2018-2019学年福建省龙岩市上杭县八年级(上)期中数学试卷(农村)

2018-2019学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数学试卷
（农村）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一
组是( )
A ．2，3，5
B ．3，4，6
C ．4，5，7
D ．5，6，8
2．（4分）下列图标中是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）若ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆一定是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
4．（4分）一个多边形的内角是1980︒，则这个多边形的边数是( )
A ．11
B ．13
C ．9
D ．10
5．（4分）下列说法中，错误的是( )
A ．三角形中至少有一个内角不小于60︒
B ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形
C ．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部
D ．多边形的外角和等于360︒
6．（4分）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到COD ∆≅△C O D '''的依据是(
)
A ．SAA
B ．SSS
C ．ASA
D ．AAS
7．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，AD 平分BAC ∠，则:ABD ADC S S ∆∆为(
)
A．4:3B．16:19C．3:4D．不能确定8．（4分）如图，在ABC
AC=，
AB=，7∆中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知3
∆的周长为()
BC=，则ABD
8
A．10B．11C．15D．12
9．（4分）如图，把ABC
∠=︒，
∠=︒，195
∆沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若60
A 则2
∠的度数为()
A．24︒B．25︒C．30︒D．35︒
10．（4分）如图，在ABC
MCA
∆内一点，且30
∠=︒，
∠=∠=︒，M为ABC
∆中，44
BAC BCA
∠=︒，则BMC
∠的度数为()
MAC
16
A．120︒B．126︒C．144︒D．150︒
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点(4,3)
P-关于y轴的对称点坐标为．12．（4分）如图所示，1234
∠+∠+∠+∠=．
13．（4分）如图，//
ADE
∠=︒，DE BC交AB、AC于D、E两点，CF为BC的延长线，若50
∠=度．
∠=︒，则A
ACF
110
14．（4分）如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC
∠的度数为．
15．（4分）如图，AD是ABC
=，
∆的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE DF 连接BF，CE．有下列结论：①CE BF
BF CE；④
∆≅∆；③//
=；②ABD ACD
∆≅∆．其中不正确的有．
BDF CDE
16．（4分）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：．17．（4分）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15︒，再前进10m，又向右转15︒，⋯，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了m．
三、解答题（共82分）
18．（8分）如图，ABC
A
∠=︒．
∆是等腰三角形，AB AC
=，36
（1）尺规作图：作B
∠的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断DBC
∆是否为等腰三角形，并说明理由．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(1,5)
C-．
A-，(1,0)
B-，(4,3)
（1）请画出ABC
'''（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应∆关于y轴对称的△A B C
点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C'三点的坐标：(
C')
A')，(
B')，(
（3）计算ABC
∆的面积．
20．（10分）如图，已知ACB
∆都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线
∆和ECD
上，连接BD，AE，延长AE交BD于点F，请说出AE与BD的数量关系，并证明你的结论．
21．（8分）如图所示，在ABC
∠=︒，AB的垂直平分线交AB于
BAC
∆中，AB AC
=，100
点D，交BC于点E，求AEC
∠的度数．
22．（8分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75︒，
航行7 海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60︒，若小岛周围 3.8 海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．
23．（10分）如图所示，在ABC
∆中，AB AC
=，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE CF
=．
=，EF交BC于D，求证：DE DF
24．（8分）如图，在ABC
∆中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，∆和DEF
请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．①AB DE
=，②AC DF
=．
∠=∠，④BE CF
=，③ABC DEF
解：我写的真命题是：
在ABC
∆中，如果，那么．（不能只填序号）
∆和DEF
证明如下：
25．（8分）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在你图下方的横线上：
条条条条条．
（2）一个正n边形有条对称轴；
（3）①在图①中画出正六边形的一条对称轴l；
②在图②中，用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴l（不写画法，保留画图痕
迹）
26．（12分）如图， 在ABC ∆中，2AB AC ==，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上
