a b a c 12211 ),,2,1;,,2,1(n j m i ==，
注❶矩阵乘法定义相当复杂，能否简单些，比如定义成对应元素相乘岂不很容易接受，从而更方便吗？历史上确有人给出过这种形式的定义——阿达玛定义，但由于它毫无实际意义，从而没有研究价值，自然消亡了。

我们的乘法定义是源于实践，具使用价值。

虽然复杂点，但多练习一样应用自如。

❷ 回头看引例，所谓求两个线性变换的乘积，实际上只需求它们对应矩阵的乘积：C=AB . ❸类似与矩阵的加减法，并非任两个矩阵都能相乘，能相乘的关键是：左矩阵的列数 = 右矩阵的列数。

例如
例4求矩阵⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=431
130021114
,201
2130
1B A 的乘积。

解⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++++--++-++-++=1199129803060122
018430030011
604AB . ❹注意两个特殊矩阵的乘积结果，一个1⨯s 的行矩阵与一个s ⨯1的列矩阵的乘积是一个1⨯1的一阶矩阵，即是一个实数：
11211211111211111211)(s s s s b a b a b a b b b a a a +++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ；=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛)(1121112111s s a a a b b b ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛s s s s s s a b a b a b a b a b a b a b a b a b 111211111211221112111112111111 . ❺ 类似于数的运算，利用矩阵的乘法可定义矩阵的乘方运算——矩阵的幂：
定义 设A 是n 阶方阵，定义
A
k k k A AA A A A AA A A A A A 个1111121,,,++=====，k 为正整数。

显然只有方阵的幂才有意义，
❻ 矩阵乘法与实数乘法有不同的地方： 10
矩阵乘法不满足交换律，即BA AB ≠——交换相乘顺序可导致不同的结果(注❷)，或交换后无法相乘。

即便是很特殊的情形也未必可交换：
例5 矩阵⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6342,2142B A 的乘积AB 与BA ⇒O BA BA =≠⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1683216.
20
有非零的零因子——上例A , B ≠O ，但BA = O .
30 不满足消去律 ——⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫
⎝⎛--=1101,1241,6342C B A ， AC AB AC AB =⇒⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=6946,
6946，但C B ≠. ——请记住：这就是矩阵与数的不同之处。

但它仍有不少相同之处：
运算规律： ① 结合律
② 数乘结合律 ——)()()(
B A B A AB λλλ==；
③ 分配律 ——左分配律：AC AB C B A +=+)(；右分配律：CA BA A C B +=+)(. ④ 乘单位阵不变 ——m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯==,
⑤ 乘方的性质 ——l k l k A A A +=；l k l k A A =)(.
注 有了以上定义的所有运算即其性质，在运算可运行的条件下，矩阵就可以类似代数运算进行
了，如 22223108?
32128)4()32(B AB A B AB BA A B A B A -+=--+=-+，但要注意乘法无交换律。

例6 证明旋转变换的乘方
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕn n n n n cos sin sin cos cos sin sin cos . 证 用数学归纳法。

显然当n =1时结论成立。

假设当n = k 时结论成立，往证n = k +1时结论也成立：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 1k k k k k k ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-+=ϕϕϕϕ)1(cos )1(sin )1(sin )1(cos k k k k . 注 从几何角度看：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕn n n n cos sin sin cos 是将向量P O 一次旋转角n ϕ，而n
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕc o s s i n s i n c o
s 是将向量P O 连续旋转n 次角ϕ，效果一致，故等式的成立是毫无问题的。

我们也回头看一下矩阵的乘法在其它实际中的应用：
上节例1中向三个店发送四种产品的数量构成了矩阵A 了矩阵B ，作它们的乘积： =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433232314223222141131211a a a a a a a a a a a a ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4241323122211211b b b b b b b b 23)(⨯==ij c C ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎝⎛=∑∑∑∑∑∑======412341134
1
22411241214111k k k k k k k k k k k k k k k k k k b a b a b a b a b a ， 第一列的元素1i c 分别表示向三个店发送产品的总值；第二列的元素2i c 分别表示向三个店所发送产品的总重量。

