复变函数

第一章：第36页例1.28；第42~43页：13，16，17，18，19.
13.试证：()arg argz z ππ-<≤在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在z 平面上处处连续
证明:令 arg ,0
()arg 0,0z z f z z z ππ≠⎧=-<<⎨=⎩
分情况讨论:
(1) 若00z =,由于当z 沿直线()00arg z θπθπ=-<<趋于原点时，()f z 趋于0θ，这里
0θ可以取不同值，因而()f z 在00z =处不连续.
(2) 若()00z x =<由定义当z 从上半平面趋于0z 时，()f z 趋于π，当z 从下半平面趋于
0z 时，()f z 趋于π-，所以()f z 在实轴上不连续.
(3) 其他点0z ，作一个以0z 为中心δ为半径的圆，只要δ充分小,这个圆总可以不与负实轴相交.
任取0Argz 的一个值0θ，以0z 为中心δ为半径的圆,因0n z z →，故存在自然数N,当n N >时，n z 落入圆内,从原点引此圆的两条切线,则此两条切线夹角为()2ϕδ，
()0
arcsin
z δ
ϕδ=，因此总可以选取n Argz 的一个值arg n z
当n N >时,有()0arg n z θϕδ-<，因0δ→时，()0ϕδ→，因而，总可以选取δ 使()ϕδ小于任何给定的0ε>，即总有0arg arg z z ε-<，因此()f z 在0z 连续. 综上讨论得知，()f z 除原点及负实轴上的点外处处连续
16.试问函数()1
1f z z
=
-在单位圆1z <内是否连续？是否一致连续 证明:1z -在1z <内连续且不为0，故1
1z
-在1z <内连续
01ε∃=，0δ∀>12δ⎛
⎫< ⎪⎝
⎭，均存在114z δ=-，212z δ=-使得124z z δδ-=<
()()1212112111f z f z z z δ
-=
-=>-
- ()f z 在1z <内非一致连续
17.一个复数列()1,2,n n n z x iy n =+=以000z x iy =+为极限的定义为：任给0ε>，存在
一个整数()N N ε=，使当n N >时，恒有 0n z z ε-<
试证：复数列{}n z 以000z x iy =+为极限的充要条件为实数列{}n x 及{}n y 分别以0x 及0y 为极限
证明：必要性：设000lim n z x y i →∞
==+，由定义0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，
恒有0n z z ε-<，从而由定义知 00n n x x z z ε-≤-<
00n n y y z z ε-≤-<
即0n x x →，()0n y y n →→∞ 充分性：由定义得
()()00000n n n n n z z x x y y i x x y y -=-+-≤-+-
因此，当0n x x →，()0n y y n →→∞时,必有()0n z z n →→∞ 18.18.试证：一个复数列()1,2,n n n z x iy n =+=有极限的充要条件是：任给0ε>，存在
正整数()N N ε=，使当n N >时，恒有 n p n z z ε+-< ()1,2,
p =
证明:利用第17题,及关于实数列收敛的柯西准则来证明. 必要性:设0lim n n z z →∞=，则由定义对0ε∀>，02N N ε⎛⎫
∃=>
⎪⎝⎭
，当n N >时，恒 有02
n z z ε
-<
因而对任何自然数p ，也有02
n p z z ε
+-<
利用三角不等式及上面两不等式, 当n N >时,有
00n p n n p n z z z z z z ε++-≤-+-<
充分性：设对0ε∀>，()0N ε∃>，当n ，n p N +>时,有0n p z z ε+-<，由定义
得
n p n n p n x x z z ε++-≤-< n p n n p n y y z z ε++-≤-<
由此根据实数序列的柯西准则,必存在两个实数0x ，0y ，使0n x x →，()0n y y n →→∞ 有
00n n n z x y i x y i =+→+
19.试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列 证明:设()(
)1,2,3,
n n n n z x y i z M n =+≤=，因为n
x ，n n y z M ≤≤，所以
{}n x ，{}n y 都有界.
根据实数列的致密性定理,知{}n x 有收敛于某常数a 的子序列{}k
n x ，相地在
()1,2,
k k n n x y i k +=中，{}k
n y 任有界,因而{}k
n y 也有以收敛于某一常数b 的子序列
{}kj
n y ，在()1,2,
kj
kj kj n n n z
x y i j =+=中，{}k
n x 任收敛于a ，因此所设序列有一收敛于
a bi +的子序列
第二章：例2.21~2.25；第90~92页：6，8；
6.若函数()f z 在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内必为常数 （1）在D 内()'
0f
z =；
（2）()f z 在D 内解析； （3）()f z 在D 内为常数；
（4）()Re f z 或()Im f z 在D 内为常数 证明:(1)z x yi D ∀=+∈，()'
0x x y y f
z u iv v iu ==+=-
(2)设()f z u iv =+，则()f z u iv =-，由()f z 与()f z 均在D 内解析知
x y u v =，y x u v =-，x y u v =-，y x
u v =
结合此两式得0x y x y u u v v ====，故u ，v 均为常数，故()f z 亦为常数 (3)若()0f z C ≡=则显然()0f z ≡，若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠且
()()2
f z f z C ≡，即()()
2
C f z f z ≡也时解析函数，由(2)知()f z 为常数.
