2022版优化方案高考数学(江苏专用理科)二轮复习解答题分层综合练(三)

解答题分层综合练(三) 中档解答题规范练(3) (建议用时：60分钟)
1．(2021·长沙模拟)在△ABC 中，已知A ＝45°，cos B ＝4
5
.
(1)求cos C 的值；
(2)若BC ＝10，D 为AB 的中点，求CD 的长．
2．(2021·苏州期末)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2的周期为π，且图象上有
一个最低点为M ⎝⎛⎭
⎫2π
3，－3.
(1) 求f (x )的解析式；
(2) 求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4的最大值及对应x 的值．
3.(2021·江苏信息卷) 在四周体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD 且E ，F 分别是AB ，BD 的中点．
求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .
4.(2021·南通二模)在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD, PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．
求证：(1)CE ∥平面P AD ； (2)平面PBC ⊥平面P AB .
5.(2021·泰州模拟)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ，这种薄板须沿其对角线对叠后使用．如图所示，四边形ABCD (AB ＞AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB ′PD 的面积最大时制冷效果最好．
(1) 设AB ＝x ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
6．(2021·盐城调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，且过点(1，e )(e 为椭圆的离心率)；
过A 作两条相互垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线MN 恒过x 轴上的一个定点． 答案
解答题分层综合练(三) 中档解答题规范练(3)
1．解：(1)由于cos B ＝4
5，且B ∈(0°，180°)，
所以sin B ＝1－cos 2B ＝3
5
.
cos C ＝cos (180°－A －B)＝cos (135°－B) ＝cos 135°cos B ＋sin 135°sin B
＝－22·45＋22·35＝－210
.
(2)由(1)可得sin C ＝
1－cos 2C ＝
1－⎝⎛⎭⎫－2
102
＝710
2. 由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，即1022＝AB
7
10
2
，
解得AB ＝14.在△BCD 中，BD ＝7，CD 2＝72＋102－2×7×10×4
5
＝37，所以CD ＝37.
2．解： (1) 由2π
ω
＝π，得ω＝2.
由最低点为M ⎝⎛
⎭⎫2π
3，－3得A ＝3. 且2×2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，所以φ＝π6.
所以f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6.
(2) y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4
＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π
6
＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6
＝32sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋5π
12，
所以y max ＝3 2.
此时2x ＋5π12＝2k π＋π2，x ＝k π＋π
24
，k ∈Z .
3．证明：(1)由于 E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，
由于EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD . (2)由于 AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以 EF ⊥BD . 由于CB ＝CD , F 是BD 的中点，所以CF ⊥BD . 又EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面EFC .
由于BD ⊂平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD . 4．证明：(1)法一：取P A 的中点F ，连结EF ，DF .
由于E 是PB 的中点，所以EF ∥ AB ，且EF ＝1
2
AB .
由于AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，EF ＝CD ， 于是四边形DCEF 是平行四边形，
从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD .
法二：取AB 的中点M ，连结EM ，CM . 由于E 是PB 的中点，所以EM ∥ P A .
由于AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM ∥ AD . 由于EM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，
所以EM ∥平面P AD .同理，CM ∥平面P AD . 由于EM ∩CM ＝M ，EM ，CM ⊂平面CEM ，
所以平面CEM ∥平面P AD .而CE ⊄平面P AD ，故CE ∥平面P AD . (2)(接(1)中法一)由于PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF ⊥P A . 由于AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF ⊥AB . 由于CE ∥DF ，所以CE ⊥P A ，CE ⊥AB .
由于P A ，AB ⊂平面P AB ，P A ∩AB ＝A ，所以CE ⊥平面P AB . 由于CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB . 5．解：(1) 由题意AB ＝x ，BC ＝2－x . 由于x ＞2－x ，所以1＜x ＜2. 设DP ＝y ，则PC ＝x －y .
由于△ADP ≌△CB ′P ，所以P A ＝PC ＝x －y .
由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，解得y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ， 1＜x ＜2.
(2) 记△ADP 的面积为S 1，则
S 1＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭
⎫x ＋2
x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．
故当薄板长为 2 m ，宽为(2－2) m 时，节能效果最好． (3) 记凹多边形ACB ′PD 的面积为S 2，则
S 2＝x
2
(2－x )＋⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x ) ＝3－12⎝⎛⎭⎫
x 2＋4x ，1＜x ＜2. 令S ′2＝－12⎝⎛⎭⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x
2
＝0得x ＝3
2. 所以函数S 2在(1，32)上单调递增，在(3
2，2)上单调递减． 所以当x ＝3
2时，S 2取得最大值．
故当薄板长为32 m ，宽为(2－3
2) m 时，制冷效果最好． 6.
解：(1)由于椭圆的左顶点A (－2，0)，所以a ＝2.
将点(1，e )代入x 24＋y 2
b 2＝1，并结合b 2＋
c 2＝4，
可得椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：当直线AM 的斜率为1时，MN 过点为⎝⎛⎭⎫－65，0，猜想定点为⎝⎛⎭⎫－6
5，0. AM ：y ＝k (x ＋2)，AN ：y ＝－1
k
(x ＋2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 2＋4y 2＝4⇒x 2＋4k 2(x ＋2)2＝4. (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，
所以－2x M ＝16k 2－4
1＋4k 2，⎩
⎪⎨⎪⎧x M ＝2－8k 2
1＋4k 2，
y M ＝4k
1＋4k 2
.
所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2
，4k 1＋4k 2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－8k 2＋4
，－4k k 2＋4，
由于P ⎝⎛⎭⎫－65，0，所以k PM ＝4k 1＋4k 22－8k 21＋4k 2
＋65
＝4k 2－8k 2＋65（1＋4k 2）＝20k 16－16k 2＝5k 4－4k
2，
k PN＝
－
4k
k2＋4
2k2－8
k2＋4
＋
6
5
＝
－20k
16k2－16
＝
5k
4－4k2
，
所以k PM＝k PN，
M、P、N三点共线，故MN过定点．。