高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件

L [sit]n dtarc t t an arc stan
t s t2 1
s2
或
L [stit]n s t2 d 1 令 tt u 11 s 0 1 d u 2u 0 1 s1 d u 2u aru c0 1 s ta arnc 1 st
第三节 拉氏逆变换的运算
❖ 重点：拉氏逆变换的求法 ❖难点：拉氏逆变换的求法
5. 积分性质: L[f(t)]F(s) ,( s 0 ) ，且 f ( t ) 连续，则
L[1f(x)dx]L[f(t)]F(s)
0
s
s
性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数
的拉氏变换除以参数 s .
性质5可以推广到有限次积分的情形：
n次
t t
L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]Fs(ns)
(s1)2 3
(s1)2 3
24
24
f(t)e2 t co3 st3e2 t sin 3t
2
2
例2
求
F(s)s2
s3 3ss
的拉氏逆变换。
解： 先将F (s) 分解为两个简单分式之和，
s 3 s 3 AB s2 3 ss (s 1 )s( 2 ) s 1s 2
其中AB为待定的常数，上式两边同乘以(s1)s(2)，得
1 s
1 ss
e as
1 s
n!
(s ) n1
13
et sin t
14
et cost
15
tet sint
16
tet cost
17
sht
(s )2 2
s (s )2 2
2(s ) [(s )2 2 ]2
(s )2 2 [(s )2 2 ]2
s2 2
18
cht
19
( n0,1,2, )
F (s)
f (t)
(t)
1
tn n
sint
cost
tsint
F(s) estf(t)dt 0
1
1 s
n! s n1
s2 2
s s2 2
2s (s2 2 )2
7
t cost
8
1
t
9
2t
10
(t a)
11
e t
12
t net （ n 为正整数）
s2 2 (s2 2 )2
( 0)
例4 求狄拉克函数 (t a) 的拉氏变换。
解：由 L[(t)]1及 L[f(t)]esF(s)可得：
L [(t a )] e a sL [(t)] e a s
同理可得： eas
L[I(t a)] s
L[sin(t a)]1eass2
4． 微分性质：若 L[f(t)]F(s) ，且 f ( t ) 及直至 f ( n ) ( t ) 的拉氏变换都存在，则
s2 s1
解： （1） 由性质及表（序号11），得：
f(t)L 1 [ 5]5 L 1 [ 1]5 e 2t s2 s2
（2） 由性质及表（序号2，3），得：
f(t) L 1 [2 s 5 ] 2 L 1 [1 ] 5 L 1 [1 ] 2 5 t
s 2
s
s 2
（3） 由性质及表（序号4，5），得：
(t)dt
1
0 dt
1
所以，我们规定
(t)dt 1
有些工程书上将 函数用一个长度等于1的有向线段来 表示（如图），这个线段的长度表示 函数的积分，称为 函数的强度。
根据拉氏变换的定义，可以得到 ( t ) 的拉氏变换
L[(t)] 1
第二节 拉氏变换的性质
❖ 重点：拉氏变换的性质 ❖难点：拉氏变换的性质
A B 0
C
B
3
A C 1
解方程组，得 A2 , B2, C1
所以
2 2s1 F(s)
s1 s21
f(t) L 1 [F (s) ]L 1 [2] L 1 [ 2 s 1 ] s 1 s2 1
2et 2cot ssitn
第四节 拉氏变换的应用
重点：１.用拉氏变换解微分方程 ２.传递函数
(3)
L1[F(s)] t f(x)dx
s
0
(4) L1[F(s)]f(t)
(5) L 1[F (n)(s) ]( 1 )ntnf(t)
例1 求下列各像函数的拉氏逆变换 f (t)
(1) F(s) 5
s2
(3)
F(s) 4s3 s2 4
(2) F(s) 2s5
s2
(4) F(s) s2
1.线性性质：若 L[f1(t)]F1(s) , L[f2(t)]F2(s), 则对于任意常数C 1 和C 2 有 L [ C 1 f 1 ( t ) C 2 f 2 ( t ) ] C 1 L [ f 1 ( t ) ] C 2 L [ f 2 ( t ) ] C1F1(s)C2F2(s)
s
一般情况下为复数，
但我们只讨论 s是实数的情况。
3. 函数 f (t) 的拉氏变换 F (s) ，当且仅当积分
F(s) estf(t)dt 时才存在，但一般说来，科技、 0
生产中常用函数的拉氏变换总是存在的。
例1:
求函数
f
(t)
0 1
t0
t 0 的拉氏变换。
解：由公式 F(s)L [f(t) ] estf(t)dt，得函数 f (t) 0
1. 单位阶梯函数I ( t )
单位阶梯函数
I (t)
0 1
t t
由例1知，它的拉氏变换L
0 0
[I
的图像如下页左图所示， (t )] 1 ，将 I ( t ) 的图像向右
s
平移 a
个单位，即得
I(t a) 10
t a t a
设a b ，则
I(ta)I(tb) 1 0
ta或 tb atb
其图像如下页右图所示。
2
2
11 s
s22
2(ss22)s(s24)
2. 平移性质：若L[f(t)]F(s) ，则 L[f(t)et]F(s)
例3：求函数t e t 和et sint 的拉氏变换.
