2024届河南省示范性高中高三3月第一次考试数学试题

2024届河南省示范性高中高三3月第一次考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1e
C ．
2
1e D ．
3
1e 2．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n α
β=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥
3．设F 为抛物线2
4x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则|||||FA FB FC ++=（ ）. A ．9
B ．6
C ．3
8
D ．
316
4．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右
支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A B C
D 5．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.
若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )
A ．1
3
y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
6．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =
D ．3()f x x x =-
7．设点A ，B ，C 不共线，则“()
AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
8．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．
12
i D ．12
i -
9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =
，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，则sin C =（ ） A
B
．
7
C
D
10．设过抛物线()2
20y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()2
80y px p =>交于,A B 两点，直线
OP 与抛物线()2
80y px p =>的另一个交点为Q ，则
ABQ ABO
S S
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
12．已知12,F F 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过
点P ，若12PF F ∆
2
，则双曲线的离心率为（ ）
A B ．2
C
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答） 14．在△ABC 中，∠BAC ＝60，AD 为∠BAC 的角平分线，且1344
AD AC AB
=
+，若AB ＝2，则BC ＝_______.
15．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 16．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知直线1l ：y x b =+与抛物线2:2(0)C y px p =>切于点P ，直线2l ：2210x my m --+=过定点Q ，且抛物线C 上的点到点Q 的距离与其到准线距离之和的最小值为10
2
. （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；
（2）设直线2l 与抛物线C 交于(异于点P )两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为12k k 、，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 18．（12分）已知函数sin ()x
f x x
=，0πx <<. （1）求函数()f x 在2
x π=
处的切线方程；
（2）当0m π<<时，证明：()ln f x m x x
π
<+对任意(0,)x π∈恒成立.
19．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值. 20．（12分）已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞-，不等式3(2
)4f x y y a
≤+
++恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.
22．（10分）已知a ∈R ，函数2()ln(1)2f x x x ax =+-++. （1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：对(1,)-+∞上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()12121
2123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解题分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大
值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭
, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【题目详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >
时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减；
当2
10t e <<
时, ()'0k t >,()k t 在21
0,e ⎛⎫
⎪⎝
⎭
递增. 故在21t e =
处()h t 取得极大值,为222
21111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为2
1
e . 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 2．B 【解题分析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】
对于A 选项，当αβ⊥，n α
β=，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥.
对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.
对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥. 对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥. 综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥” 故选：B 【题目点拨】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题. 3．C
【解题分析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=可得1233
16
x x x ++=
，利用定义将|||||FA FB FC ++用123,,x x x 表示即可.
【题目详解】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=及1
(,0)16
F ， 得111(,)16x y -
+221
(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316
x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=38
. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 4．D 【解题分析】
根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【题目详解】
由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2
22
12
12122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，
即2
2
2
1
4(6)(4)2642
c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式． 5．C 【解题分析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【题目详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 6．B 【解题分析】
奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可. 【题目详解】
A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；
B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x
x
x x f x f x e e
e e --+-=-+-=
满足奇函数，又()'0x
x
f x e e
-=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；
C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=
满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误； D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()
3
3
()0f x f x x x x x +-=-+-+=，
满足奇函数，()2
'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；
故选：B 【题目点拨】
此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 7．C
【解题分析】
利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【题目详解】
由于点A ，B ，C 不共线，则
(
)()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=()()
22
0AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=22AC AB ⇔=⇔“
AB AC =”；
故“()
AB AC BC +⊥”是“AB AC =”的充分必要条件. 故选：C . 【题目点拨】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 8．A 【解题分析】 由()1i z i +=得1z i
i
=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【题目详解】 因为(1)i z i +=,
所以22
(1)1111(1)(1)1122
1i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为1
2
. 故选A. 【题目点拨】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 9．B 【解题分析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3
B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用
正弦定理可求出sin C 的值. 【题目详解】
1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭，
即1
sin sin cos sin sin 2
A B A B A B =
-
，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >
，3sin B B ∴=
，得tan 3
B =
，0B π<<，6B π∴=.
