中考必会几何模型：赵爽弦图模型

赵爽弦图模型
模型讲解
【结论1】如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，H，G，F，使得BE=CH=GD=AF，则四边形EHGF是正方形.
【证明】∵在正方形中，BE=CH=GD=FA，
∴AE=BH=CG=FD,
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△BHE≌Rt△CGH≌Rt△DFG,
∴EF=HE=GH=FG,∠AFE=∠BEH.
∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AEF+∠BEH=90°,
∴∠FEH=90°,
∴四边形EHGF是正方形.
【结论2】如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，H，G，F，使得BE=CH=GD=AF，此外EQ//BC，HP//CD，GO//DA，
FR//AB，则四边形ORQP是正方形.
【证明】∵EQ//BC，HP//CD，GO//AD，FR//AB，
且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴四边形AFRE、四边形EBHQ、四边形HCGP、
四边形FOGD均为长方形，
∴△AEF≌△RFE≌△BHE≌△QEH≌△CGH≌△PHG≌△DFG≌△OGF, ∴FR=EQ=HP=GO,ER=HQ=GP=FO,
∴OR=RQ=QP=PO，且∠POR=180°-∠FOG=90°，
∴四边形ORQP为正方形.
【结论3】如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，H，G，F，使得BE=CH=GD=AF，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB.
则(1)S正方形ABCD=4S△AEF+S正方形EHGF
(2)S正方形EHGF=4S△FRE+S正方形ORQP
(3)S正方形ABCD - S△EHGF=S正方形EHGF - S正方形ORQP
典型例题
典例1
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长
为（）.
A.9
B.6
C.4
D.3
典例2
如图，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四
边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于( ).
A.8
B.6
C.4
D.5
典例3
如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角
边为a，较短直角边为b，则ab的值是( ).
A.4
B.6
C.8
D. 10
初露锋芒
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和7，则大正方形和小正方形的面积差是（）.
A.9
B. 36
C. 42
D. 34
感受中考
1.(2020湖南娄底中考真题)由4个直角边长分别为a，b的直角三角
形围成的“赵爽弦图”如图所示.
根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a−b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论：若a>0，b>0且a2+b2为定值，则当a____b时，ab取得最大值.
参考答案
典型例题
典例1
【答案】D
【解析】设小正方形的边长为x(x>0)，
ab,
因为S大正方形 =S小正方形+4S直角三角形， S直角三角形=1
2
所以25=2×8+x2，所以x=3.
故选D.
典例2
【答案】B
【解析】∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形的面积和为100-4=96.
设AE=a，DE=b，
ab=96，
则4×1
2
又a2+b2=100，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196 6，
∴a+b=14，
又a−b= 2，
∴a=8，b=6，∴AH=DE=6.
故选B.
典例3
【答案】B
ab×4=【解析】由模型结论可得四个直角三角形的面积是1
2
17−5=12，即ab=6.
故选B.
初露锋芒
1.【答案】C
【解析】∵(a+b)2=21,
∴a2+2ab+b2=21.
∵大正方形的面积为13，
∴a2+b2=13，
∴2ab=21-13=8，
∴小正方形的面积为13-8=5.
故选C.
2.【答案】C
【解析】由题意得小正方形的面积为(7- 3)2=16，大正方形的面积为32+72=58，
所以大正方形和小正方形的面积之差为58-16=42. 故选C.
感受中考
1.【答案】=
【解析】设a2+b2为定值k，
则c2=a2+b2=k,
由“赵爽弦图”可知，
2ab=c2−(a−b)2=k−(a−b)2,
即ab=k−(a−b)2
2
要使ab的值最大，
则需(a−b)2最小.
∵(a−b)2>0，
∴当a=b时，(a - b)2取得最小值，故当a=b时，ab取得最大值.。