1.3.1函数的单调性与导数

= cos x − x sin x − cos x = − x sin x y y = sin x
o
π
2π
3π
x
sin 如图,当x ∈ (π ,2π )时， x < 0,∴− x sin x > 0,
即：y ' > 0
∴该函数在(π ,2π )上为增函数。
已知导函数的下列信息： 已知导函数的下列信息：
o x
2
的单调性。 的单调性。
y
y = x2
的图象, 的函数 h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t +10 的图象 图(2)表示高台跳水运 表示高台跳水运
观 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 下图 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化 察:
的图象. 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) = −9.8t + 6.5的图象 运动员从起跳到最高点, 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间 v 的运动状态有什么区别? 的运动状态有什么区别 h ①运动员从起跳到 (1) (2) 最高点, 最高点,离水面的高度h t
(04年全国理 年全国理) 年全国理
函数y = x cos x − sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) π 3π 3π 5π A. ( , ) B. (π ,2π ) C. ( , ) D. (2π ,3π ) 2 2 2 2
解： y ' = x 'cos x + x(cos x)'− (sin x)'
1.3 导数在研究函数中的应用
判断函数单调性有哪些方法？ 判断函数单调性有哪些方法？
定义法 图象法
y = x3 − 3x ?
比如： 比如：判断函数 y = x 如图： 如图： 上为____函数 函数， 函数在( −∞ , 0) 上为 减 函数， 上为____函数 函数。 在[ 0 , + ∞ )上为 增 函数。
2 ∵ y ' = 2x − 3 3ex − 3x 的单调性 并求单调区间。 y= 3 的单调性,并求单调区间 并求单调区间。 变3：∵ 3x 解 ：判断函数 − 3 2 x 3 > 0得 x > 令 ' ' 0 3x ∵ y' =2 e − ⇒ 解: 令yy >= 得x − > 13 x > 1或x < −1
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 总结 当遇到三次或三次以上的 或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ 试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求f '( x ) ② 令 f '( x ) > 0， 解 不 等 式 ⇒ f ( x )的 增 区 间 令 f '( x ) < 0， 解 不 等 式 ⇒ f ( x )的 减 区 间 ③下结论
解： ∵ y ' = 1 > 0
令 y 'x<−0 得 e 3 ,< 1)上为增函数 < 0 ∴ y = 2 3x在( +∞ = e ⇒ x x 2 (3 +∞ )上 单 函递 在− ∴ y = 3e − 3 x在(0,1,1)上为减调数 增 在(−∞, )上为减函数 2 在( −∞ , 0)上 单 调 递 减
2
( A)增函数 (C)常数
(B)减函数 ( D)既不是增函数也不是减函数
2
解： f '( x) = 3x + 2ax + b
y
y = f '( x)
∆ = 4a − 4 ⋅ 3b = 4(a − 3b) < 0
2 2
∴ f '( x) > 0恒成立。
∴ f ( x)在R上为增函数。
o x
课堂练习
a的取值范围为( 的取值范围为( (A)a>0 (C)a>1
A
)
3 3 (− , ) 3 3
(B)– (B)–1<a<1 (D) 0<a<1
x∈(f(x)=2 12x+ x+1 3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (A)单调递增函数 (C)部份单调增 部份单调增， (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
1°函数单调性与导函数的关系： °函数单调性与导函数的关系：
在 某 个 区 间 ( a , b )内 ， f '( x ) > 0 ⇒ 函 数 f ( x ) 在 ( a , b )单 调 递 增 f '( x ) < 0 ⇒ 函 数 f ( x ) 在 ( a , b )单 调 递 减
2°用“导数法”求函数的单调性及单调区间。 ° 导数法”求函数的单调性及单调区间。 步骤： 步骤：
2 0 3 令 yy'''< 02 得−e3<> 01 = xe1 < x < 1 0 得 x 2 x <1 ⇒ − < ⇒ x > y > 0x 令 = 得 x (−∞ 0 2 ∴该函数在(1, +∞)， , −1)上为增函数
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 什么情况下， 导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？ 单调区间较简便？
o y
y = f ( x)
x
在(a, b)上递增
o a y o a
b x
y = f ( x)
在(a, b)上递减
b x
k<0
f '( x ) < 0
在某个区间(a , b)内,
