1.5.2二项式系数的性质 教案高中数学选修2-3 北师大版

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5.2二项式系数的性质

1.当n 依次取1,2,3…时,(a +b )n 展开式的二项式系数写在相应的横线上. 【提示】

2.观察上表中,从第三行开始,每行除了1以外,每一个数与它“肩上”的两个数有何关系?

【提示】 每一个数都等于它“肩上”的两个数之和. 3.对于问题2中的等量关系与组合数的哪个性质有关?

【提示】 C r n +1=C r -

1n +C r

n .

4.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等的依据是什么?

【提示】 C m n =C n -m

n

.

1.二项式系数表(杨辉三角) (1)特征

①每行两端都是1;

②除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. (2)用组合数给出的解释

表中除1以外的任意数为C r n +1,它“肩上”的两个数分别为C r -

1n 和C r n ,由组合数的性

质可知C r n +1=C r -

1n +C r

n .

2.二项式系数的性质

图1-5-1

值是它肩上的两个数之和,这个三角形中开头几行如图1-5-1所示. 试求在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数,它们的比是3∶4∶5吗?

【思路探究】 杨辉三角可直观地得出二项式系数的值,但它仅适用于(a +b )n 中n 值较小时.

【自主解答】 杨辉三角的第n 行是二项式(a +b )n 展开式的二项式系数,即C 0n ,C 1

n ,C 2n ,…,C r n ,…,C n

n .如果第n 行中有三个连续的系数之比为3∶4∶5,那么就有一个正整数

k ,使得⎩⎨⎧

34=C k -1

n C k n

,45=C

k n

C

k +1n .

从而有

⎩⎪⎨⎪⎧

34=n !

(k -1)!(n -k +1)!n !k !(n -k )!

=k n +1-k

,4

5=n !

k !(n -k )!n !(k +1)!(n -k -1)!

=k +1n -k

.

即⎩⎪⎨⎪⎧ 3n +3=7k ,4n -5=9k .解得⎩⎪⎨⎪⎧

n =62,k =27.

∴在第62行中存在连续的三个数C 2662,C 2762,C 2862它们的比为3∶4∶5.

1.本题的突破口在于找到了(a +b )n 展开式的二项式系数为C 0n ,C 1n ,C 2n ,…,C r n ,…,C n

n .

2.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察,找出每一行数据间的相互联系,以及行与行间数据的相互联系,然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来,使问题得解.注意观察方法,横看、竖看、连续看、偏行看,从多

角度观察.

如图1-5-2所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n 项和为S (n ),则S (16)等于(

)

图1-5-2

A .144

B .146

C .164

D .461

【解】 由题图知,数列中的首项是C 22,第2项是C 12,第3项是C 23,第4项是C 13,

…,第15项是C 29,第16项是C 19.

∴S (16)=C 12+C 22+C 13+C 23+…+C 19+C 2

9 =(C 12+C 13+…+C 19)+(C 22+C 23+…+C 29) =(C 22+C 12+C 13+…+C 19-C 22)+(C 33+C 23+…+C 29) =C 210+C 310-1=164.

【答案】 C

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