人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！
质数，也称素数，指大于1的自然数中，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。

素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。

今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素数定理。

这是目前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。

欧几里德
欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程。

大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道：'素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。

不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。

n^2-n+41，n等于1到40'。

欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：'一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。

'
后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的贡献相当多，数论四大定理之一就有个——欧拉定理，而欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的金钥匙。

欧拉和欧拉乘积式
对素数的研究，欧拉过后，直到高斯才有了进展，大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。

同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。

证我者，得永生！
直到一百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明，他们的证明都是根据黎曼的思路走的，其中运用到了高深的整函数理论，至此，这个猜想正式升级为定理——
素数定理（PNT）。

素数定理
值得一提的，他们两人一个活了96岁，一个活了98岁。

素数定理还有个初等表达式：
素数定理初等表达式
该定理可以推出很多有趣的结论，比如：
N是素数的概率～1/lnN；
第N个素数～NlnN；
这两个推论和PNT互为充要条件。

虽然我们有了PNT，但是PNT给出的绝对误差实在是糟糕透了，比如第10000个素数104729，而PNT给出的是92103，这是数学家不能接受的，我们想要的是准确的素数公式。

直到黎曼在1859年才给出了π(x)的准确表达式：
黎曼关于素数计数函数π(x)的表达式
但是该表达式基于一个猜想为前提，即大名鼎鼎的黎曼猜想，至今乃是数学界待解决的重要猜想。

想了解更多黎曼猜想的趣事，可以阅读我之前的文章呢《若此数学猜想被破解，世界网络将陷入瘫痪！—黎曼猜想》。