上节例2四城市间的单线航线通航图可用矩阵A 表示，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=11
2
00001111001122A )(ij b = ∑==41
k j k ik ij a a b ，因为j k ik a a ,分别表示i (k )市到k (j )市有无单向航线，即j k ik a a ,非0即1，故它们
的乘积非0即1，且仅当j k ik a a ,都为1时其乘积才为1，即有
⎩⎨⎧=j k ik a a
所以ij b 表示从i 市经一次中转到j 市的所有单向航线的总条数；j i =时，ii b 表示i 市与其它3个市双向航线的条数。

如
123=b 表明从②市经一次中转到③市的单向航线只有一条：②①③；
242=b 表明从④市经一次中转到②市的单向航线有两条：④①②和④③②； 211=b 表明①市与其它市的双向航线有两条：①②①和 ①④①；
033=b 表明③市于其它市无双向航线。

上节例3中的线性变换(2)中记系数矩阵A )(ij a =，n 个变量X ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21，m 个变量Y ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m y y y 21，则线性变换(2)可用矩阵的乘法简单地表示为AX Y =. 也就是说，线性变换(2)把变量X 变成Y ，相当于
用矩阵A 去左乘向量X 得到向量Y .
类似地，线性变换(3)与(4)的乘积变换(5)可用矩阵表示为 ABT AX Y ==，
其中X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321x x x ，Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21y y ，T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21t t ，A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a ,B ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=323122211211b b b b b b ，BT X AX Y ==，. 投影变换可表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x 00
01
21，其中P O y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛,121P O y x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛，旋转变换则可表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x ϕϕϕϕcos sin sin cos 21.
四、 矩阵的转置
类似于行列式转置的定义，可以给出矩阵转置的概念。

定义5 把矩阵A 的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A 的转置矩阵，记为A T .
例如，⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113021A 的转置矩阵为⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=101231T A 。

矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律：
① (转置再转置)——A A T T =)(； ② (和的转置) ——T T T B A B A +=+)(； ③ (数乘的转置) ——T T A A λλ=)(；
④ (乘积的转置) ——T T T A B AB =)(.
注乘积的转置等于转置的交换乘积，这个等式给出了求乘积的转置的两种方法，看例7： 例7(P.50)请自读。

利用转置概念可得到对称阵的概念：
定义 若n 阶方阵A 满足A A T =，即),,2,1,(n j i a a ji j i ==，则称A 为对称阵。

例8 设列矩阵X T n x x x ),,,(21 =满足1=X X T ，E 为n 阶单位阵，T XX E H 2-=证明H 是对称阵，且E HH T =.
证∵H XX E XX E XX E H T
T T T T T T =-=-=-=2)(2)2(， ∴H 为对称阵。

E XX XX E XX XX XX E XX E H HH T T T T T T T =+-=+-=-==44)()(44)2(22.
注T T T AA AA =)(，A A A A T T T =)(，T T T A A A A +=+)(，即任一方阵A 与它的转值T A 的乘积与和都是对称阵。

问题T A A -？)()(T T T T A A A A A A --=-=-.
0—— i 市到k 市或k 市到j 市无单向航线； 1—— i 市到k 市和k 市到j 市都有单向航线，
注 类似地可给出反对称阵的定义：若n 阶方阵A 满足A A T -=，或ij ij a a -=. 如⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---018102820，
关于反对称阵有两个有用的结论：
10
任一方阵A 都可以分解成对称阵与反对称阵的和，∵)(1)(1T T A A A A A -++=.
20
奇数阶反对称阵的行列式为零(请自证)。