由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b
C B
=
，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 10．C 【解题分析】
画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。

写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【题目详解】
作图，设AB 与OP 的夹角为θ，则ABQ △中AB 边上的高与ABO 中AB 边上的高之比为
sin sin PQ PQ
OP OP
θθ=，
1ABQ Q P Q
ABO
P P S y y y PQ S
OP y y -∴
===-，设211,2y P y p ⎛⎫
⎪⎝⎭，则直线121:2y
OP y x y p
=，即12p y x y =，与28y px =联立，解得14Q y y =，从而得到面积比为
1
1
413y y -=. 故选：C
【题目点拨】
解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 11．D 【解题分析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
12．B 【解题分析】
根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【题目详解】
由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为b
y x a
=， 所以，00b
y x a
=
，
又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即222
00x y c +=，解得0x a =，0y b =，
所以，12
20122PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=
，即c =，即()222
43c c a =-，
所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．36 【解题分析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果. 【题目详解】
由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有3
2
34A A 种排法，其中甲排在两端，有3
1
332A A 种排法，则6人排成一排，
甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有3231
3433362A A A A -=（种）排法.
所以本题答案为36. 【题目点拨】
排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. 14
． 【解题分析】 由1344
AD AC AB
=
+，求出,BD CD 长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC 边，再由余弦定理，即可求解.
【题目详解】
1313,()()4444
AD AC AB AD AC AB AD =+-=-, 3,3CD DB CD DB =∴=，
1
sin 212sin 2
ADC ADB
AC AD CAD
S CD AC AC S
BD AB AB AD BAD ⋅⋅∠∴====⋅⋅∠，
2226,2cos 402628AC BC AB AC AB AC BAC ==+-⋅⋅∠=-⨯=，
BC =.
故答案为:. 【题目点拨】
本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 15．60 【解题分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【题目详解】
首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，
故选派的方法为：22
5410660C C =⨯=.
故答案为60． 【题目点拨】
解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
16 【解题分析】
求出,,a b a b ⋅，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算． 【题目详解】
由题意得2
22cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.2
22cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.
1
cos5cos65sin 5sin 65cos602
a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()
2
2
1
24444172
a b
a a
b b ∴+=+⋅+=+⨯+=，
27a b ∴+=.
． 【题目点拨】
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
4y x =，（1，2）；（2）存在，8
3
【解题分析】
（1）由直线2l 恒过点点及抛物线C 上的点到点Q 的距离与到准线的距离之和的最小值为2
，求出抛物线的方程，再由直线1l 与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线2l 与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA ，PB 的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数
λ使得斜率之和为定值.
【题目详解】
（1）由题意，直线2l 变为2x +1-m (2y +1)=0，所以定点Q 的坐标为11,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点坐标,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由抛物线C 上的点到点Q 的距离与到其焦点F ，
可得QF ==2p =或4p =-（舍去），
故抛物线C 的方程为2
4y x =
又由2y 4x b y x
=+⎧⎨=⎩消去y 得22
2(2)0x b x b +-+=，
因为直线1l 与抛物线C 相切，所以()2
2
2240b b ⎡⎤∆=--=⎣⎦，解得1b =，
此时1x =，所以点P 坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数λ，点1122(,),(,)A x y B x y ，
联立222104x my m y x
--+=⎧⎨=⎩，消去x 得24220y my m --+=，
则12124,.22y y m y y m +==-，
依题意，可得2
(4)4(22)0m m ∆=-->，解得m <-1或1
2
m >， 由（1）知P （1，2），
可得
1111111
222(2)
1123(21)12
y y y k x my m my m ---=
==
-+-+--，
同理可得2222(2)
23
y k my m -=
+-，
所以[]12121222
121212243(1)()4(3)22)22)
232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m λ-++----=
+=+-+-+-++-（（
=[]
2222
24(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3
m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数λ=8
3
满足条件. 【题目点拨】
本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 18．（1）2
4
4
y x ππ
=-+
（2）见解析
【解题分析】 （1）因为cos sin ()2
x x x f x x -'=
，可得
242f ππ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭，即可求得答案； （2）要证()ln f x m x x
π
<+
对任意(0,)x π∈恒成立，即证ln sin mx x x π>-对任意(0,)x π∈恒成立.设
()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，当(0,)x π∈时，(]()sin ,1h x x πππ=-∈--，即可求得答案.
【题目详解】 （1）
cos sin ()2x x x
f x x
-'=
， ∴242f ππ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭，
2
2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 在2
x π=
处的切线方程为2
4
4
y x ππ
=-
+
.
（2）要证()ln f x m x x
π
<+
对任意(0,)x π∈恒成立.
即证ln sin mx x x π>-对任意(0,)x π∈恒成立.
