2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数(附解析)

2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（附解析）
1．根据导数的几何意义求解函数切线问题； 2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值； 3．利用导数讨论函数零点；
4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题； 5．利用导数解决生活中的优化问题．
一、求函数的单调区间
（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结． （3）求可导函数()y f x =的单调区间，实际上就是解不等式()0f x '>或()0f x '<； 若函数()y f x =含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x '>或()0f x '<， 答题模板
二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：
已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围． 求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立． 求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．
三、利用导数讨论函数零点或函数值域
（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间
由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点． （2）依函数的单调性求函数的值域
若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ； 若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．
四、构造函数证明不等式
若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->， 如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数． 如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，
那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．
注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．
五、函数极值的概念
六、函数的最大值与最小值
1
．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．
1
(0,)2
B ．1
(,)2
e
C ．(0,)+∞
D ．1(,)2
+∞
2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为 ．
3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-． （1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围．
经典常规题
（45分钟）
1．已知函数()(ln )()x
e f x k x x k x
=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，
则实数k 的取值 范围是（ ） A ．(0,1]
B ．(,1]-∞
C ．(,]e -∞
D ．[,)e +∞
2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为 ．
3．已知函数2
1()cos 2
f x x m x =
+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+． （1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由； （2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围．
高频易错题
1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，3
1()cos sin 3
f x x x x x =-+
，则满足不等式212
(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（ ）
A ．1(,2)2
B ．(0,2)
C ．1(0,)(1,2)2
U
D ．(2,)+∞
2．曲线ln 2()x x
f x x
-=
在点(1,2)-处的切线方程为 ． 3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．
精准预测题
4．已知函数3211
()(1)()323
a f x x x x x a =
-++-∈R ． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．
2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（解析）
1．根据导数的几何意义求解函数切线问题； 2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值； 3．利用导数讨论函数零点；
4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题； 5．利用导数解决生活中的优化问题．
一、求函数的单调区间
（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结． （3）求可导函数()y f x =的单调区间，实际上就是解不等式()0f x '>或()0f x '<； 若函数()y f x =含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x '>或()0f x '<， 答题模板
二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：
已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围． 求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立． 求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．
三、利用导数讨论函数零点或函数值域
（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间
由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点． （2）依函数的单调性求函数的值域
若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ； 若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．
四、构造函数证明不等式
若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->， 如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数． 如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，
那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．
注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．
