高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2

设点 P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面) 点 P 的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy 平面
(a，b，－c)
yOz 平面
(－a，b，c)
xOz 平面
(a，－b，c)
关于谁谁不变，其它变相反
3．空间两点间的距离公式
『规律方法』 确定点(x0，y0，z0)的位置的四种方法 方法一 确定点(x0，y0，z0)的位置，可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个 单位长度，再沿y轴移动|y0|个单位长度，然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到． 注意：沿坐标轴正向还是负向移动由x0，y0，z0的符号决定． 方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0)，过点M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴 上 找 出 点 M2(0 ， y0,0) ， 过 点 M2 作 与 y 轴 垂 直 的 平 面 β ； 最 后 在 z 轴 上 找 出 点 M3(0,0，z0)，过点M3作与z轴垂直的平面γ，于是平面α，β，γ交于一点，该点即 所求点(x0，y0，z0)．
平面上任意两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义 画法
以空间中两两__垂__直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标 __原__点____，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___.通过每两个坐标轴的平面叫做 _坐__标__平__面_，分别称为xOy平面、yOz平面、__z_O_x____平面
空间点的坐标的求法
典例 3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱 长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[错解] 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直 线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．显然
A(0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标 轴上，
[解析] ①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴 的 正 半 轴 上 ， 又 正 方 体 的 棱 长 为 2 ， 所 以 D(0,0,0) 、 A(2,0,0) 、 C(0,2,0) 、 D′(0,0,2)．
因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)． 同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)． 因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)． ②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的， A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点， A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2， 所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)． 同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．
[正解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，连接 BO、OO1，可得 BO⊥AC，分 别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱 各棱长均为 1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝ 23，∵A、B、C 均在坐标轴上，
∴A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12，0)， 点 A1 与 C1 在 yOz 平面内，A1(0，－12，1)、C1(0，12， 1)，点 B1 在 xOy 面内投影为 B，且 BB1＝1.B1( 23，0,1)， ∴各点的坐标为 A(0，－12，0)、B( 23，0,0)、C(0，12， 0)、A1(0，－12，1)、B1( 23，0,1)、C1(0，12，1)．
(A) A．(－1，－2,4)
B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4)
D．(1，－2,4)
1．下列点在x轴上的是( C ) A．(0.1,0.2,0.3)
B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0)
D．(0,0.01,0)
[解析] x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0，故选C．
2 ． 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 M( － 1,2 ， － 4) 关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 是
∴B(1,0,0)、C(0,1,0)、A1(0,0,1)， B1、C1分别在xOz平面和yOz平面内， ∴B1(1,0,1)、C1(0,1,1)， ∴ 各 点 坐 标 为 A(0,0,0) 、 B(1,0,0) 、 C(0,1,0) 、
A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(0,1,1)．
[错因分析] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC ＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时 没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出 发的三条两两垂直的线作为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条 坐标轴“悬空”．
A．(－2,1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4)
D．(2,1，－4)
[解析] 由于点P关于x轴作对称点后，它的x坐标不变，y，z坐标变为原来
的相反数，所以对称点的坐标是(－2，－1，－4)．
2．(2019·葫芦岛高一检测)点 A 在 z 轴上，它到点(2 2， 5，1)的距离是 13，
3．(2019·南平高一检测)已知点(1，－1,2)关于x轴的对称点为A，则点A的 坐标为(_1_,1_，__－__2_).