运动(D 不与B 、C 重合） ，连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 与AC 交于E ．
（1） 当115BDA ∠=︒时，BAD ∠= ︒，DEC ∠= ︒；当点D 从B
向C 运动时，BDA ∠逐渐变 （填 “大”或“小” )；
（2） 当DC 等于多少时，ABD ∆与DCE ∆全等？请说明理由；
（3） 在点D 的运动过程中，ADE ∆的形状可以是等腰三角形吗？若可以， 请
直接写出BDA ∠的度数；若不可以， 请说明理由 ．
2018-2019学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数
学试卷（农村）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()
A．2，3，5B．3，4，6C．4，5，7D．5，6，8
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、235
+=，故以这三根木棒不能构成三角形，符合题意；
B、346
+>，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意；
+>，故以这三根木棒能构成三角形，不符合题意；
C、457
D、568
+>，故以这三根木棒可以构成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，正确理解定理是解题关键．
2．（4分）下列图标中是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
3．（4分）若ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆一定是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
【分析】设A x ∠=︒，2B x ∠=︒，3C x ∠=︒，根据180A B C ∠+∠+∠=︒得出方程
23180x x x ++=，求出x 即可．
【解答】解：ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，
∴设A x ∠=︒，2B x ∠=︒，3C x ∠=︒，
180A B C ∠+∠+∠=，
23180x x x ∴++=︒，
30x ∴=，
90C ∴∠=︒，30A ∠=︒，60B ∠=︒，
即ABC ∆是直角三角形，
故选：C ．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键，注意：
三角形的内角和等于180︒．
4．（4分）一个多边形的内角是1980︒，则这个多边形的边数是( )
A ．11
B ．13
C ．9
D ．10
【分析】n 边形的内角和是(2)180n -︒，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数
的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n 边形的内角和公式，得
(2)1801980n -=，
解得14n =．
∴这个多边形的边数是13．
故选：B ．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题
的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
5．（4分）下列说法中，错误的是( )
A ．三角形中至少有一个内角不小于60︒
B ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形
C．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部
D．多边形的外角和等于360︒
【分析】根据三角形的内角和定理判断A；
根据等边三角形的判定定理判断B；
根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断C；
根据多边形的外角和定理判断D．
【解答】解：A、如果三角形中每一个内角都小于60︒，那么三个角三个角的和小于180︒，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确，不符合题意；
B、有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意；
C、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两
条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误，符合题意；
D、多边形的外角和等于360︒，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定定理，多边形的外角和定理，熟记定理与性质是解题的关键．
'''的依据是( 6．（4分）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到COD
∆≅△C O D )
A．SAA B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】利用作法课文确定OD OD OC OC
=''，然后根据全等三角形的判
='=='，CD C D
'''．
定方法可判断COD
∆≅△C O D
【解答】解：由作法得OD OD OC OC
=''，
='=='，CD C D
'''．
所以可根据“SSS”证明COD
∆≅△C O D
故选：B．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
7．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，AD 平分BAC ∠，则:ABD ADC S S ∆∆为(
)
A ．4:3
B ．16:19
C ．3:4
D ．不能确定
【分析】根据角平分线性质推出43
BD DC =，设ABC ∆边BC 上的高是h ，根据三角形的面积公式推出:ABD ADC S S ∆∆为:BD CD ，代入求出即可．
【解答】解：
过C 做//CE AD ，交BA 的延长线于E ， //CE AD ，
E BAD ∴∠=∠，ACE CAD ∠=∠， AD 平分BAC ∠，
BAD CAD ∴∠=∠，
E ECA ∴∠=∠，
AC AE ∴=，
//AD CE ， ∴
AB BD AE DC =， ∴43
AB BD AC DC ==， 设ABC ∆边BC 上的高是h ， ∴142132
ABD
ADC BD h S BD S DC DC h ∆∆⨯===⨯， 故选：A ．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
8．（4分）如图，在ABC
AB=，7
AC=，∆中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知3
