上海市浦东区第四教育署2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若OA =2，则四边形CODE 的周长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ） A ．200（1+x ）2＝1000 B ．200+200×2x ＝1000 C ．200+200×3x ＝1000
D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝1000
3．某学校要种植一块面积为200m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于10m ，则草坪的一边长y （单位：m ）随另一边长x （单位：m ）的变化而变化的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的
取值范围是（ ）
A ．x ＜﹣2
B ．﹣2＜x ＜4
C ．x ＞0
D ．x ＞4
5．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（ ） A ．﹣15
B ．﹣5
C ．1
D ．3
6．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为（ ）． A ．
cos 43
m
B ．cos 43m •
C ．sin 43m •
D ．tan 43m •
7．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD 是O 的两条弦，CD AB ⊥，连接OD ，若20CAB ∠=︒，则BOD ∠的度
数是（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°
8．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，BD ，则错误结论为（ ）
A ．OF =CF
B ．AF =BF
C ．A
D BD =
D ．∠DBC =90°
9．若点()1,6A x -，2(,2)B x -，()3,2C x 在反比例函数2
1m y x
+=（m
为常数）的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小
关系是（ ） A ．123x x x <<
B ．321x x x <<
C ．231x x x <<
D ．213x x x <<
10．在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（ ） A ．4.5米
B ．8米
C ．5米
D ．5.5米
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有_____家公司参加了这次会议．
12．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．
13．如图，河堤横断面迎水坡BC 的坡比是1:3，堤高5AC cm =，则坡面BC 的长度是__________．
14．将数12500000用科学计数法表示为__________．
15．已知ABC 是一张等腰直角三角形板，90,2C AC BC ∠=︒==，要在这张纸板中剪取正方形(剪法如图1所示)，图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照图1中的剪法，在余下的ADE 和BDF 中，分别剪取两个全等正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S ，(如图2) ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S ，(如图3)；继续操作下去···则第n 次剪取后，n S = ___________．
16．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，CA 、CB 是⊙O 的弦，∠ACB ＝35°，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
17．已知函数(31)5y k x =++（k 为常数），若从33k -中任取k 值，则得到的函数是具有性质“y 随x 增加而减小”的一次函数的概率为___________.
18．如图，直线x=2与反比例函数
2
y
x
=和1
y
x
=-的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB
的面积是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=23，则DE=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
20．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
21．（6分）期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如表信息：
A B C D E 平均分中位数
数学71 72 69 68 70
英语88 82 94 85 76
（1）完成表格中的数据；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
22．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD
AB
＝
3
4
，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，
点E在CB延长线上，且AE＝AC．
（1）求证：△AEB∽△BCO；
（2）当AE∥BD时，求AO的长．
24．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=8，求AF
AC
的值．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
26．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN 于Q，直接写出AQ、AP的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC=2，OB＝OD，
∴OD＝OC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
2、D
【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1．
故选D．
【点睛】
此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.
