安徽省定远重点中学2017-2018学年高二下学期第一次月

定远重点中学2017-2018学年第二学期第一次月考
高二理科数学试题
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。

第I卷（选择题 60分）
一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）
1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
2.设复数z满足，则=（）
A.﹣2+i
B.﹣2﹣i
C.2+i
D.2﹣i
3.已知，则的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数
图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）
A.ln2
B.1﹣ln2
C.2﹣ln2
D.1+ln2
5.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
6.已知函数
的图象过原点，且在原点处
的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在
内的面
积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数
，则其导函数f′（x ）的图象大致是
（ ）
A. B. C. D.
8.i 是虚数单位，若
=a+bi （a ，b∈R），则lg （a+b ）的值是（ ）
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.
9.已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++≥对[)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一点成立的是（ ）
A ．()()122f ef <
B ．()()12ef f <
C ．()10f <
D ．()()22ef e f <
10.已知复数z 满足()2
11z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）
A.
12 B. C. D. 1
11.如图是函数
的部分图象，则函数
的零
点所在的区间是（ ）
A.
B. C. D.
12.已知函数在
上不存在最值，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C.
D.
第II 卷（选择题90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.观察下列数表： 1 3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29
设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________． 14.若复数()2
201728z a i i =-+⋅（a R ∈）为纯虚数，则a =_______． 15.定积分()1
12sin x x dx -+⎰的值为______．
16.已知函数
下列四个命题：
①f(f（1）)>f （3）； ② x 0∈(1, +∞),f'(x 0)=-1/3； ③f(x)的极大值点为x=1； ④ x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≤1 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号）
三、解答题(共6小题 ,共70分) 17.曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1 ,点P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的
面积．
18.已知函数f （x ）=
+lnx ，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．
（I ）若a=1，求函数f （x ）的单调区间；
（II ）若函数f （x ）在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围． 19.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最
简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.
（Ⅰ）求出()5f ；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.
20.已知函数()32f x ax bx =+的图像经过点(1,4M ），曲线()f x 在点M 处的切线恰好与直线9=0x y +垂直． (1)求实数,a b 的值；
(2)求在函数()f x 图像上任意一点处切线的斜率的取值范围． 21.已知复数12z a i =+， 234z i =-（a R ∈， i 为虚数单位） （1）若12•z z 是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若复数12•z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.
22.已知函数()()2
ln a a
f x x a R x x =-
+∈. （1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）若()f x 在[)1,+∞内为单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）对于n N +∈，求证：
()
()
()
()
()2
2
2
2
1
1
1
1
ln 11121311n n +
+
++
<+++++.
参考答案解析
1.D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
2.C【解析】设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，
∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，
∴z=2﹣i，=2+i，
故选C．
3.C【解析】由已知=，故选C。

4.D【解析】由题意，阴影部分E由两部分组成
因为函数，当y=2时，x= ，所以阴影部分E的面积为 +
=1+ =1+ln2
故选D．
5.D 【解析】∵ ， ∴ ， 又
， ∴ ， 即 ，
∴ ， 故的取值范围为 ， 故选D
6.B 【解析】根据题意函数
的图象过原点，
故可知b=2，且在原点处的切线斜率是-3，则
,可得不等式组
表示的平面区域在内的面积为 ， 选B.
解决的关键是通过已知的函数的性质得到参数a,b 的值，进而得到解析式，然后借助于不等式区域来求解面积，属于中档题。

7.C 【解析】∵f（x ）= x 2sinx+xcosx ， ∴f′（x ）= x 2cosx+cosx ，
∴f′（﹣x ）= （﹣x ）2cos （﹣x ）+cos （﹣x ）= x 2cosx+cosx=f′（x ）， ∴其导函数f′（x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B ， 当x→+∞时，f′（x ）→+∞，故排除D ， 故答案为：C ．
8.C 【解析】∵
=
=
=a+bi ， ∴
，b=﹣ ．
∴lg（a+b ）=lg1=0． 故选：C ．
9.A 【解析】由()()()01≥'++x f x x f x 得()()()10x x x e f x xe f x '++≥，
()0x xe f x '⎡⎤∴≥⎣⎦
．设()()x F x xe f x =，()F x ∴在[)+∞,0上递增,则()()()012F F F <<，()()20122ef e f ∴<<，()()0122f ef ∴<<．对于选项B 和D,若()x x f =（满足()()()01≥'++x f x x f x 对[)+∞∈,0x 恒成立）,则
()()()()22,21f e ef f ef >>,从而选项B 和D 都是错误的,故选A.
10.B 【解析】由z （1﹣i ）2=1+i ，得()
()2
11111
2222
1i i i
i z i i i i +++=
=
==-+---
∴2=.
故选：B ．
11.C 【解析】由函数 的部分图象得 ，即
有 ，从而
，而
在定义域内单调递
增，
，由函数 的部分图象，结合抛物
线的对称轴得到:
，解得 ，
，
函数
的零点所在的区间
是
，故答案为：C.
由图像可知a 、b 的取值范围进而得到 g(x)在定义域内单调递增，代入数值得出 g()<0 , g(1) >0故得到 g(x) 在定义域内单调递增即得函数f(x) 有唯一的一个零点。