∆的周长为()
8
BC=，则ABD
A．10B．11C．15D．12
【分析】要求ABD
∆的周长，现有3
+即可，根据线段垂直平分线
AB=，只要求出AD BD
的性质得BD CD
+=，答案可得．
=，于是AD BD AC
【解答】解：DE垂直且平分BC
∴=．
CD BD
7
+=+=
AD BD AD CD
∴∆的周长：10
ABD
++=．
AB BD AD
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．对线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
9．（4分）如图，把ABC
∠=︒，
∠=︒，195
∆沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若60
A 则2
∠的度数为()
A．24︒B．25︒C．30︒D．35︒
【分析】首先根据三角形内角和定理可得120
∠+∠=︒，再根据邻补角的性质可得
AEF AFE
∠+∠=︒-︒=︒，再根据由折叠可得：FEB EFC
360120240
∠+∠的度数，进而得到答案．
B EF EF
C FEB EFC
240
∠'+∠'=∠+∠=︒，然后计算出12
【解答】解：60
∠=︒，
A
∴∠+∠=︒-︒=︒，
AEF AFE
18060120
360120240FEB EFC ∴∠+∠=︒-︒=︒，
由折叠可得：240B EF EFC FEB EFC ∠'+∠'=∠+∠=︒，
12240120120∴∠+∠=︒-︒=︒，
195∠=︒，
21209525∴∠=︒-︒=︒，
故选：B ．
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．
10．（4分）如图，在ABC ∆中，44BAC BCA ∠=∠=︒，M 为ABC ∆内一点，且30MCA ∠=︒，
16MAC ∠=︒，则BMC ∠的度数为( )
A ．120︒
B ．126︒
C ．144︒
D ．150︒
【分析】以AC 为边作对边BCE ∆，使A ，E 在BC 的同侧，连接AE ，利用全等三角形证
得角与角的关系，AB BD =，得到等腰三角形，由等边对等角，三角形的内角和求解．
【解答】解：以AC 为边作等边ACE ∆，使B ，E 在AC 的同侧，连接BE ，
设BCM θ∠=，ABM α∠=，CBM β∠=，
在ABE ∆与BCE ∆中，
AE CE BE BE AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
ABE BCE ∴∆≅∆，
30AEB BEC ACM ∴∠=∠=︒=∠，
30BAE EAC BAM MAC MAC θ∠=∠-∠-∠=︒-=∠，
在ABE ∆与AMC ∆中，
AEB ACM ABE AMC AE AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABE MAC ∴∆≅∆，
AB AM ∴=，
1(180)902
ABM BAM αθ∴=∠=︒-∠=︒-， 18030BAC BCA βαθ∴=︒-∠-∠-=︒-，
180150BMC βθ∴∠=︒--=︒．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性
质，解题的关键是角与角之间的关系．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点(4,3)P -关于y 轴的对称点坐标为 (4,3) ．
【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点(4,3)P -关于y 轴的对称点坐标为(4,3)，
故答案为：(4,3)．
【点评】本题考查了关于y 轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称
点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（4分）如图所示，1234∠+∠+∠+∠= 300︒ ．
【分析】如图，分别在ABC ∆和ADE ∆中，利用三角形内角和定理求得，12180∠+∠=︒，
34180∠+∠=︒，则易求(1234)∠+∠+∠+∠的度数．
【解答】解：如图，在ABC ∆中，1218030150∠+∠=︒-︒=︒．
在ADE ∆中，3418030150∠+∠=︒-︒=︒，
所以，1234300∠+∠+∠+∠=︒．
故答案是：300︒．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．三角形的内角和是180度．
13．（4分）如图，//DE BC 交AB 、AC 于D 、E 两点，CF 为BC 的延长线，若50ADE ∠=︒，
110ACF ∠=︒，则A ∠= 60 度．
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解．
【解答】解：//DE BC ，
18070AED ACB ACF ∴∠=∠=︒-∠=︒，
180705060A ∴∠=--=︒．
【点评】主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质．求角的度数常常要用到“三角形
的内角和是180︒这一隐含的条件．
14．（4分）如图所示，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则ABC
∠的度数为 45︒ ．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，继而可得
出ABC ∠的度数．
【解答】解：如图，连接AC ．
根据勾股定理可以得到：AC BC =
AB =
222(5)+=，即222AC BC AB +=，
ABC ∴∆是等腰直角三角形．
45ABC ∴∠=︒．
故答案为：45︒．
【点评】本题考查了勾股定理，判断ABC ∆是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格
点三角形中利用勾股定理．
15．（4分）如图，AD 是ABC ∆的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，
且DE DF =，连接BF ，CE ．有下列结论：①CE BF =；②ABD ACD ∆≅∆；③//BF CE ；④
BDF CDE ∆≅∆．其中不正确的有 ② ．
【分析】首先根据中线定义可得BD CD =，然后利用SAS 判定BDF CDE ∆≅∆，再根据全等
三角形的性质可得CE BF =，F DEC ∠=∠，进而可得//FB CE ．
【解答】解：
AD 是ABC ∆的中线，
BD CD ∴=， 在BDF ∆和CDE ∆中BD CD BDF CDE ED DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BDF CDE SAS ∴∆≅∆，故④正确；
CE BF ∴=，故①正确；
BDF CDE ∆≅∆，