[解析] 点(1，－1,2)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为 原来的相反数，∴A(1,1，－2)．
互动探究学案
命题方向1 ⇨空间点的坐标及位置确定
典例 1 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5， N为棱CC1的中点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系．
第四章 圆的方程
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
在直线上，我们可以用一个实数刻画点的位置；在平面上，我们可以用一对 有序实数对(x，y)来刻画点的位置；那么在空间中如何来刻画一个点的位置呢？
则点 A 的坐标是( C )
A．(0,0，－1)
B．(0,1,1)
C．(0,0,1)
D．(0,0,13)
[解析] 设点 A 的坐标为(0,0，z)， ∵点 A 到点(2 2， 5，1)的距离是 13， ∴(2 2－0)2＋( 5－0)2＋(z－1)2＝13， 解得 z＝1，故点 A 的坐标为(0,0,1)．
在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝_4_5_°__或__1_3_5_°___， ∠yOz＝90°
图示
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手 说明 拇指指向____x____轴的正方向，食指指向___y_____轴的正方向，如果中指
指向_____z___轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(1)求点 A、B、C、D、A1、B1、C1、D1 的坐标； (2)求点 N 的坐标．
[解析] (1)显然 A(0,0,0)， 由于点 B 在 x 轴的正半轴上，且|OB|＝4， 所以 B(4,0,0)． 同理，可得 D(0,3,0)、A1(0,0,5)． 由于点 C 在坐标平面 xOy 内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点 C(4,3,0)． 同理，可得 B1(4,0,5)、D1(0,3,5)，与 C 的坐标相比，点 C1 的坐标中只有竖坐 标不同，CC1＝AA1＝5，则点 C1(4,3,5)． (2)由(1)知 C(4,3,0)、C1(4,3,5)，则 C1C 的中点为(4＋2 4，3＋2 3，0＋2 5)，即 N(4,3， 52)．
方法三 先找到点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0， z0)的位置．
方法四 以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条 棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即所求的 点(x0，y0，z0)．
〔跟踪练习1〕 已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐 标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．
〔跟踪练习2〕 如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5 m，河宽BC＝3 m，另一侧有点A，AB
＝4 m，求点A与塔顶D的距离AD．
[解析] 以塔底 C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系．
则 D(0,0,5)、A(3，－4,0)， ∴d(A，D)＝ 32＋－42＋52＝5 2， 即点 A 与塔顶 D 的距离为 5 2m.
空 间 中 点 P1(x1 ， y1 ， z1) 、 P2(x2 ， y2 ， z2) 之 间 的 距 离 是 |P1P2| ＝ __x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2_＋__z_1_－__z_2_2_____.
1．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( B )
[归纳总结]
(1)空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
如下表所示(无谁谁为0) 点的位置ห้องสมุดไป่ตู้点的坐标形式
原点
(0,0,0)
x轴上
(a,0,0)
y轴上
(0，b,0)
z轴上
(0,0，c)
xOy平面上 (a，b,0)
yOz平面上 (0，b，c)
xOz平面上 (a,0，c)
(2)空间直角坐标系中特殊对称点的坐标
设 D(x，y,0)，在 Rt△AOC 中， |OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝ 13， ∴|OD|2＝2×1332＝3163.
又 OO1⊥平面 OABC，∴OO1⊥OD．
∴|O1D|＝ OD2＋OO21＝ 3163＋4＝2 12386.
『规律方法』 1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两 个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离添上正 负号)确定第三个坐标．
[解析] 由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的 坐标分别为：O(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,3,0)、C(0,3,0)、O1(0,0,2)、A1(2,0,2)、B1(2,3,2)、 C1(0,3,2)．
∵E 是 BC 的中点，∴点 E 的坐标为(1,3,0)． ∴由两点间的距离公式得 |B1E|＝ 2－12＋3－32＋2－02＝ 5.
命题方向2 ⇨空间两点间距离公式
典例 2 如右图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝ 3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到 点D的距离．
[思路分析] 先根据空间直角坐标系，求出点B1、E、O1、D的坐标，然后 利用两点间的距离公式求解．
2．坐标 如右图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的___平__面___，依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、 Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就和有序实数组(x，y，z)是_一__一__对__应_ 的关系，有序实数组_(x_，__y_，__z_)叫做点 M 在此空间直角坐标 系中的坐标，记作M__(x_，__y_，__z_)___，其中 x 叫做点 M 的 _横__坐__标___，y 叫做点 M 的_纵__坐__标___，z 叫做点 M 的_竖__坐__标___.