即00
181028
20=---.
注 方阵是很重要的一类矩阵，有它独特的概念与性质。

关于方阵，我们已介绍了乘方运算、对
称阵和反对称阵的概念，本节的最后继续再介绍几个与方阵关联的概念。

五、方阵的行列式
定义6方阵A 的元素位置不变构成的行列式称为方阵A 的行列式，记为A 或det A .
注 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042121321010101821B A ，
，则0,7=-=B A . 实际上，方阵的行列式若按其 值分类就两类：0,或非0. 若方阵的行列式≠0，则称其为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。

你能举一些非奇异和奇异矩阵的例子吗？01≠=E ，单位阵都是非奇异阵，对角线元素均不为零的对角阵和三角阵也都是非奇异阵。

运算规律
① (转置阵的行列式)——A A T =；
② (数乘的行列式) ——A A n
λλ=；
③ (乘积的行列式) ——B A AB ⋅=.
注❶ 性质①就是行列式的性质1转置性质。

❷ 强调 A A λλ≠，A λ只是用λ去乘行列式A 的某一行或列，A λ则是用 λ遍乘A 的每 一行或列！！！
❸ 关于性质③强调几点： 10
只有两个同阶方阵相乘时，性质③猜成立，即B A B A n s s n ⋅≠⨯⨯，因为后者就不存在；
20
虽然BA AB ≠，但A B B A AB ⋅=⋅=； 30
由性质③立即可得乘方的行列式性质：n n A A =.
证③ 设A )(ij a =, B )(ij b =，令二阶行列式B
E O
A D n -=
2
B A D ⋅=；
另一方面通过行列式的运算，还可将D 变成一个分块的副三角行列式O
E C
A D n -=2，即要将D
右下角的矩阵B 变为零矩阵O ：
n
n n n n n b b b b b b b b b
21222211121110000
10000100001----，
要将B 的第1列元素变成0，只需作运算 n n n c b c b c b c 12211111+++++ ， 要将B 的第2列元素变成0，只需作运算 n n n c b c b c b c 22221122+++++ ， ……,
要将B 的第n 列元素变成0，只需作运算 n n n n n n n c b c b c b c +++++ 2211， 即作行列式运算：),,2,1(2211n j c b c b c b c n
j n j j j n =+++++，
相应地就有)(ij c C =，j n i n j i j i i n j n i j i j ij b a b a b a a b a b a b c +++=+++= 22112211， 这表明AB C =，又C
A O
E D n
--=)1(，所以AB C C E D n n n =--=⋅--=)1()1()1(，故结论成立。

▋ 例9 由行列式A 各元素的代数余子式ij A 构成的矩阵
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=*nn n
n
n n A A A A A A A A A A 2122212
12111
称为A 的伴随矩阵。

试证： E A A A AA ==*
*
*)
证 设A )(ij a =， 记=*
AA (b ij )，即
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 2
12222111211
⎝⎛n
n n A A A A A A A A A
21221221
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫A . 即 ij jn in j i j i ij A A a A a A a b δ=++=2211， 所以 E A A A AA ij ij ===*
)()(δδ； 同理可证 ∑=*
=n
k i
k A A A 1
(
a kj )E A A A ij ij ===)()(δδ. ▋
注 在下节中会看到伴随矩阵是一个与方阵相关的重要概念，(*)式称为伴随矩阵的重要公式。

§3 逆 矩 阵
实数有四则运算：，除加、减、乘之外还有除法，且可利用乘法定义除法：对任一非零的实数a ，都存在唯一的实数1-a ，满足111==--a a a a ，称1
-a 为a 的逆元，并定义 1-⨯=÷a b a b .
在矩阵理论中，我们已定义了加、减、乘法，且也有单位元的概念——单位阵，那么我们能不能模仿实数运算，给出矩阵的逆元概念，即对于任一矩阵A ，有没有矩阵使得E BA AB ==。