解：由平移性质及L [t ]
1 s2
及
L[sint]s2
2
可得:
L[tet
]
(s
1
)2
L[etsint](s )22
3. 延滞性质：若L[f(t)]F(s) ，则 L[f(t)]esF(s)
L [f(t)] sF (s)f(0 ),
一般有
L [ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) [ s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) ]
特别的，如果 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
则 L[f(n)(t)]snF(s)
解：设
3s1 AB sC（因分母有一个因式
(s1)s(21) s1 s21
s2
1
为二次式，所以它的分式要写成一次式形式），由上式得
3 s 1 A ( s 2 1 ) ( B C ) s s 1 ( ) ( A B ) s 2 ( C B ) s ( A C )
比较两边的系数，得
例1：求双曲正弦函数s h t 的拉氏变换。
解： L [s ht] L [1 e t 1 e t] 1 { L [e t] L [e t]} 22 2 1 2(s 1s 1)s2 2
例2：求函数 c o s 2 t 的拉氏变换。
解： 由于cos2t 1(1cos2t) ，所以
2
L [c o s2t] L [1 (1 c o s2 t)] 1 { L [1 ] L [2 t]}
e st
0
f
(t)dt
对于
s在某一范围内的值收敛，则此积分就确定了一
个参数
s的函数，记为 F (s)
，即 F(s) estf(t)dt，函数 F (s) 0
称为 f (t) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。
拉氏变换通常用符号 L表示，即
F(s)L [f(t) ] estf(t)dt 0
若 F (s) 是 f (t) 的拉氏变换，则称 F (s) 是 f (t) 的像 函数，拉氏变换是可逆的积分变换，称 f (t) 是 F (s) 的像
( n1,2, )
例5 证明:
L[tn ]
n! s n1
证明： 设 f (t ) t n ，注意到 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
及 f (n)(t) n! , 由 L[f(n)(t)]snF(s) ，有
L [f(n)(t)]L [n!]snF (s)
而 L[n!]n!L[1]n!
的拉氏变换为
F(s) estdt 1
0
s
所以 ，
L[ f (t)] 1 s
例2： 求函数 f (t) et 的拉氏变换（其中
为实数）。
解：由公式可得：
L [e t] e ste td t e (s )td t1 , s
0
0
s
例3：求函数 f(t)sint 的拉氏变换。
解：当 s 0 时，两次使用分布积分，得
F (s) e stsintd t 1 e std c o st
0
0
1 s e s tc o std t 1 s(s e s ts intd t)
0
0
1
s2
2
F (s)
由此可得
F(s) s2 2
同理可算得余弦函数的拉氏变换
L[cost]s2
s
2
二 两个重要函数
例1 求解 y(t)y(t)1，已知 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0) 1 , y(0)0 解： 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设
YY(s)L[y(t)] L [y(t)y(t) ]L [1 ]
一
拉氏逆变换的定义：若
F(s) estf(t)dt存在，则称 0
F (s) 为 f (t) 的拉氏变换，记为
L[f(t)]F(s)
此时也称 f (t) 为 F (s) 的拉氏逆变换，记为
L1[F(s)]f(t)
2.若L1[F(s)]f(t) ，则
(1) L 1[F (s) ]etf(t)
(2) L 1[esF(s) ]f(t) ( 0)
f( t) L 1 [4 s 3 ] 4 L 1 [ s] 3 L 1 [2] s 2 4 s 2 42 s 2 4
4co2st3sin2t 2
（4） 由性质及表（序号13，14），得：
f(t)L1[
s2
(s1)3 ]L1[ 2 2]
s2 s1
(s1)2 3
24
s1
3
L1[
2 ]L1[ 2 ]
sin(t )
20
cos(t )
21
eat ebt
22 sint t cost
s
s2 2
s sin cos s2 2
s cos sin s2 2
ab (s a)(s b)
2 3 (s2 2 )
例7 查表求 L[ sin t ]
t
解：令 f(t)sint ，则由表中序号4得：
L[sit]n 1 F(s) s212
难点：１.用拉氏变换解微分方程 ２.传递函数
一 解微分方程
用拉氏变换解微分方程 的一般步骤为：
(1)对方程两边分别 求拉氏变换；
微分方程
取拉氏变换
(2)解出未知函数 的拉氏变换；
(3)求出像函数的拉氏 像 原 函 数 (
方程的解 取拉氏逆变换
逆变换，解出未知 函数。
像函数的 代数方程
解代数 方程
像函数
s
即得
n! F (s) s n1
所以，L[t n ]
n! s n1
例6 利用微分性质求 L[cost]
解：由 cost (1sint)
,
L[sint]s2
2
,
故
L [c o s t]L [( 1sin t)] 1L [(sin t)]
sL [s int] 1 s in 0 s
s
s 22 s 22
y
y
1
1
0
x
0a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0
(t)
1
0
t0 0t
t
当 0 时，函数序列 的极限(t)lim(t) 称为 0
狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。
由此可见， ( t ) 是这样一个函数：
(t)
0
t 0 t 0
( t ) 的图形如图所示。
1
0
t
显然，对任何 0 ，有
第九章 拉普拉斯变换
拉普拉斯 变换
拉氏变换的 概念
拉氏变换的 基本性质
拉氏逆变换 的求法
拉氏变换
第一节 拉氏变换的概念
重点： 1. 拉氏变换的定义 2. 简单函数拉氏变换的求法
难点： 拉氏变换的计算
一 拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 的定义域为(,) ,且当t 0 时，f (t) 0，若积分
s 3 A (s 2 ) B (s 1 ) 令 s1，得 A2，又令s2，得 B1。所以
F(s) 2 1 s1 s2
于是，
f( t) L 1 [ F ( s ) ] L 1 [2 ] L 1 [1] 2 e t e 2 t s 1 s 2
例3 求F(s) 3s1 的拉氏逆变换。
(s1)(s2 1)
原函数，或逆变换。
说明：1. 在很多实际问题中，以时间 t 为自变量的函数
f (t)，当 t 0时是无意义或者无需考虑的，故对本章
中出现的任何函数 f (t)，总假定当t 0 时，f (t) 0 ;
且常常将 y f0(t,),
t 0 t 0
简记为
y f (t);
2.
积分F(s) estf(t)dt中的 0