3、C
【解析】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【详解】∵草坪面积为200m2，
∴x、y存在关系y＝，
∵两边长均不小于10m，
∴x≥10、y≥10，则x≤20，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y的取值范围，即可求得x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
4、B
【详解】当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是：﹣2＜x ＜1． 故选B ． 5、A
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后在根据二次函数的性质和x 的取值范围，即可解答本题． 【详解】∵二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1＝﹣2（x +1）2+3， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，开口向下，
∴当﹣3≤x ≤2时，x ＝2时，该函数取得最小值，此时y ＝﹣15，故选：A ． 【点睛】
本题考查二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式利用配方法化成顶点式，求最值时要注意自变量的取值范围. 6、A
【分析】根据余弦的定义和性质求解即可． 【详解】∵90C ∠=︒，43B ∠=︒，BC m =
∴cos BC
B AB = ∴cos cos 43B
C m
AB B ==︒
故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键． 7、D
【分析】连接AD ，由AB 是⊙O 的直径及CD ⊥AB 可得出弧BC=弧BD ，进而可得出∠BAD=∠BAC ，利用圆周角定理可得出∠BOD 的度数． 【详解】连接AD ，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴弧BC=弧BD ， ∴∠BAD=∠BAC=20°． ∴∠BOD=2∠BAD=40°， 故选：D ．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD 的度数是解题的关键． 8、A
【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于点F ， ∴AF=BF ，AD BD =，∠DBC=90°， ∴B 、C 、D 正确；
∵点F 不一定是OC 的中点， ∴A 错误． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 9、D
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x 1，x 2，x 3的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数21m y x
+=（m 为常数），m 2+1＞0，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵点A （x 1，-6），B （x 2，-2），C （x 3，2）在反比例函数21
m y x
+=（m 为常数）的图象上，∵6202-<-<<，
∴x 2＜x 1＜x 3， 故选：D. 【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 10、A
【解析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得. 【详解】如图，由题意可得：11111111.5,2,6,AC B C AC A B C ABC ===∆~∆
由相似三角形的性质得：11
11AC AC B C BC =，即1.526
AC = 解得： 4.5AC =（米） 故选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分) 11、1
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x 家公司参加，则每个公司要签()1x -份合同，签订合同共有
()1
12
x x -份． 【详解】设共有x 家公司参加了这次会议， 根据题意，得：
1
2
x (x ﹣1)=21， 整理，得： x 2﹣x ﹣56=0，
解得：x 1=1，x 2=﹣7(不合题意，舍去) ， 答：共有1家公司参加了这次会议． 故答案是：1． 【点睛】
考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数．解答中注意舍去不符合题意的解． 12、
35
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球， 任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是35
． 故答案为：35
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m
种结果，那么事件A 的概率()m P A n
=
． 13、10m 【分析】先根据坡比求出AB 的长度，再利用勾股定理即可求出BC 的长度． 【详解】15
AC AC m AB ==
AB ∴=
10BC m ∴===
故答案为：10m ．
【点睛】
本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．
14、71.2510⨯
【分析】根据科学记数法的定义以及应用将数进行表示即可．
【详解】712500000 1.2510=⨯
故答案为：71.2510⨯．
【点睛】
本题考查了科学记数法的定义以及应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键．
15、11
()2n -
【分析】根据题意可求得△ABC 的面积，且可得出每个正方形是剩余三角形面积的一半，即为上一次剪得的正方形面积的一半，可得出n S 与△ABC 的面积之间的关系，可求得答案．
【详解】∵AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，
∵四边形CEDF 为正方形， ∴DE ⊥AC ，
∴AE=DE=DF=BF ，
∴1CEDF 1111222ABC S S CE CF AC BC S =====正方形，
同理每次剪得的正方形的面积都是所在三角形面积的一半，
∴2BDF 1CEDF 11111S 22222
AED S S S S =+===正方形，
同理可得22321111222S S S ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 依此类推可得1111122n n n S S --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 故答案为： 112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了正方形与等腰直角三角形的性质，根据条件找到n S 与1S 之间的关系是解题的关键．注意规律的总结与归纳．
16、79
π 【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】∵∠AOB ＝2∠ACB ＝70°，
∴S 扇形OAB ＝2702360
π⋅＝79π， 故答案为
79π． 【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式，求出扇形的圆心角是解题的关键.
17、49
【分析】根据“y 随x 增加而减小”可知310+<k ，解出k 的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“y 随x 增加而减小”得310+<k ， 解得1
3
k <-， ∴具有性质“y 随x 增加而减小”的一次函数的概率为()()1343339
-----= 故答案为：
49． 【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
18、32
．
【详解】解：∵把x=1分别代入
2
y
x
=、1
y
x
=-，得y=1、y=
1
2
-，
∴A（1，1），B（1，
1
x
-）．∴
13
AB1
22
⎛⎫
=--=
⎪
⎝⎭
．
∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线BC的距离为1．
∴△PAB的面积
1133
AB22 2222 =⨯=⨯⨯=．
故答案为：3
2
．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）①3；②1.