先看个引例。

1、 引例
设有一个n 个变量到n 个变量的线性变换 ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n
n n n n n n
n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111， (1)
其系数矩阵为一n 阶方阵A ，记X ⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=n x x x 21，Y ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m y y y 21，则(1)可用矩阵乘法表示为 AX Y =，若0≠A ，
由克莱姆法则知，
(12211n ni i i i A
y A y A A
x +++= ij A ，即有
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n
n n n n n n
n n
n y b y b y b x y b y b y b x y b y b y b x 22112222121212121111，(2)式表明，变量n x x x ,,,21 可用变量n y y y ,,,21 线性表示，且这个表示式是唯一的。

称线性变换(2)是(1)的逆变换，记逆变换(2)的系数矩阵为B ，则(2)可用矩阵乘法表示为BY X =. 我们知道线性变换与其系数矩阵构成一一对应。

下面的关键是看看线性变换(1)与它逆变换(2)的系数矩阵之间有什么关系？首先提醒一下：一组变量自身到自身的线性变换是恒等变换，它的系数矩阵是单位阵。

因为 Y AB AX Y )(==⇒E AB =；
另一方面，又因为 X BA BY X )(==⇒E BA =， ⇒E BA AB == （*
=A A B 1）.
但应注意，得到这个等式是有限制条件的： ①A 必须是方阵；②A ≠0. 除去其实际背景，由此抽象出逆阵的概念：
2、 定义
定义7 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，称矩阵B 是A 的逆矩阵。

注❶ (唯一性)若A 可逆，则A 的逆阵是唯一的。

因为若B ,C 都是A 的逆阵，即
E CA AC E BA AB ====,，
则 C EC C BA AC B BE B =====)()(.
所以逆阵是唯一的。

既然唯一，就用一个符号记，记A 的逆阵为1-A .
❷ 并非每个方阵都是可逆的，如 A ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=0001， 若A 可逆， 设A -1⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a ， 则有 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1001000001b a d c b a ⇒0=1， 故A 不可逆。

问题：① (存在性)方阵A 满足什么条件时可逆? ②(如何求)可逆时，怎样求逆阵？
3、 可逆的等价条件
定理n 阶方阵A 可逆的充要条件是0≠A ，且可逆时*-=A A
A
11
.
证“⇒”： 若A 可逆 ⇒E AA =-1⇒11==-E A A ⇒A ≠0.
“⇐”： 若A ≠0，由伴随矩阵重要公式E A A A AA ==**知E A A A A A A ==**11， 由可逆阵定义知 *-=A A A 1
1.
▋
注 定理不仅解决了逆阵的存在问题，而且给出了一个求逆阵的方法：*-=A A
A 11.
推论 若存在B ，使得E AB =(或E BA =)，则A 可逆，且B =1-A . 证 由条件可得 1==E B A ⇒A ≠0，由定理知A 可逆，且有
1111)()(----=====A E A AB A B A A EB B ，
同理可证E BA =的情形。

▋
注❶ 推论实际上是定义的简化形式，今后它完全替代了可逆的定义，再验证可逆时，只需验证满足推论的条件：E AB =(或E BA =).
❷ 注意积累可逆的等价条件：
A 可逆 ⇔E BA A
B B ==∍∃,⇔E AB B =∍∃,(或E BA =) ⇔A ≠0 ⇔A 是非奇异阵。

4、 逆矩阵的运算性质
① 可逆阵A 的逆矩阵仍可逆，且A A =--11)(；
②λ≠0时，可逆阵的数乘A λ仍可逆，且111)(--=A A λλ—— 数λ的逆元与A 的逆阵的乘积；
③ 若A 、B 为同阶可逆矩阵，则AB 仍可逆，且111)(---=A B AB —— 逆阵的交换积； ④ 可逆阵A 的乘方仍可逆，且m m A A )()
(11
--=—— 乘方的逆阵等于逆阵的乘方，记为m A -；
⑤ 可逆阵A 的转置仍可逆，且T T A A )()(11--=—— 求逆运算与转置运算可交换； ⑥ 可逆阵A 的逆阵的行列式A A 1
1=-—— 逆阵的行列式等于原阵行列式的倒置。