F DEC ∴∠=∠，
//FB CE ∴，故③正确；
故答案为：②．
【点评】此题主要考查了全等三角形判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16．（4分）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：62897
K．
【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
【解答】解：实际车牌号是62897
K．
故答案为：62897
K．
【点评】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看．
17．（4分）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15︒，再前进10m，又向右转15︒，⋯，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了240 m．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
n=︒÷︒=，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为3601524
⨯=米．
则一共走了2410240
故答案为：240 ．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360︒，用外角和求正多边形的边数可直接让360︒除以一个外角度数即可．三、解答题（共82分）
18．（8分）如图，ABC
A
∠=︒．
∆是等腰三角形，AB AC
=，36
（1）尺规作图：作B
∠的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断DBC
∆是否为等腰三角形，并说明理由．
【分析】（1）以B 为圆心，以任意长为半径画弧交AB 、AC 于两点，再以这两点为圆心，
以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B 作直线即可；
（2）由36A ∠=︒，求出C ∠、ABC ∠的度数，能求出ABD ∠和CBD ∠的度数，即可求出BDC ∠，
根据等角对等边即可推出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
BD 即为所求；
（2）AB AC =，
ABC C ∴∠=∠，
36A ∠=︒，
(18036)272ABC ACB ∴∠=∠=︒-︒÷=︒， BD 平分ABC ∠，
36ABD DBC ∴∠=∠=︒，
363672BDC ∴∠=︒+︒=︒，
BD BC ∴=，
DBC ∴∆是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，
作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出C ∠、BDC ∠的度数．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -．
（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的△A B C '''（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，C 的对应
点，不写画法）；
（2）直接写出A '，B '，C '三点的坐标：(A ' )，(B ' )，(C ' )
（3）计算ABC ∆的面积．
【分析】（1）分别找到y 轴右侧与y 轴左侧的点在同一水平线上，且到y 轴的距离相等的点，
顺次连接即可；
（2）根据点所在的象限及距离y 轴，x 轴的距离分别写出各点坐标即可；
（3）易得此三角形的底边为5，高为3，利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1） ；
（2）(1,5)A '，(1,0)B '，(4,3)C '；
（3）(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -， 5AB ∴=，AB 边上的高为3，
1537.52
ABC S ∆∴=⨯⨯=． 【点评】用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分；
三角形的面积等于底⨯高2÷．
20．（10分）如图，已知ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线
上，连接BD ，AE ，延长AE 交BD 于点F ，请说出AE 与BD 的数量关系，并证明你的
结论．
【分析】根据SAS 判定ACE BCD ∆≅∆，从而得到AE BD =．
【解答】解：结论：AE BD =．
理由：ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，
AC BC ∴=，CE CD =，90ACE DCE ∠=∠=︒，
在AEC ∆和BDC ∆中
AC BC ACE DCE CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
AEC BDC ∴∆≅∆，
AE BD ∴=．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题．
21．（8分）如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AB 的垂直平分线交AB 于
点D ，交BC 于点E ，求AEC ∠的度数．
【分析】先由等腰三角形的性质求出B ∠的度数，再由垂直平分线的性质可得出BAE B ∠=∠，
由三角形内角与外角的关系即可解答．
【解答】解：在ACB ∆中，
AB AC =，100BAC ∠=︒， 180100402
B C ︒-︒∴∠=∠==︒， DE 是线段AB 的垂直平分线，
AE EB ∴=，
140B ∴∠=∠=︒，
又AEC ∠是ABE ∆的一个外角，
180AEC B ∴∠=∠+∠=︒．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端
点的距离相等．
22．（8分）一艘轮船自西向东航行， 在A 处测得小岛P 的方位是北偏东75︒，
航行 7 海里后， 在B 处测得小岛P 的方位是北偏东60︒，若小岛周围 3.8 海里内有暗礁， 问该船一直向东航行， 有无触礁的危险？并说明原因 ．
【分析】作PD AB ⊥，利用直角三角形性质求出PD 长， 和 3.8 海里比较即可
看出船不改变航向是否会触礁 ．
【解答】解： 有触礁危险 ．
理由如下： 解： 作PD AB ⊥于D ， A 处测得小岛P 在北偏东75︒方向，
15PAB ∴∠=︒，
在B 处测得小岛P 在北偏东60︒方向，
15APB ∴∠=︒，
7AB PB ∴==海里，
30PBD ∠=︒，
1 3.5 3.82
PD PB ∴==<， ∴该船继续向东航行， 有触礁的危险 ．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．