【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=1°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴，
∴，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=1
2
BC=3，
故答案为3；
②当∠B=1°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=1°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=1°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得CD AD
=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
【详解】（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD AD
=，∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=1
2
AB，
∵OD=1
2 AB，
∴BC=OD．
21、（1）70，70，85，85；（2）数学．
【分析】（1）由平均数、中位数的定义进行计算即可；
（2）代入公式：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差计算，再比较即可．
【详解】（1）数学平均分是：1
5
×（71+72+69+68+70）＝70分，
中位数为：70分；
英语平均分是：1
5
×（88+82+94+85+76）＝85分，
中位数为：85分；
故答案为：70，70，85，85；
（2）数学成绩的方差为：1
5
[（71﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（68﹣70）2+（70﹣70）2]＝2；
英语成绩的方差为：1
5
[（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]＝36；
A同学数学标准分为：7170
2
-
＝
1
2
，
A同学英语标准分为：8885
36
-
＝
1
12
，
因为11 212 >，
所以A同学在本次考试中，数学学科考得更好．
【点睛】
本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意，得到OE OD
OD OB
=，然后由AD∥BC，得到OA OD
OC OB
=，则
OA OE
OC OD
=，即可得到AF//CD，即可
得到结论；
（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到AE AD
BE DC
=，即可得到△ABE∽△ADC.
【详解】证明：（1）∵OD 2 =OE ·
OB ， ∴OE OD OD OB
=． ∵AD//BC ， ∴
OA OD OC OB =． ∴OA OE OC OD
=． ∴ AF//CD ．
∴四边形AFCD 是平行四边形．
（2）∵AF//CD ，
∴∠AED=∠BDC ，
BE BF BD BC
=． ∵BC=BD ，
∴BE=BF ，∠BDC=∠BCD
∴∠AED=∠BCD ．
∵∠AEB=180°-∠AED ，∠ADC=180°-∠BCD ， ∴∠AEB=∠ADC ．
∵AE·AF=AD·BF ， ∴AE AD BF AF
=． ∵四边形AFCD 是平行四边形，
∴AF=CD ． ∴AE AD BE DC
=． ∴△ABE ∽△ADC ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.
23、（1）见解析；（2）12532
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到E ACE ∠=∠，等量代换得到E ABD ∠=∠，根据三角形的内角和和平角的性质得到EAB OBC ∠=∠，于是得到结论；
（2）过A 作AF BC ⊥与F ，过O 作OE BC ⊥与E ，根据平行线的性质得到E DBC ∠=∠，EAB ABD ∠=∠，推出OB OC =，求得6AF =，8=CF ，得到216EC CF ==，根据相似三角形的性质得到25BE 4
=，于是得到
25391644BC EC BE =-=-
=，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：（1）
AE AC =，
E ACE ∴∠=∠，
ABD ACB ∠=∠， E ABD ∴∠=∠，
180EAB E ABE ∴∠=︒-∠-∠，180OBC ABE ABD ∠=︒-∠-∠，
EAB OBC ∴∠=∠，
在△AEB 和△BCO 中，
E BCO EAB CBO ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， AEB BCO ∴∆∆∽；
（2）过A 作AF BC ⊥于F ，过O 作OG BC ⊥于G ，
//AE BD ，
E DBC ∴∠=∠，
EAB ABD ∠=∠，
ABD ACB ∠=∠，
EAB ACE ∴∠=∠，
OBC EAB ∠=∠，
OBC OCB ∴∠=∠，
OB OC ∴=，
3tan tan 4
AD AF ABD ACB AB CF ∠=∠=
==， 10AC =， 6AF ∴=，8=CF ，
AE AC =，
216EC CF ∴==，
EAB ACE ∠=∠，E E ∠=∠，
AEB CEA ∴∆∆∽， ∴
AE BE CE AE =， ∴101610
BE =，
254BE ∴=， 25391644BC EC BE ∴=-=-
=， 13928
CG BC ∴==， AF BC ⊥，OG BC ⊥，
//OG AF ∴，
∴AO AC GF FC
=， ∴1039888
AO =-， 12532
AO ∴=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）95
【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE ，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA ，根据平行线的判定定理证明即可；
（3）证明△AFD ∽△CFE ，根据相似三角形的性质定理列出比例式，解答即可．
【详解】（1）∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC=∠CAB ，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC ∽△ACB ，
∴AD ：AC=AC ：AB ，
∴AC 2=AB•AD ；
（2）∵E 为AB 的中点，且∠ACB=90°，
∴CE=BE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=1
2
AB=
1
84
2
⨯=，
∵5
AD=，
∴
5
4 AF
CF
=，
∴
9
5 AC
AF
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）50 13
．
【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD＝x，CD，BD，BO用x 表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,
AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.