(4)设()f z u iv =+，若(),u x y C ≡，则0x u ≡，0y u ≡，由C R -条件得 0x y v u =-≡，0y x v u =≡ 因此u ，v 为常数,，则()f z 亦为常数.
8.试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导函数 （1）()322333f z x x yi xy y =+--； （2）()()()cos sin cos sin x
x f z e
x y y y ie y y x y =-++；
（3）()sin cosh cos sinh f z x y i x y =⋅+⋅； （4）()cos cosh sin sinh f z x y i x y =⋅-⋅
解:(1)由()3
2
,3u x y x xy =-()2
3
,3v x y x y y =-，则有
2233x u x y =-，6y u xy =-， 6x v xy =，2233y v x y =-
故x u ，y u ，x v ，y v 为连续的,且满足C R -条件,所以()f z 在z 平面上解析，且
()()
'222
3363x x f z u v i x y xyi z =+=-+=
(2) ()()()(),cos sin ,cos sin x
x u x y e x y y y v x y e y y x y =-⋅=-
()cos sin cos x
x y u e x y y y y v =-+=
()sin sin cos x y x
u e x y y y y v =--+=-
故()f z 在z 平面上解析，且
()()()'cos 1sin sin 1cos x x
f z e y x y y ie y x y y =⋅+-+⋅+-⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
(3)由(),sin u x y xchy =，(),cos v x y xshy =，则有
cos x u xchy =，sin y u xshy =，sin x v xshy =-，cos y v xchy =
故x u ，y u ，x v ，y v 为连续的，且满足C R -条件,所以()f z 在z 平面上解析，且
()'cos sin x x f z u v i xchy i xshy =+=-
(4)由(),cos u x y xchy =，(),sin v x y xshy =-，则有
sin x u xchy =-，cos y u xshy =-，cos x v xshy =-，sin y v xchy
=-
故x u ，y u ，x v ，y v 为连续的，且满足C R -条件,所以()f z 在z 平面上解析，且
()'sin cos
x x f z u v i xchy i xshy
=+=--
第93~94页：8，9，10.
8.试证多值函数()()()3
4
11f z z z =
-+在割去线段[]1,1-的z 平面上可以分出四个单值
解析分支，求函数在割线上岸取正值的那个分支在点z i =±的值 证明：因为()f z 有支点-1,1，取其割线[-1,1]，有 （1）()1arg 8
c f z π
∆=-
，()8
2i
f i e
π
-=
（2）()211arg 8c i f z π∆=-，()35arg 8
c f z π
∆=-，()58
2i f i e π=
9.已知()()()211f z z z =-+在0z =的值为1，
令z 描绘路线OPA ，点A 为2，试求()f z 在点A 的值
解: 因为()f z 有支点1，i ±，∞，此时支割线可取为：沿虚轴割开[],i i -，沿实轴割开
[]1,+∞，线路未穿过支割线，记线路为C
()()()()()1arg arg 1arg arg 2
c c c c f z z z i z i ⎡⎤∆=∆-+∆-≤-+∆⋅⎣⎦
[]1022
ππ=
-=-
故 ()5f z i =-
10.试证()()1f z z z -在割去线段0Re 1z ≤≤在z 平面上能分出两个单值解析分支，并求出在支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值时的那一支在1z =-的值，以及它的第二阶导数在
1z =-的值 证明：因为()()1f z z z =
-的可能支点为0,1,z =∞，由题知()f z 的支点为0,1z =，于
是在割去线段0Re 1≤≤的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分支，由于当z 从支割线上岸一点出发，连续变动到1z =-时，只z 的幅角共增加
2
π
，由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在1z =-的幅角
为2π，故()()''2
2122i,116
i f e f i π-==-=- 第三章：例3.2，例3.8，例3.10，例3.12，例3.15； 第139~140页：4，5，8，9，10，11，12.