12.C 【解析】 ,因为若函数 在
上存在最值，
则
，即
，所以若函数
在
上不存在最值，则
或
，
即实数的取值范围为 ，故选C.
13.508【解析】根据数表的数的排列规律， 1,3,5,...都是连续奇数第一行，有1个数，第二行，有2个数,且第一个数是2
21-；第三行，有3个数，且第一个数是3
21-；第四行，有4个数，且第一个数是42 1...-，第n 行，有n 个数，且第一个数是21n
- ，
1011211023,212047-=-=， 2017∴在第10行，
()20171023+12,498n n =-⨯=， 2017∴是第10行的第498个数，
10498508m n ∴+=+=，故答案为508.
14.2-【解析】由题意可得： ()
()222
448484z a ai i i a a i =-++=-+- ，
该数为纯虚数，则： 240
{840a a -=-≠ ，解得： 2a =- .
15.0【解析】()(
)
()()1
2
1
1
2sin cos |1cos11cos101x x dx x x -+=-=---=-⎰.
16.①②③④ 【解析】
函数
的图形如图所示，对于① ，
，
①正确；对于② ，
时，
，故 ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ，
时，
，故④正确. 故答案为：① ② ③ ④.
17.【解答】设切点坐标为(x
0， y
)
y′＝6x2－6x－2，
则,
切线方程为
则
即
整理得
解得,则切线方程为
解方程组,得或
由与的图像可知
【解析】先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分18.解：（Ⅰ）若a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定义域为（0，+∞）
= （x＞0
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调增区间为（0，1），
函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）. ，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
即在[1，2]
或 恒成立．
或
即 或 在[1，2]恒成立．
即 或
令 ，因函数h （x ）在[1，2]上单调递增．
所以 或 或 ，解得a ＜0或 或a≥1
【解析】（I ）由a=1得f （x ）的解析式，求导，令f′（x ）＞0，令f′（x ）＜0分别得出x 的取值范围，即f （x ）的单调区间；（II ）由函数f （x ）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x ）≥0或f′（x ）≤0，分离出a ，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a 的不等式，求解得a 的取值范围．
19.（I ）()541f =；（II ）()2
221f n n n =-+.
【解析】（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯， ()()32842f f -==⨯， ()()431243f f -==⨯， ()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2
221f n n n =-+.
试题解析： 解：（I ）
()11f =， ()25f =， ()313f =， ()425f =，
∴ ()()21441f f -==⨯， ()()32842f f -==⨯， ()()431243f f -==⨯，
()()541644f f -==⨯
∴ ()5254441f =+⨯=．
（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．
∴ ()()2141f f -=⨯， ()()3242f f -=⨯， ()()4343f f -=⨯， ⋅⋅⋅， ()()()1242f n f n n ---=⋅-， ()()()141f n f n n --=⋅-
∴ ()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦，
∴ ()2221f n n n =-+．
20.（1）1,3a b ==（2）见解析
【解析】第一问根据导数的几何意义，对函数求导，求出切线的斜率，根据两条直线垂直，斜率互为负倒数，列出方程，再结合函数图象过点M ，列出方程组，解方程组求出a,b ，第二问把a,b 的值代入函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，利用配方法求出二次函数的值域，即切线斜率的范围.
试题解析：
(1)因为y′＝f′(x)＝3ax 2＋2bx.
∵f(x)＝ax 3＋bx 2的图象过点M(1,4)，
∴a＋b ＝4.
又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，
∴f′(1)＝9，∴3a＋2b ＝9.
由4{ 329a b a b +=+= 得， 1{ 3
a b == . (2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x
＝3(x ＋1)2
－3≥－3.
21.（1）8=3a -；（2）8|3a a ⎧⎫-<-⎨⎬⎩⎭。

【解析】（1）先运用复数乘法计算12•z z ，再依据虚数的定义建立方程求解；（2）
借助（1）的计算结果，依据题设条件“复数12•z z 在复平面上对应的点在第二象
限”建立不等式组，再结合条件“14z ≤”，求参数a 的取值范围。

解：（1）依据()()()()12=2343846z z a i i a a i ⋅+⋅-=++-+
根据题意12z z ⋅是纯虚数，故3+8=0a ， 且()460a -+≠ ， 故8=3
a -；
（2）依221441612z a a a ≤⇒+≤⇒≤⇒-≤
根据题意12z z ⋅在复平面上对应的点在第二象限，可得
3808{ 4603
a a a +<<--+>即 综上，实数的取值范围为
8|3a a ⎧⎫-<-⎨⎬⎩
⎭
22.（1）极小值为()()10f x f ==，无极大值.（2）[]8,1a ∈-（3）见解析
【解析】（1）将1a =代入，对函数求导，由单调性可判断函数的极值；（2）将函数 ()f x 在[)1,+∞内为单调增函数，则()'0f x ≥在[)1,+∞上恒成立，进一步转化为一元二次不等式恒成立问题，可求a 的取值范围；（3）由函数单调性，当1a =时， ()()10f x f >=，即211ln x x x >-．令1n x n
+=，变形后可证不等式． 试题解析：（1）()222
12(0)a x ax a f x x x x x +-'=+=>， （1）若1a =， ()222x x f x x
+-'=，令()0f x '=得1x =或2x =-（舍去）， 令()()01,001f x x f x x ''>⇒><⇒<<，所以函数的极小值为()()10f x f ==，无极大值.
（2）()f x 在[)1,+∞上单调递增， ()2220x ax a f x x
'+-=≥在[)1,+∞上恒成立， 即220x ax a +-≥在[)1,+∞上恒成立，
令()22g x x ax a =+-，
当12a -
≤时，即2a ≥-时， ()101g a ≥⇒≤，所以21a -≤≤， 当12a ->时，即2a <-时， 0802a g a ⎛⎫-≥⇒-≤≤ ⎪⎝⎭
，所以82a -≤<-， 综上[]8,1a ∈-.
（3）当1a =时，由（2）知， ()f x 在[)1,+∞上单调递增， 即1x >时， ()()10f x f >=，即211ln x x x
>-， 所以()
1n x n N n ++=∈，因为11n n +>，所以()()2221ln 111n n n n n n n n +>-=+++， 所以()()21231ln ln ln ln 1121n i i n n n
i =+<+++=++∑
.。