证① 即证 1-A 的逆阵是A ：按定义的简化形式只需证E A A =-1，这是显然成立的。

② 同上只需证：E A A =-)1()(1λ
λ. 由数乘结合律知：
E E AA A A ===--11)1()(11λ
λλλ，
故结论成立。

同理也应用定义简化形式即可证得③、④和⑤.
⑥∵A 可逆，∴A ≠0，且E AA =-1⇒A A 11
=-. ▋
5、逆阵的求法举例
例1 求矩阵A ⎪⎭⎫
⎝⎛=d c b a 的逆阵)0(≠-bc ad .
解 *-=A A A
11
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d 1. 例2 求对角阵⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛=n λλ 1Λ的逆矩阵。

解 对角阵只有乘对角阵才能等于对角阵，故猜⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=-n λλ1111
Λ，直接用简化定义验证：
∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ111 E =， ∴⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n
λλ1111 Λ. 注❶ 例1和例2可作为公式用，如⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113,1201B A ，则A ，B 可逆，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--311141,120111B A . ❷ 关于对角阵的运算有它自己特殊的性质，例如：对角阵与对角阵的乘积是对角元素对应乘积构成的对角阵。

习题中也有介绍，应注意总结积累。

例3 求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=343122321A 的逆矩阵。

解P.56 例10自读。

注❶三阶以上矩阵用伴随阵方法求逆阵除非有较多的元素为零，否则计算量很大，要计算n 2个n -1阶行列式和一个n 阶行列式。

所以实际应用价值不大，以后必须另找办法解决逆阵的求法。

❷小结求逆矩阵方法，现有两种方法：
方法一 用伴随阵求。

主要应用于二阶矩阵和一些含零较多的矩阵中。

方法二：用定义(简化形式)，如例2，主要用于与抽象矩阵的相关题目中。

例如： 例4 设方阵A 满足O E A A =--22，证明A 可逆，并求1-A .
证∵E A A 22=-⇒E E A A =-)(21
⇒A 可逆，且)(2
11E A A -=-.▋
利用逆阵，还可以解某些矩阵方程，例如
例5(P.57例11)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=3512B ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=130231C ，求矩阵X 使满足AXB = C . 解 （分析：若A ,B 可逆，则用1-A 左乘上式，1-B 右乘上式，有1111----=CB A B B X A A ）
∵02≠=A ，01≠=B ， ∴A , B 可逆，且 ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-1113231531
A
， ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131
B ， ==--11B
C A X ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----11132312523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛130231⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=202011⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=40140112. 例6（编码应用）
A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 P Q R S T U V W X Y Z ! □ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Welcome !□shanshida ：23 5 12 3 15 13 5 27 28 19 8 1 14 19 8 9 4 1
将发送数字排成 6×3的矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=149891411891287253151321532C 。

为增加破译难度，收发双方可约定一个保密矩阵：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=500031521A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-10051151231A .
发送者将CA 的18个数字按序发出，接收者将收到的数字排成6×3矩阵CA ，再右乘A -1：CAA -1 = C .
6、伴随矩阵的性质：
①*
A 可逆 ⇔A 可逆，且*--*==)(1)(11A A A A ；
②1
-*=A A A ； ③1
-*=n A
A ；
④*
-*=A k
kA n 1)(； ⑤A A A n 2
)(-**=.
课后可自己试着证明。

§
4 矩阵的分块
作用：① 简化高阶矩阵运算；② 简化矩阵运算的表达形式。

一、分块矩阵的概念
将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵)，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。

例如
A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211A A A A ， 或⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=232221
131211A A A A A A A . 并也可称j i A 为矩阵A 的(i , j )块。

注 分块的方式不唯一。

二、分块矩阵的运算
1、线性运算(加法与数乘) 设矩阵A , B 为同型阵，且分块方式相同，λ,μ为数，则 ()
j i ij B A B A μλμλ+=+，
即对应子块作相应的线性运算。