五、函数极值的概念
六、函数的最大值与最小值
1
．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ． 1
(0,)2
B ．1
(,)2
e
C ．(0,)+∞
D ．1(,)2
+∞
【答案】D
【解析】
因为函数()ln f x x a x =
，所以()1a f x x '=-
=
．
令()22g x x a =-，
因为()2g x '==
当(1,)x ∈+∞
时，10>
，0>，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，
则()(1)12g x g a >=-，
当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点；
当120a -<时，即12
a >
， 因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一零点的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >， 所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；
经典常规题
当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当0x x =时，min 0()()f x f x =，
因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，
()f x 一定存在一个零点．
所以1(,)2
a ∈+∞．
2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为 ． 【答案】12
-
【解析】2()(12)x f x x ax x a e '=++++，(0)1f =，(0)1f a '=+，
切线方程为1(1)y a x -=+，切线过点(2,2)，∴212(1)a -=+，∴12
a =-
． 3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-． （1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,0]-∞；（2）0a ≤或a e =．
【解析】（1）由()ln (0)x f x xe a x ax a e x =--+->，
得(1)()
()(1)(1)x x
a x xe a f x e x x x x
+-'=+-=+， 因为()f x 为单调递增函数，所以当0x >时，()0f x '≥， 由于11x +>，于是只需x a xe ≤对于0x >恒成立， 令()x u x xe =，则()(1)x u x x e '=+，
当0x >时，()0u x '>，所以()x u x xe =为增函数，所以()(0)0u x u >=．
当(0)a u ≤，即0a ≤时，x a xe ≤恒成立，所以()f x 为单调递增函数时，a 的取值范围是(,0]-∞．
（2）因为(1)0f =，所以1x =是()f x 的一个零点．
由（1）知，当0a ≤时，()f x 为(0,)+∞的增函数，此时关于x 的方程()0f x =仅一解1x =，
即函数()f x 仅一个零点，满足条件； 当0a >时，由(1)0f '=，得a e =，
①当a e =时，()ln x
f x xe e x ex =--，则()
()(1)x xe e f x x x
-'=+，
令()x v x xe e =-，易知()v x 在(0,)+∞的增函数，且(1)0v =， 所以当01x <<时，()0v x <，则()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >时，()0v x >，则()0f x '>，()f x 为增函数，
所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，且仅当(1)0f =，于是函数()f x 仅一个零点，所以
a e =满足条件；
②当a e >时，由于()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数，则(1)0v e a =-<， 又当x →+∞时，()v x →+∞，则存在01x >，使得0()0v x =，即使得0()0f x '=， 当0(1,)x x ∈时，0()()0v x v x <=，则()0f x '<， 当0(,)x x ∈+∞时，0()()0v x v x >=，则()0f x '>， 所以()f x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增， 所以0()(1)0f x f <=，且当x →+∞时，()f x →+∞．
于是当0(,)x x ∈+∞时，存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去；
③当0a e <<时，则()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数， 又(0)0v a =-<，(1)0v e a =->，
所以存在001x <<，使得0()0v x =，也就使得0()0f x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0v x <，()0f x '<； 当0(,1)x x ∈时，()0v x >，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,1)x 上递增， 所以0()(1)0f x f <=，且当0x →时，()f x →+∞． 于是在0(0,)x 时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去， 综上，a 的取值范围为0a ≤或a e =．
1．已知函数()(ln )()x
e f x k x x k x
=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，
则实数k 的取值 范围是（ ） A ．(0,1] B ．(,1]-∞
C ．(,]e -∞
D ．[,)e +∞
【答案】C
【解析】2
()(1)
()x e kx x f x x
--'=函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()0f x '>，则1x >， 即()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；
高频易错题（45分钟）
②当0k >时，∵1x =时，()0f x '=，
又函数()f x 在定义域为(0,)+∞只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值． 从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()x h x e =，()g x kx =，()x h x e '=，
设()g x kx =与()x h x e =相切的切点为00(,)x
x e ，则切线方程为000()x x
y e e x x -=-， 因为切线过原点，则0000(0)x
x
e e x -=-，解得01x =， 则切点为(1,)e ，此时k e =． 由图可知：
要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤． 综上所述：(,]k e ∈-∞．
2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为 ． 【答案】2y x ππ=-+
【解析】曲线sin y x x =，则()sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+， 所以在点(,0)π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-， 由点斜式可得2()y x x ππππ=--=-+，故答案为2y x ππ=-+．
