2020学年冀教版数学九年级下册第三十章二次函数 教案冀教版

第三十章 二次函数
30.1 二次函数
学习目标
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点) 2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点) 3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点) 教学过程 一、情境导入
已知长方形窗户的周长为 6 m ，窗户面积为y m 2
，窗户宽为x m ，你能写出y 与x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的概念 【类型一】 二次函数的识别
例1下列函数中是二次函数的有( )
①y ＝x ＋1x ；②y ＝3(x －1)2＋2；③y ＝(x ＋3)2－2x 2
；④y ＝1x
2＋x . A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
解析：①y ＝x ＋1x ，④y ＝1x
2＋x 的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y ＝3(x －1)
2
＋2，符合二次函数的定义；③y ＝(x ＋3)2－2x 2＝－x 2
＋6x ＋9，符合二次函数的定义．故选C.
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
【类型二】 利用二次函数的概念求字母的值
例2当k 为何值时，函数y ＝(k －1)xk 2
＋k ＋1为二次函数？
分析：根据二次函数的概念，可得k 2
＋k ＝2且同时满足k －1≠0即可解答．解：∵函数y ＝(k －1)xk 2
＋k ＋1为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2
＋k ＝2，k －1≠0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1或－2，k ≠1，
∴k ＝－2.
方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x 的指数等于2；二是二次项系数不等于0.
【类型三】 二次函数相关量的计算
例3已知二次函数y ＝－x 2
＋bx ＋3，当x ＝2时，y ＝3.则x ＝1时，y ＝________． 解析：∵二次函数y ＝－x 2
＋bx ＋3，当x ＝2时，y ＝3，∴3＝－22
＋2b ＋3，解得b ＝2. ∴这个二次函数的表达式是y ＝－x 2
＋2x ＋3.将x ＝1代入得y ＝4.故答案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值． 【类型四】 二次函数与一次函数的关系 例4已知函数y ＝(m 2
－m )x 2
＋(m －1)x ＋m ＋1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值； (2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 分析：根据二次函数与一次函数的定义解答．
解：(1)根据一次函数的定义，得m 2
－m ＝0，解得m ＝0或m ＝1.又∵m －1≠0，即m ≠1，∴当m ＝0时，这个函数是一次函数；
(2)根据二次函数的定义，得m 2
－m ≠0，解得m ≠0或m ≠1，∴当m ≠0或m ≠1时，这个函数是二次函数．
方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．
探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式 【类型一】 从几何图形中抽象出二次函数解析式
例5如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y (单位：米2
)与x (单位：米)的函数关系式为多少？
分析：根据已知由AB 边长为x 米可以推出BC ＝1
2(30－x )，然后根据矩形的面积公式即
可求出函数关系式．
解：∵AB 边长为x 米，而菜园ABCD 是矩形菜园，∴BC ＝1
2(30－x )，∴菜园的面积＝AB ×BC
＝ 12(30－x )·x ，则菜园的面积y 与x 的函数关系式为y ＝－12
x 2
＋15x . 方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【类型二】 从生活实际中抽象出二次函数解析式
例6某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出
y 关于x 的函数关系式；
(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
分析：(1)每件的利润为6＋2(x －1)，生产件数为95－5(x －1)，则y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]；(2)由题意可令y ＝1120，求出x 的实际值即可．
解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x 档次，提高的档次是(x －1)档，利润增加了2(x －1)元．∴y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]，即y ＝－10x 2
＋180x ＋400(其中x 是正整数，且1≤x ≤10)；
(2)由题意可得－10x 2
＋180x ＋400＝1120，整理得x 2－18x ＋72＝0，解得x 1＝6，x 2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 三、板书设计
二次函数
1．二次函数的概念
2．从实际问题中抽象出二次函数解析式 教学反思
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
30.2 二次函数的图像和性质
30.2.1二次函数y=ax 2
的图像和性质
学习目标
1．会用描点法画出y ＝ax 2
的图像，理解抛物线的概念． 2．掌握形如y ＝ax 2
的二次函数图像和性质，并会应用． 教学过程 一、情境导入
自由落体公式h ＝12
gt 2
(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像
是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2
的图像 【类型一】图像的识别
例1已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2
的图像有可能是( )
解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2
的图像开口向上，函数y ＝ax 图像经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2
的图像开口向下，函数y ＝ax 图像经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝
ax 2的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.
