1.4角平分线的性质一

巩固提升
梦想路上
1.必做题：教材第24页第2题 2.做题：学法大视野第14页第12题。
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探索路上
汉寿县有三条相互交叉的公路，县政府为了促进当地旅游业 的发展，想选择一个地址修建度假村，要求这个度假村到三条公 路的距离相等，工人师傅接到通知笑开颜。聪明的你知道符合要 求的地址有几处吗？
整节课的设计是为了告诉学生：“数学从 生活中来，最终回到生活中去”。我们要在 生活中不断归纳出数学问题，学习中掌握科 学的探究方法，努力探求数学知识，积极探 索数学奥秘，解决更多的生活问题，让我们 的生活更加美好！
鸭子港中学植物园有一座雕塑，刚好位于园中两条水泥 路所成角的平分线上。现在学校请来工人师傅，想从雕塑处 修两条石子路分别通向水泥路,且与水泥路垂直，新修的两 条石子路的长度有什么关系？
探索路上
数学中的一些美丽定理具有这样的 特性：它们极易从事实中归纳出来，但 证明却隐藏得极深。
高斯
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫 做这个角的平分线。
∵∠1 = ∠2
∴OC是∠AOB的平分线
2. 尺规作图：已知角的平分线 A
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半 Ｃ
Ｍ
径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ
于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆
心．大于ＭＮ长的一半为半 径作弧．两弧在∠AOB的内部
C
P
└
O
FB
图1
O
F 图2
B
O
图3
B
梦想路上
鸭子港中学学校花园有一座雕塑，刚好位于花园里两条 水泥路所成角的平分线上，现在学校请来工人师傅，想从雕 塑处修两条石子路分别通向水泥路,且与水泥路垂直，新修 的两条石子路长度有什么关系？
PD=PE
理由：角的平分线上的 点到角两边的距离相等
D
E
梦想路上
1.例题精讲
已 知 如 图 ， △ ABC 的角 平分 线 BM ， CN 相交 于 点 O 。 求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
1.例题精讲
梦想路上
证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、 BC、CA，垂足为D、E、F， ∵BM平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD=OE （角平分线上的点到这个角两边 的距离相等）。 同理可证：OF=OE． ∴OD=OE=OF． 即点O到三边AB、BC、CA的距离相等。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD 和△PEO 中
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP = OP
O
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∴ PD＝PE
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A D
C
P
EB
探索路上
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA PE ⊥OB
∴ PD=PE.
探索路上
判断正误，并说明理由：
（1）如图1，点P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.×
（2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC上的一点，E、F 分别在OA、
OB上， 则PE=PF. ×
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的
距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm. √
A
E
C
A
E
C
P
P
A E
Ｂ
Ｎ
Ｏ
交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ为所求．
探索路上
如图：OC是∠AOB的平分线，过点P
分别做OA、OB的垂线，垂足分别为
点D、E。测量PD和PE的长度.
O
A DC
P EB
探索路上
猜数发现：在不同位置取点P，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,
点D、E为垂足，试给出一长度，猜出另一长度。
A
D D
2.习题精练
梦想路上
如 图 ,Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 ° ,AD 平 分 ∠ CAB ， DE⊥AB于点E,若AC=6,BC=8,CD=3。 (1)求DE的长; (2)求△ADB的面积。
2.习题精练
梦想路上
1.这节课你有哪些收获？还有什么困惑？
2.通过本节课的学习你了解了哪些思考问题的 方法？
PD PE
D
C 第一次 2
2
p pp
第二次 3
3
O
第三次
EE E B
4
4
观察结果，发现线段PD与PE的大小关系，
写出结论：__P_D__=_P_E_____
探索路上
探索路上
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
证明：
（一）知识小结
定理（文字语言）: 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等.
符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE
（二）方法小结
角的平分线的性质定理可以用来求线段相等、线段的 长度、 图形的周长、三角形的面积等等。
已知角的平分线，我们常常过上面的点作角两边的垂线段。