f '( x ) > 0 ⇒ f ( x )在( a , b )内 单 调 递 增 f '( x ) < 0 ⇒ f ( x )在( a , b )内 单 调 递 减
的大致形状如右图： 解： f ( x) 的大致形状如右图：
y = f ( x)
B o 2 3 x
这里，称A,B两点为“临界点” A,B两
(04浙江理工类 浙江理工类) 浙江理工类 y 的导函数， 设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数， = f '( x)的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( 右图所示 则 y = f ( x) 的图象最有可能的是 C )
①求f '( x ) ② 令 f '( x ) > 0， 解 不 等 式 ⇒ f ( x )的 增 区 间
令 f '( x ) < 0， 解 不 等 式 ⇒ f ( x )的 减 区 间 ③下结论
函数f ( x) = x3 + ax2 + bx + c, 其中a, b, c为常数， 当a − 3b < 0时，f ( x)在R上( A )
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 这时, 函数的图象就比较“陡峭” 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下) 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y = f (x) 如图, 在 (0, b)或 (a,0)内的图 陡峭” (b 象“陡峭”,在 ,+∞) 或 , a) (−∞ 内的图象平缓. 内的图象平缓.
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A ) 函数f(x)=x x+1的减区间为( (A)( (A)(-1,1) (B)(1,2) (B)(1,2) (-∞,(C) (-∞,-1) (-∞,(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
3 函数y=a(x x)的减区间为 2、函数y=a(x3-x)的减区间为3 ) (− , 3 3
y y
y = f ( x)
1 2 x o
y
y = f ( x)
1 2 x o
y = f '( x)
2 x
o
(A)
y
(B)
y
y = f ( x)
2 1 x o
y = f ( x)
1 2 x
o
(C)
(D)
如图, 水以常速( 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积 相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出 与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. 与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
(A)
t
O
t (B)
O
t (C)
O
t (D)
思考:例 表明 通过函数图象， 表明， 思考 例3表明，通过函数图象，不仅可以看出函 数的增与减，还可以看出其增减的快慢.结合图象 结合图象， 数的增与减，还可以看出其增减的快慢 结合图象， 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗？ 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗？
思考:这种情况是否有一般性呢？ 思考 这种情况是否有一般性呢？ 这种情况是否有一般性呢
动态 演示 函数及图象
y
f ( x) = x2
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
在(−∞,0)上递减
在(0, +∞)上递增
k<0 k>0
k>0
f '( x ) < 0
f '( x ) > 0 f '( x ) > 0
分析：
⇒ f ( x )在 此 区 间 递 减
当2 < x < 3时，f '( x ) < 0;
当x > 3或x < 2时，f '( x ) > 0; ⇒ f ( x )在 此 区 间 递 增 当x = 3或x = 2时，f '( x ) = 0. ⇒ f ( x )图 象 在 此 两 处
附近几乎没有升降 变 化 ,切 线 平 行 x轴 图象的大致形状。 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。 y A
O a b 的增加而增加, 随时间t 的增加而增加, h(t)是增函数 是增函数. 即h(t)是增函数.相应 t 地,v(t ) = h′(t ) > 0. O a b 从最高点到入水,运动员离水面的高度 随时间t ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少, 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) = h′(t ) < 0. ( )是减函数.相应地,
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o
a
b
x
o a间内恒有 f ′( x) = 0 ,则 f ( x) 则 为常数
的单调性，并求单调区间。 判断函数 y = x − 3 的单调性，并求单调区间。
∴ y = x − 3 在(−∞, +∞)上 为增函数。 3 2 − 3x 2 的单调性,并求单调区间 并求单调区间。 变1 ：判断函数 y = x 的单调性 并求单调区间。