方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图像的识别
例2已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12
gt 2
(g 为正常数，t 为时间)，则函数图像为( )
解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2
，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h
＝12
gt 2
图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义． 探究点二：二次函数y ＝ax 2
的性质 【类型一】利用图像判断二次函数的增减性
例3作出函数y ＝－x 2
的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：
(1)在y 轴左侧图像上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；
(2)在y 轴右侧图像上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？
分析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法． 解：(1)图像如图所示，由图像可知y 1＞y 2，(2)由图像可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．
方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．
【类型二】二次函数的图像与性质的综合题
例4已知函数y ＝(m ＋3)xm 2
＋3m －2是关于x 的二次函数． (1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．
分析：(1)由二次函数的定义可得⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
＋3m －2＝2，
m ＋3≠0，故可求m 的值．
(2)图像的开口向下，则m ＋3＜0； (3)函数有最小值，则m ＋3＞0；
(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2
＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，
原函数为二次函数．
(2)∵图像开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图像的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值． (4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2
，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2
，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．
方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数
的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
探究点三：确定二次函数y ＝ax 2
的表达式 【类型一】利用图像确定y ＝ax 2的解析式
例5一个二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)的图像经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．
分析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．
解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2
的图像经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2
的图像经过点B 1(－2，
－2)时，－2＝a ×(－2)2
，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12
x 2.
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．
【类型二】二次函数y ＝ax 2
的图像与几何图形的综合应用
例6已知二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；
(2)函数y ＝ax 2
的图像的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标． 分析：直线与函数y ＝ax 2
的图像交点坐标可利用方程求解．
解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2
图像的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和
直线的关系式，∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12
，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2
＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．
【类型三】二次函数y ＝ax 2
的实际应用
例7如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3 m ，跨度AB ＝6 m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长3 m ，宽2 m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
分析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为y ＝ax 2
.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．
解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2
.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32
，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13
x 2
.
(2)当x ＝1时，y ＝－13×12
＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2
的图像与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.
30.2.2 二次函数y=a （x-h ）2
和y=a （x-h ）2
+k 的图像和性质
学习目标 1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2
和y ＝a (x －h )2
＋k 的图像．
2．掌握形如y ＝a (x －h )2
和y ＝a (x －h )2
＋k 二次函数图像的性质，并会应用． 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2
及y ＝a (x －h )2
＋k 与y ＝ax 2
之间的联系． 教学过程 一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图像解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2
的图像和性质 【类型一】y ＝a (x －h )2
的图像与性质的识别
例1已知抛物线y ＝a (x －h )2
(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图像经过点(－4，2)，求a ，h 的值．
解：∵抛物线y ＝a (x －h )2
(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2
·a ＝2，∴a ＝12
.
方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2
的顶点坐标为(h ，0)，对称轴是直线x ＝h . 【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2增减性的判断
例2对于二次函数y ＝9(x －1)2
，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大
B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
C ．当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大
解析：由于a ＝9＞0，抛物线开口向上，而h ＝1，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.
【类型三】确定y ＝a (x －h )2
与y ＝ax 2
的关系
例3能否向左或向右平移函数y ＝－12x 2
的图像，使得到的新的图像过点(－9，－8)？
若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2
，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9
－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2
.即
抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h 个单位后，a 不变，括号内变“减去h ”；若向左平移h 个单位，括号内应“加上h ”，即“左加右减”．
【类型四】y ＝a (x －h )2
的图像与几何图形的综合
例4把函数y ＝12x 2
的图像向右平移4个单位长度后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别
相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．
分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点的坐标，最后求△ABC 的面积．
解：平移后的函数为y ＝12
(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8.∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)．∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝1
2OC
×8－1
2
OC ×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的． 探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2
+k 的图像和性质 【类型一】利用平移确定y ＝a (x －h )2
＋k 的解析式
例5将抛物线y ＝13x 2
向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A ．y ＝13(x －2)2－1
B ．y ＝13(x －2)2
＋1
C ．y ＝13(x ＋2)2＋1
D ．y ＝13
(x ＋2)2
－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2
向下平移1个单位所得抛物
线的解析式为：y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2
－1向右平移
2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13
(x －2)2
－1，故选A.