4.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周1z = （1）
cos c dz z ⎰； （2）222c dz
z z ++⎰；
（3）256
z c e dz z z ++⎰； （4）2
cos c z z dz ⎰
解:(1)因为距离原点最近的奇点2z π
=±
，在单位圆1z ≤的外部，所以
1
cos z
在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理得 0cos c dz
z
=⎰ (2)
()2211
2211
z z z =
++++，因奇点1z i =-+在单位圆1z ≤的外部，所以2122z z ++在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理得
2022c dz
z z =++⎰
（3）()()
25623z z
e e z z z z =
++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤的外部,所以 256
z e z z ++在1z ≤上处处解析由柯西积分定理得 2
056z c e dz
z z =++⎰ (4)因为2
cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理得 2cos 0c
z z dz =⎰
5.计算：（1）
()2
22
2i
z dz -+-+⎰
； （2）20
cos 2
i
z dz π+⎰
解:(1)因()()
2
2f z z =+在z 平面上解析，且
()3
23
z +为其一原函数，所以
()
()32
222
2
223
3
i
i
z i
z dz -+-+--++=
=-⎰
(2)设()2z i t π=+，可得
()2111220
0022cos cos 2222i
i t i t t
z i i dz t i dt e e e e dt ππ
ππππ+--⎛⎫++⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰⎰ 1
e e -=+ 8.由积分
2
c
dz
z +⎰
之值证明 0
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+⎰
证明：
11,02
z dz
z z ==∴=+⎰
设,i i z e dz ie d θθθ==⇒ ()()()222
20
0cos sin cos 2sin 02cos 2sin i i i i ie d d e θπ
πθθθθθθθθθ
-+-⎡⎤⎣⎦=
=+++⎰
⎰ ()
20
2sin 12cos 54cos i d π
θθθθ
-++=
+⎰
于是
20
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+⎰
，故012cos 054cos d πθθθ+=+⎰
9.计算():2C z = （1）221
1c z z dz z -+-⎰ （2）()
22211c z z dz z -+-⎰ 解:(1)因为()2
21f z z z =-+在2z ≤上是解析的，且12z z =∈≤，根据柯西公式得
()221
221
22141
z z z z dz i z z i z ππ=≤-+=-+=-⎰
(2)可令()2
21f z z z =-+，则由导数的积分表达式得
()
()2'1
22
21261z z z z dz if z i z ππ==-+==-⎰
10.计算积分：
2
sin
41
j c z
dz z π
-⎰
()1,2,3j = （1）11:12C z +=； （2）21
:12
C z -=； （3）3:2C z =
解:(1)若C 不含1z =±，则
2
sin
401
c
zdz
z π
=-⎰
(2)若C 含1z =但不含有1z =-，则
22
sin
2422122c
zdz
i i z π
ππ=⋅=-⎰
(3)若C 含有1z =-，但不含1z =，则 2sin
2412
c
zdz
i z π
π=-⎰
(4)若C 含有1z =±，则
2sin
11
12224sin 21
2411222c
c zdz
i z dz i z z z π
πππ⎛⎫⎛⎫=-=+= ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰ 11.求积分
():1z
c e dz C z z =⎰
从而证明
()cos 0
cos sin e d π
θθθπ=⎰
证明：()()cos sin 22cos sin 00
cos sin cos sin z i i c e e dz d i e e id z i θθ
ππθθθθθθθ+=+=-+⎰⎰⎰ ()()2cos cos 0
sin sin cos sin e ie d π
θθθθθ=
-+⋅⎰
再利用柯西积分公式 20
z c c e e dz d i z ξ
ξπξ==-⎰⎰
则
()2cos 0
cos sin 2e d π
θθθπ=⎰
，由于()cos e cos sin θθ关于θπ=对称，因此
()cos 0
cos sin e d π
θθθπ=⎰
12.设C 表圆周2
2
3x y +=，()2371
c f z
d z
ζζζζ++=-⎰，求()'1f i +
解:令()2
371ϕζζζ=++，则
()()()()2
22371c f z d i z i z z z
ϕζζπϕπζ===⋅++-⎰ 则 ()()'
267f
z i z π=+
因此 ()()()'
126672613f i i i i ππ+=++=-+
第四章：例4.9~4.14；第175页：5（4），（5）；7.
5.将下列函数展成z 的幂级数，并指出展式成立的范围： （4）2
sin z ； （5）
()
2
1
1z -
(4)()()
()()()()()221
2
221cos 2111sin 112222!
22!
n
n
n
n n n z z z z z
n n +∞∞
==-=
=--=-<+∞∑∑
(5)因为()()()
()()2
1,01!n f z z f n -=-=+
从而 ()()()0
1,1n
n f z n z z ∞
==
+<∑
7.将下列函数按1z -的幂展开，并指明其收敛范围： （1）sin z ； （2）
1
1
z z -+ （3）
225
z z z -+ （4）
3
31312i z ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
解:(1) ()()()sin sin 11sin 1cos1cos 1sin1z z z z =-+=-+-⎡⎤⎣⎦ ()
()()
()(
)()21
2
011cos1
1sin 121!2!n
n
n n n z z n n ∞
∞
+==--=-+-+∑∑
()0
1sin 11,1!2k k k z z k π∞
=⎛⎫
=
+--<+∞ ⎪⎝⎭∑ (2) 111
1
1212
z z z z --=⋅
-++，再由公式()0111n
n n z z ∞
==-+∑ ()1z < (3) ()221
1
11254112z z z z z =-+⎡⎤⎣
⎦-+-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，结合()22
01
11n
n n z z ∞
==-+∑ ()1z < (4)由于3z 的支点为0,∞，沿负实轴(),0-∞割开平面,则指定分支就在11z -<内单值解析，()1
3
3
3111z z =+-⎡⎤⎣⎦
，再利用二项式展开。