设()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，
当(0,)x π∈时，(]()sin ,1h x x πππ=-∈--，
()(ln 1)g x m x '=+，
∴令()0g x '=，解得1e
x =
， ∴当10e x <<时，()0g x '<，函数()g x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减；
当
1e x π<<时，()0g x '>，函数()g x 在1,e π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增. ∴min 1()e e m g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
0,()m π∀∈，1
e
m
π-
>-， ∴当0m π<<时，ln sin mx x x π>-对任意(0,)x π∈恒成立，
即当0m π<<时，()ln f x m x x
π
<+对任意(0,)x π∈恒成立.
【题目点拨】
本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 19． (I ) ；(II )证明见解析
【解题分析】
(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案. (II ) 设，
，联立方程得到
，
，代入化简得到
，计算得
到证明. 【题目详解】 (I ) 椭圆
，故
，
.
(II )设
，
，则将
代入
得到：
，故
，
，
，故，得到，
，故
，同理：
，
由已知得：或
，
故，
即
，化简得到.
故原点到直线l 的距离为为定值.
【题目点拨】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．（1）12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，；（2）[)3,0-.
【解题分析】
（1）分类讨论1a ≤-，11a -<<，1a ≥，即可得出结果； （2）先由题意，将问题转化为3))42((max min f x y a y ≤+++即可，再求出()max f x ，42
3a
y y +++的最小值，解不等式即可得出结果. 【题目详解】
（1）由()()111f f +->得111a a +-->， 若1a ≤-，则111a a --+->，显然不成立； 若11a -<<，则111a a ++->，12
a >
，即1
12a ＜＜；
若1a ≥，则111a a +-+>，即21>，显然成立，
综上所述，a 的取值范围是12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42
((max min f x y a
y ≤+
++， 当(,]x a ∈-∞-时，()()f x x x a =-+，所以2()24max
a a f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
；
因为22
3344a y y a +
++≥-， 所以23442
a a
≤-，解得31a -≤≤，结合0a <，
所以a 的取值范围是[)3,0-． 【题目点拨】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
21．（1）(x －1)2＋y 2＝4,直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0；（2）3. 【解题分析】
(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.
【题目详解】
(1)由曲线C 的参数方程
(α为参数)
(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4； 由直线l 的极坐标方程可得ρcosθcos －ρsi n θsi n ＝ρcosθ－ρsi n θ＝2，
即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l 的参数方程为 (t 为参数)．
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA|·
|PB|＝|t 1|·|t 2|， 将 (t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋t －3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 22．（1）11,3⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦
（2）见解析 【解题分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '
≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，参变分离得1
21
a x x ≤-
+在[)2,x ∈+∞上
恒成立.设1
()21
h x x x =-
+，求出min ()h x 即可得到参数的取值范围； （2）不妨设121x x -<≤，()221
212()()3
333F x f x x f x f x ⎛⎫=+--
⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 利用导数说明函数()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，即可得证； 【题目详解】
解：（1）∵2
()ln(1)2f x x x ax =+-++
∴1
()21f x x a x '
=
-++，且函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立， ∴121a x x ≤-+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1
()21
h x x x =-+，
∵函数()h x 在[)2,+∞上单调递增，∴min 111
()(2)433
h x h ==-=，
∴113a ≤
，∴实数a 的取值范围为11,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
（2）不妨设121x x -<≤，()221
212()()3
333F x f x x f x f x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-，
则()()()2220F x f x f x =-=， ∴21121()()3333F x f x x f x ⎛⎫'''=
+- ⎪⎝⎭2112()333f x x f x ⎡⎤
⎛⎫''=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. ∵
()22212222033333x x x x x x x +-=-+=-≥，∴212
33
x x x +≥， 又1()21
f x x a x '
=
-++，令()()g x f x '=，∴2
1()20(1)g x x '
=--<+， ∴()f x '在(1,)x ∈-+∞上为减函数，∴21
2()3
3f x x f x ⎛⎫''+≤
⎪⎝⎭，
∴
2112()0333f x x f x ⎡⎤
⎛⎫''+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，即()0F x '≤， ∴()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，∴()2()0F x F x ≥=，即()0F x ≥， ∴()221
212()03
333f x x f x f x ⎛⎫+--≥
⎪⎝⎭，
∴当(]21,x x ∈-时，()221
212()3
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+
⎪⎝⎭.
∵121x x -<≤，∴()()12121
2123
333f x x f x f x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭.
【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。