函数的单调性.ppt

y
y
y x 1
y 2x 2 2
1
1
OO
x
1
O
x
增区间为:(, )
y
y x2 2x
O
12
x
减区间为: (, )
y
y 1
x
O
x
减区间为：
增区间为： ,1 减区间为：1,
(,0),(0, )
一次函数 y kx bk 0的单调性：
函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数。 函数f(x)＝kx＋b(k<0)在R上是减函数。
若差＞0，则为减函数)。
• 例2 物理学中的波利尔定律p＝ （k是正常数）告诉我们，对于一定量的 气体，当体积V减小，压强p将增大．试
用函数的单调性证明之．
证明 ：
设V1＜V2，V1 ，V2 ∈（0，+∞）．
• p1－p2＝ － ＝
．
• 因为k是正常数， V1 ＜ V2 ，所以 ＞0， p1 ＞ p2 ．
函数的单调性
由于某种原因，2008年北京奥运会开幕 式时间由原定的7月25日推迟到8月8日。
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温 随时间变化的曲线图.
问题：观察图形，你能得到什么信息？
• (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； • (2)在某时刻的温度； • (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
(3) 任取x1,x2∈ [0, ∞),且x1<x2 。 因为 x12 -x22=(x1-x2)(x1+x2)<0 ,即x12 < x22， 所以y=x2在[0, ∞)为增函数．
问题5：你能用准确的数学符号语言 表述出增函数的定义吗?
函数单调性的一般定义：
• 一般地，设函数f（x）的定义域为I： • 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两
该区间上为增函数；
• 如果函数在某个区间上随自变量x的 增大，y越来越小，我们说函数在该
区间上为减函数．
问题3：
下图是函数的图象,能说出这个函数分别在 哪个区间为增函数和减函数吗？
问题4.1
观察下列表格，描述二次函数 f（x）＝x2随x
增大函数值的变化特征：
X
= … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4…
问题：同学们还能举出生活中其 它的数据变化情况吗？
水位高低、燃油价格、股票价格等．
• 问题1：分别作出下列函数的图象， 并且观察自变量x变化时，函数值y 有什么变化规律？
Y=x+2 y=-x+2 y=x2
• 函数Y=x+2在整个定义域内y随x
的增大而增大; 函数y=-x+2在整个
定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是 个局部概念。 这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量 x 而言的。
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间
(4)单调函数的图像特征(几何特征)：
增函数
图像从左向右上升
减函数
图像从左向右下降
观察下列函数的图象，及其变化规律：
x
,0 0,
y
k>0
结论：函数f(Ox)＝x
k
减函数 减函数 在其定义域上不具有
单调性。
k<0
y
O
x 增函数
x
增函数
三、用定义证明函数单调性的步骤 证明函数f(x)在区间D上具有单调性的步骤：
1、取值：任取x1, x2∈给定的区间，且x1＜x2; 2、作差、变形：计算f(x1)－f(x2) 至最简; 3、定号：判断上述差的符号; 4、下结论：(若差＜0，则为增函数;
• 所以，体积V减小ห้องสมุดไป่ตู้压强p将增大．
目标检测：
1．举一个与实际生活联系的例子，并说明这 个函数在定义域上是减函数．
2．画图说明：函数f（x）在它的定义域I内的 两个区间D1，D2上都单调增，而在定义域I
上并不单调增．
3．证明函数f（x）＝x2－2x在区间（1，+∞）
上是增函数．
4．研究函数f（x）＝
二次函数 y ax2 bx c(a 0)的单调性：
y ax2 bx c(a 0) 的对称轴为 x b 2a
y ax2 bx c 单调增区间 单调减区间
y
a>0
O
y
a<0
O
x
b 2a
,
x
,
b 2a
,
b 2a
b 2a
,
反比例函数 y k k 0的单调性：
x
y k k 0
• 函数y=x2在(∞,0)上y随x的增大而增 大，在[0, ∞)上y随x的增大而减小．
• 函数y=1/x在(∞,0)上y随x的增大而减 小，在(0, ∞)上y随x的增大而减小．
• 问题2：能不能根据自己的理解 说说什么是增函数、减函数?
• 如果函数在某个区间上随自变量x的 增大，y也越来越大，我们说函数在
（1）如果对于区间上的任意x有f（x）＞ f（0），则函数f（x）在区间上单调增；
（2）对于区间上（a，b）的某3个自变量的值 x1，x2，x3，当a＜x1＜x2＜x3＜b时，有 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜ f（b），则函数f（x）在区间（a，b）单调
增．
(1)函数的单调性也叫函数的增减性。
的单调性．
f（x）＝x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16…
• 问题4.2：
如何从解析式的角度说明y=x2在[0,+∞) 为增函数？
(1) 在给定区间内取两个数，例如1和2， 因为12<22,所以y=x2在[0, ∞)为增函数．
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以 y=x2在[0, ∞)为增函数．
个自变量的值x1，x2 ，当x1＜x2时，都有f（x1） ＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是
增函数；
• 对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自 变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞ f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减
函数．
• 练习
下列说法是否正确？请画图说明理由：