分开说就是：加法是对应子块相加，数乘实用数遍乘。

2、乘法运算 设A 为m ⨯l 矩阵，B 为l ⨯n 矩阵，并分块成
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A 1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r t t r B B B B B 1111
其中A 每行子块的列数等于B 每列子块的行数，则
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=r
s s r
C C
C C AB
1111⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=t
k j k ik B A 1， 注 分块阵能进行乘法运算要求两条：①A 的列数=B 的行数；②A 第i 行子块的列数=B 第i 列子块的行数。

实际上更麻烦。

3、转置运算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A 1111，则⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T st T s T t T T
A A A A A 1111，即大块小块一起转。

注❶ 分块矩阵的运算实际上自然地就要求两条：①将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运 算的要求，②相应的子块间也应符合运算的要求。

❷ 现在根本看不到简化的作用，好像更麻烦。

实际上分块的简化作用是体现在特殊的分块阵上。

三、特殊的分块阵
1、分块对角阵 设A 为n 阶(方)阵，若A 可分块为⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=s A O O A A 1
，称A 为分块对角阵。

则 (1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m s m m A O O A A 1；(2)s A A A A 21⋅=；(3) A 可逆⇔s A A ,,1 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=---1111s A O O A A . 注❶ 实际上，分块对角阵的运算(加减、数乘、乘法、乘方、转置、行列式和逆阵)就是对其对
角线子块做相应运算！！！
❷分块副对角阵？ 请看P.69 22.
❸ 求逆阵的第三种方法：将矩阵分块——分块法！即求逆阵有三种方法了。

❹ 类似的可考虑分块三角阵——分块上、下三角阵或准上、下三角阵的求逆阵运算问题。

例1 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=120130005A ，求1-A . 解⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21
120130005A O O A
A ，⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==--3211,1213,51,)5(1221
11A A A A ⇒⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-32011000511A .
还有一种矩阵的分块形式非常重要，由它可以给出一个线性方程组的多种表达形式，理解掌握不
好这些表达形式，会对后面理论的学习造成很大的障碍。

这就是
2、按行(列)分块及应用
任一个矩阵n m A ⨯都可按行分块为⎪⎪
⎭ ⎝
⎛=T m T A
αα 1
T in i T a a ),,,2 称为A 的第i 个行向量；
类似地，n m A ⨯),,21n a ，其中j a ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝=mj j a 1称为A 的第j 个列向量。

应用1： 我们曾表示线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********⇔b Ax =，
其中A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a
a a a a a a 21222
2111211, b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1， 记B ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=m mn
m m n
n b b b a a a
a a a a a a
21212222111211——称为方程组的增广矩阵，它才能与非齐次线性方程组构成一一 对应。

在上述记号下：
),,,,()(21b a a a b A B n ==，
b Ax =⇔=
⎪⎪⎪
⎫ ⎛=x x A T T αα21 b ⇔=x T i αb i ,1(i =⇔),,,(21n a a a =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛n x x 1 b ⇔b a a a n
n =+
++
2
211.
应用2：在矩阵的乘法表达式中，设A 为m ⨯s 矩阵，B 为s ⨯n 矩阵，并将A 按行、B 按列分块，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A 1111， ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=r t t r B B B B B 1111
则 ()n T m T b b AB ,,11 ⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=αα()
j T i b α=)(j i c =， 其中=ij c j T i b α∑==⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=n
k j k ik mj j
in i b a b b a a 1
11),,(
.
应用3：与对角阵相乘的作用。

设Λ为对角(方)阵，则
=⨯n m m A Λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m λλ 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T m T αα 1⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=T m T αα 1
—— 即用对角阵Λ左乘A ⇔ 用对角元素分别乘A 的行向量。

=⨯n n m A Λ),,,(21n a a a ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛n λλ 1),,,(2211n n a a a λλλ =
—— 即用对角阵右乘A ⇔ 用对角元素分别乘A 的列向量。