【类型二】y ＝a (x －h )2
＋k 的图像与几何图形的综合
例6如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与
x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间(C 不与A 、B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________．(用含a 的式子表示)
解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB ＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.
方法总结：二次函数的图像关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x －h) 2＋k图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
30.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
学习目标
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．
3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．
教学过程
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t ＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判
例1如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛
物线的顶点在第四象限，得－b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是
1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、
c＜0，可得abc＞0；由－b
2a
＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a －b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.
方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点
在第一、四象限，－b
2a
＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－
b
2a
＜0，由此得a、
b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．
【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
例2如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C． a＞0
D．－1＜a＜2
解析：抛物线的对称轴为直线x＝－2
2×（－1）
＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.
方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口
向下时，对称轴左升右降．
【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别
例3已知抛物线y ＝ax 2
＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图像如图所示，其中正确的是( )
解析：∵A 图和D 图中直线y ＝ax ＋b 过一、三、四象限，∴a ＞0，b ＜0，∴抛物线y ＝ax 2
＋bx 的开口向上，对称轴x ＝－b
2a
＞0，∴选项A 错，选项D 正确；B 图和C 图中直线
y ＝ax ＋b 过二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x ＝－b
2a
＜0，
∴选项B ，C 错．故选D.
方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数)，再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．
【类型四】抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的平移
例4在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝2x 2
＋4x －3的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图像的顶点坐标是( )
A ．(－3，－6)
B ．(1，－4)
C ．(1，－6)
D ．(－3，－4)
解析：二次函数y ＝2x 2
＋4x －3配方得y ＝2(x 2
＋2x )－3＝2(x 2
＋2x ＋1－1)－3＝2(x ＋1)2
－5，将抛物线y ＝2(x ＋1)2－5向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝2(x ＋1－2)2
－5＝2(x －1)2
－5，再将抛物线y ＝2(x －1)2
－5向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y ＝2(x －1)2
－5－1＝2(x －1)2
－6，此时二次函数图像的顶点为(1，－6)，故选C.
方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ax 2
(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2
＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2
－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2
；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2
；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用
例5如图，已知二次函数y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 的图像经过A (2，0)、B (0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．
解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2
＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12
x 2
＋4x －6.
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－4
2×（－1
2
）
＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝
OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12
×2×6＝6.
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数*
学习目标
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．
教学过程
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为1
2米，你能写出如图所示的平面直角坐标
系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式
例1已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解
这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.
∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2
＋3x －4.
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．
【类型二】用顶点式确定二次函数解析式
例2已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2
＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2
＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2
＋3＝2x 2
＋8x ＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y ＝a (x －h )2
＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴方程为x ＝h ，极值为当x ＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数．
【类型三】根据平移确定二次函数解析式
例3将抛物线y ＝2x 2
－4x ＋1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，求
平移后的函数解析式．
分析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．
解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y＝2x2＋8x＋5.
方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位长度，向上平移n(n>0)个单位长度后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位长度，向下平移n(n>0)个单位长度后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.
【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式
例4已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．
分析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．
解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.
方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k.
【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用
例5科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.
解析：设l与t之间的函数关系式为l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、 (1，46)
分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2
＋50，
∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.
方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.
30.4 二次函数的应用
30.4.1 抛物线形问题
学习目标
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 教学过程 一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点：拱桥、涵洞问题
例1如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2
，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22
，
a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12
x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题． 例2如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面
OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
分析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2
＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M (12， 0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽。