高中数学人教B版必修4：双基限时练(31份打包)双基限时

双基限时练(十九)
基 础 强 化
1．已知数轴上两点M 、N 的坐标分别是4、－3，则NM →
的坐标为( ) A ．1 B ．－7 C ．7
D ．1
解析 NM →
＝4－(－3)＝7. 答案 C
2．下列命题正确的个数为( )
①若向量a ∥b ，则必存在唯一一个实数λ，使a ＝λb ； ②若a ＝λb ，则a ∥b ； ③向量a 的单位向量为a
|a |
；
④若a ，b 不共线，且m a ＋n b ＝0，则m ＋n ＝0. A ．1 B ．2 C ．3
D ．4 解析 ①中b ＝0，③中a ＝0时均不成立，②④正确． 答案 B
3．已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →
＝3OA →－OB
→2
，则( ) A ．点P 在线段AB 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
解析 ∵2OP →＝3OA →－OB →
， ∴2(OP →－OA →)＝OA →－OB →， ∴2AP →＝BA →，∴AP →＝－12AB →， ∴P 在线段AB 的反向延长线上． 答案 B
4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．A 、C 、D 三点共线
D ．B 、C 、D 三点共线
解析 BD →＝BC →＋CD →＝(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →
. ∴AB →与BD →
共线．
∵AB →与BD →
有一个公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线． 答案 B
5．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2
D ．λ＝0或e 1∥e 2
解析 ∵a ∥b ，∴存在实数μ，使得a ＝μb ， ∴e 1＋λe 2＝2μe 1，∴λe 2＝(2μ－1)e 1. ∵e 1≠0，∴当λ＝0时，则μ＝1
2， 即a ＝1
2b .∴满足a 与b 共线．
当λ≠0时，e 2＝2μ－1
λe 1，∴e 1与e 2共线．
综上分析：若a ∥b ，则λ＝0或e 1∥e 2. 答案 D
6．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△P AB 与△ABC 的面积之比为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则PC →＝2AP →
.
∴A 、P 、C 三点共线，且P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点，∴
S △P AB
S △ABC
＝13.
答案 A
7．若(x ＋y －1)a ＋(x －y ＋3)b ＝0，其中a ，b 为非零向量，且a ，b 不共线，则实数x ，y 的值分别为________．
答案 －1,2
8．已知M 、N 、P 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP →
的坐标为2，MN →
的坐标为8，则点N 的坐标为______．
解析 ∵P 点坐标为5，MP →
的坐标为2， ∴M 点的坐标为3.
∵MN →
的坐标为8，∴N 点坐标为11. 答案 11
能 力 提 升
9．设向量e 1，e 2不共线，若λe 1＋2e 2与2e 1＋3λe 2共线，则实数λ的值
是________．
解析 ∵λe 1＋2e 2与2e 1＋3λe 2共线，∴λe 1＋2e 2＝k (2e 1＋3λe 2)，即(λ－2k )e 1＝(3kλ－2)e 2.又e 1与e 2不共线，∴λ－2k ＝3kλ－2＝0，解得λ＝±23
3.
答案 ±23
3
10．i 、j 是两个不共线的向量，已知AB →＝3i ＋2j ，CB →＝i ＋λj ，CD →
＝－2i ＋j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值．
解析 ∵BD →＝CD →－CB →
＝(－2i ＋j )－(i ＋λj )＝－3i ＋(1－λ)j ， ∵A 、B 、D 三点共线． ∴向量AB →与BD →
共线．
因此存在实数μ，使得AB →＝μBD →
，即3i ＋2j ＝μ[－3i ＋(1－λ)j ] ＝－3μ i ＋μ(1－λ)j ，
∵i 与j 是两不共线向量，⎩⎪⎨⎪⎧ －3μ＝3，μ(1－λ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
μ＝－1，
λ＝3.
故当A 、B 、D 三点共线时，λ＝3.
11．设两个非零向量e 1与e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →
＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)，
(1)求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k 的值，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线． 解析 (1)证明：BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →
， ∴BD →∥AB →.
又∵AB →、BD →
有公共点B ，∴A 、B 、D 共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，
∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝λ1＝kλ.∴k 2＝1，∴k ＝±1. 12．如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1
3BD .求证：M 、N 、C 三点共线．
证明 令AB →＝e 1，AD →
＝e 2，则有 BD →＝BA →＋AD →
＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋1
3e 2，MB →＝12e 1， BC →＝AD →
＝e 2，
∴MC →＝MB →＋BC →＝1
2e 1＋e 2， MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2
＝16e 1＋13e 2＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2e 1＋e 2.
∴MN →＝13MC →.
∴MN →与MC →
共线，且有公共点M . ∴M 、N 、C 三点共线．
品 味 高 考
13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →
＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析 ∵MA →＋MB →＋MC →
＝0，∴M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝3AM →
，∴m ＝3. 答案 B。