23．（10分）如图所示，在ABC
∆中，AB AC
=，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE CF
=，EF交BC于D，求证：DE DF
=．
【分析】作//
EG AC交BC于G，根据平行线的性质得到BGE ACB
∠=∠，GED F
∠=∠，EGD FCD
∠=∠，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：作//
EG AC交BC于G，
BGE ACB
∴∠=∠，GED F
∠=∠，EGD FCD
∠=∠．
AB AC
=，
B ACB
∴∠=∠，
B BGE
∴∠=∠，
BE EG
∴=．
CF BE
=，
CF GE
∴=．
在GED
∆和CFD
∆中，
GED F
GE CF
EGD FCD
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
() GED CFD ASA
∴∆≅∆，DE DF
∴=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，
解答时证明三角形全等是关键．
24．（8分）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，
请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①AB DE =，②AC DF =，③ABC DEF ∠=∠，④BE CF =．
解：我写的真命题是：
在ABC ∆和DEF ∆中，如果 AB DE =，AC DF =，BE CF = ，那么 ．（不能只填
序号）
证明如下：
【分析】如果①②④联合，利用SSS 易证ABC DEF ∆≅∆，从而可得ABC DEF ∠=∠．
【解答】解：如图，在ABC ∆和DEF ∆中，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，
如果AB DE =，AC DF =，BE CF =．那么ABC DEF ∠=∠．
证明：BE CF =，
BE EC CF EC ∴+=+，
即BC EF =，
在ABC ∆和DEF ∆中，
AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，
ABC DEF ∴∠=∠；
故答案是：AB DE
=，AC DF
∠=∠．
=，BE CF
=；ABC DEF
【点评】考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：AAS，ASA，SAS，SSS，是直角三角形的还有HL．
25．（8分）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在你图下方的横线上：
3条条条条条．
（2）一个正n边形有条对称轴；
（3）①在图①中画出正六边形的一条对称轴l；
②在图②中，用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴l（不写画法，保留画图痕
迹）
【分析】（1）根据轴对称和对称轴的性质求解；
（2）一个正n边形有n条对称轴；
（3）①根据轴对称图形的性质直接作出对称轴；
②根据轴对称图形的性质作出正五边形对称轴．
【解答】解：（1）三角形有3条对称轴；
正方形有4条对称轴；
正五边形有5条对称轴；
正六边形有6条对称轴；
正七边形有7条对称轴；
正八边形有8条对称轴；
（2）一个正n边形有n条对称轴；
（3）①所作图形如图所示：
②所作图形如图所示．
故答案为：3，4，5，6，7；n．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念以及对
称轴的概念、对称轴的作法．
26．（12分）如图， 在ABC ∆中，2AB AC ==，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上
运动(D 不与B 、C 重合） ，连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 与AC 交于E ．
（1） 当115BDA ∠=︒时，BAD ∠= 25 ︒，DEC ∠= ︒；当点D 从B
向C 运动时，BDA ∠逐渐变 （填 “大”或“小” )；
（2） 当DC 等于多少时，ABD ∆与DCE ∆全等？请说明理由；
（3） 在点D 的运动过程中，ADE ∆的形状可以是等腰三角形吗？若可以， 请
直接写出BDA ∠的度数；若不可以， 请说明理由 ．
【分析】（1） 首先利用三角形内角和为180︒可算出
18040115
BAD ∠=︒-︒-︒=︒；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得DEC ∠的度数；
（2） 当2DC =时， 利用140DEC EDC ∠+∠=︒，140ADB EDC ∠+∠=︒，求出
ADB DEC ∠=∠，再利用2AB DC ==，即可得出ABD DCE ∆≅∆．
（3） 当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE ∆的形状是等腰三角形 ．
【解答】解： （1）40B ∠=︒，115ADB ∠=︒，
1804011525BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；
40ADE ∠=︒，115ADB ∠=︒，
1801801154025EDC ADB ADE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
1804025115DEC ∴∠=︒-︒-︒=︒，
当点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小；
（2） 当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆，
理由：40C ∠=︒，
140DEC EDC ∴∠+∠=︒，
又40ADE ∠=︒，
140ADB EDC ∴∠+∠=︒，
ADB DEC ∴∠=∠，
又2AB DC ==，
在ABD ∆和DCE ∆中，
ADB DEC B C
AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABD DCE AAS ∴∆≅∆；
（3） 当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE ∆的形状是等腰三角形，
110BDA ∠=︒时，
70ADC ∴∠=︒，
40C ∠=︒，
70DAC ∴∠=︒，
ADE ∴∆的形状是等腰三角形；
当BDA ∠的度数为80︒时，
100ADC ∴∠=︒，
40C ∠=︒，
40DAC ∴∠=︒，
ADE ∴∆的形状是等腰三角形 ．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，
三角形外角的性质， 关键是要考虑全面， 分情况讨论ADE ∆的形状是等腰
三角形．。