3．已知函数2
1()cos 2
f x x m x =
+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+． （1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由； （2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围． 【答案】（1）不存在零点，详见解析；（2）(1,)+∞． 【解析】（1）2m =时，()2sin 1g x x x =-+，
令()0g x '=，即1cos 2x =
，(0,)x π∈，得3
x π=， 当x 变化时，()g x '，()g x 变化如下：
∴函数()g x 的单调递减区间为(0,
)3
π
，单调递增区间为(,)3π
π．
∴()g x 的极小值为()103
3
g ππ
=
+>，∴函数()g x 在(0,)π上不存在零点．
（2）因为2
1()cos 2
f x x m x =
+，所以()sin f x x m x '=-， 令()()sin h x f x x m x '==-，则()1cos h x m x '=-． ①当1m <时，1cos 0m x ->，即()0h x '>， ∴()()sin h x f x x m x '==-在(0,)π单调递增，
∴(0,)x π∈时，()(0)0h x h >=，∴()f x 在(0,)π单调递增， ∴()f x 在(0,)π不存在最小值；
②当1m >时，
1(0,1)m ∈，则()1cos 0h x m x '=-=，即1
cos x m
=在(0,)π内有唯一解0x ，
当0(0,)x x ∈时，()0h x '<；当0(,)x x π∈时，()0h x '>， 所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x π上单调递增， 所以0()(0)0h x h <=，
又因为()0h ππ=>，所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x ， 当1(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<；当1(,)x x π∈时，()0h x >，即()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,)x π上单调递增，
所以函数()f x 在1x x =处取得最小值，即1m >时，函数()f x 在(0,)π上存在最小值． 综上所述，()f x 在(0,)π上存在最小值时，m 的取值范围为(1,)+∞．
1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，3
1()cos sin 3
f x x x x x =-+
，则满足不等式212
(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（ ）
A ．1(,2)2
B ．(0,2)
C ．1(0,)(1,2)2
U
D ．(2,)+∞
【答案】A
【解析】∵()f x 是偶函数，∴12222
(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，
精准预测题
则不等式212
(log )(log )2(1)f m f m f +<可化为22(log )2(1)f m f <，即
2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31
()cos sin 3
f x x x x x =-+，
2()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x '=--+=-，
令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，∴()g x 是R 上的增函数，
∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，()0f x '≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数．
∴由2(log )(1)f m f <，得2log 1m <，即21log 1m -<<，
1
22
m <<． 2．曲线ln 2()x x
f x x
-=
在点(1,2)-处的切线方程为 ． 【答案】30x y --=
【解析】因为ln 2()x x f x x -=，∴21(2)(ln 2)1ln ()x x x x x f x x x 2
----'==
， 因此2
1ln1
(1)11
f -'=
=，即曲线ln 2()x x f x x -=在点(1,2)-处切线斜率为(1)1k f '==， 因此，曲线ln 2()x x
f x x
-=
在点(1,2)-处的切线方程为21y x +=-， 所以，30x y --=即为所求切线方程． 3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）0a =，1b =-；（2）(,0]b ∈-∞．
【解析】（1）2()()ln f x a b x x x x =---，()2()ln 2f x a b x x '=---，
由(1)1(1)2()20f a b a f a b =--=⎧⎨
'=--=⎩，得0
1
a b =⎧⎨=-⎩．
（2）因为1a =，2()(1)ln f x b x x x x =---，()0f x ≥等价于1ln 1x
b x x
≤-
-， 令1ln ()1x
g x x x
=-
-，2ln ()x g x x '=，
当(0,1)x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)0g x g ==，所以(,0]b ∈-∞．
4．已知函数3211
()(1)()323
a f x x x x x a =
-++-∈R ． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．
【答案】（1）极大值为22
231
6a a a -+-，极小值为1(1)6
a --；（2）见解析． 【解析】（1）∵3211()(1)323
a f x x a x x =
-++-， ∴2
1
()(1)1(1)()f x ax a x a x x a
'=-++=--，
因为1a >，所以1
01a
<
<，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
由表可得当1x a
=时，()f x 有极大值，且极大值为22
1231
()6a a f a a -+-=； 当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为1(1)(1)6
f a =--．
（2）由（1）得1()(1)()f x a x x a
'=--．
∵01a <<，∴
1
1a
>． ①当
12a ≥，即1
02
a <≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上递减， 又因为1
(0)03
f =-<，1(1)(1)06
f a =-->，1
(2)(21)03
f a =
-≤， 所以()f x 在(0,1)和(1,2)上各有一个零点，所以()f x 在[0,2]上有两个零点．
②当112a <
<，即112a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a
上递减，在1
(,2)a 上递增，
又因为1
(0)03f =-<，1(1)(1)06f a =-->，2
1(21)(1)
()06a a f a a
---=
>， 所以()f x 在[0,1]上有且只有一个零点，在[1,2]上没有零点， 所以在[0,2]上有且只有一个零点．
综上：当1
02
a <≤
时，()f x 在[0,2]上有两个零点； 当1
12
a <<时，()f x 在[0,2]上有且只有一个零点．。