试题解析：
（1）证明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，
∴∠ACB＝∠DOB＝90°,
又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．
（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DO＝DC,
在Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,
∵△DOB∽△ACB,
∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,
设BD＝x，则DO＝DC＝3
5
x，BO＝
4
5
x,
∵CD ＋BD ＝8，∴35x ＋x ＝8，解得x ＝,1，即：BD ＝1． （3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，
BO ＝B′O ＝45
x ，BD ＝B′D ＝x , ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，
∴x ＋
45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013
， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.
②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆. ③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；
如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.
(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（1），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.
(1)
26、（1）BM+DN ＝MN ；（2）（1）中的结论不成立，DN ﹣BM ＝MN ．理由见解析；（3）AP ＝AM+PM ＝10．
【分析】（1）在MB 的延长线上，截取BE=DN ，连接AE ，则可证明△ABE ≌△ADN ，得到AE=AN ，进一步证明△AEM ≌△ANM ，得出ME=MN ，得出BM+DN=MN ；
（2）在DC 上截取DF=BM ，连接AF ，可先证明△ABM ≌△ADF ，得出AM=AF ，进一步证明△MAN ≌△FAN ，可得到MN=NF ，从而可得到DN-BM=MN ；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN ＝22+AD DN ＝22612+＝65 ，
由平行线得出△ABQ ∽△NDQ ，得出BQ DQ ＝AQ NQ ＝AB DN ＝612＝12，∴AQ AN ＝13
，求出AQ=25 ；由（2）得出DN-BM=MN ．设BM=x ，则MN=12-x ，CM=6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM ＝
22AB BM +＝，由平行线得出△PBM ∽△PDA ，得出
PM PA ＝BM DA ＝13
，，求出PM= PM ＝12AM ＝10， 得出AP ＝AM+PM ＝310.
【详解】（1）BM+DN ＝MN ，理由如下：
如图1，在MB 的延长线上，截取BE ＝DN ，连接AE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，
∴∠ABE ＝90°＝∠D ，
在△ABE 和△ADN 中，AB AD ABE D BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADN （SAS ），
∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，
∴∠EAN ＝∠BAD ＝90°，
∵∠MAN ＝45°，
∴∠EAM ＝45°＝∠NAM ，
在△AEM和△ANM中，
AE AN
EAM NAI AI All
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
AB AD
ABM D BM DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABM≌△AD F（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BA D＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，
AM AF
MAN FAN AN AN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴BQ
DQ
＝
AQ
NQ
＝
AB
DN
＝
6
12
＝
1
2
，
∴AQ
AN
＝
1
3
，
∴AQ＝1
2
AN＝；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴PM
PA
＝
BM
DA
＝
2
6
＝
1
3
，
∴PM＝1
2
AM，
∴AP＝AM+PM＝．
【点睛】
本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．。