第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
解：∵ 1 + 5 = 2 ，3 + 7 = 8 ，
∴ 3 + 7 − 1 + 5 = 4 = 6
3
2
解得 = ，
∴ 11 + 15 = 1 + 5
3
+ 20 = 2 + 20 × = 32
令4n − 3=29, 解得n =8
所以， b29是数列的第8项.
归纳总结
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 ( ∈ ∗ )
个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.
典例
例5. 已知数列 是等差数列，p, q, s, t ∈ ∗ ,且 p + q = s + t
8−3
A．3
D．－3
8 − 3 −30
∴=
=
= −6
8−3
5
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( B )
A．5
B． 8
C．10
D．14
解：∵ 1 + 7 = 3 + 5
∴ 1 + 7 = 3 + 5
∴ 7 = (3 +5 ) − 1 = 10 − 2 = 8
1.基础性作业
（1）必做题：教科书17-18第1、2、4、5题.
（2）选做题：教科书第25页习题4.2第5、10题.
2.拓展性作业
教科书第55页复习参考题4第8（1）题.
“ THANKS
”
一性质吗？
思路：
−
−
=
−
−
∵p + q = s + t,
∴p−s=t−q
∴ − = −
∴ + = +
随堂练习
1.在等差数列{an}中，已知 a3＝10，a8＝－20，则公差 d 等于( B ) NhomakorabeaB． －6
C．4
解：∵ 8 = 3 +
性质2
性质3 an =am+(n-m)d
性质4
−1
d=
−1
−
d=
−
性质5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
性质6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
2.推导等差数列的性质的关键是什么？
3.本节课你学到了哪些数学思想方法？
布置作业
典例
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价
值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台
设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的范围.
追问1：每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元说明设备的价值是一个什么数列？
后，该设备的价值需小于11万元．
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．
所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
因为a1＝220－d，
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a11＜11.
该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1 －d (n≥2).
即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.
追问2：设备报废时的价值怎么计算？你能从“设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价
值将低于购进价值的5%”得到怎样的不等关系？
10年之内（含10年），该设备的价值不小于220 × 5% = 11（万元）；10年
= 1 +(t − 1) ,
所以 + = 21 + (p + q − 2) ,
+ = 21 + (s + t − 2) ,
因为p + q = s + t，
所以 + = + .
思考
例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一
种情形.你能从几何角度解释等差数列的这
4.2.1
等差数列的性质
（第二课时）
新课引入
请同学们思考以下问题：
若等差数列{ }为1，3，5，7，…，2n-1，则数列
{ ＋2}，{2 }是等差数列吗？
知识回顾
1.等差数列通项公式的变形及推广
(1) ＝＋(1 − ) ( ∈ ∗ )，
(2) ＝ ＋( − ) (m， ∈ ∗ )
2
4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
解：∵ 5是3 和6 的等差中项，
∴ 3 + 6 = 2 × 5 = 10
由等差数列的性质可得：3 + 6 = 1 + 8 = 10
课堂小结
1.等差数列有哪些性质？
性质1 an =a1+(n-1)d
问题4：数列{ }中的项是数列{ }的哪些项？
数列{ }的各项，依次是数列{ }的第1,5,9,13,⃜项
a1
b1
b2
b3
b4
a2
b5
b6
b7
b8
a3
b9
b10 b11
b12 a4
b13
解：（2）数列 的各项依次是数列 的第1,5,9,13，…项，这些下标
构成一个首项为1，公差为4的等差数列 ，则 = 1+(n − 1) 4=4n − 3
问题2：a2对应数列{ }的第几项？ 第5项
+
a2
a1
b1
b2
b3
b4
b5
问题3：如何确定数列{ }的公差 ′？ 4′ =
解：（1）设等差数列 的公差为.
∵b1= 1 , b5= 2
∴ b5− b1 = 2 − 1 =8
∵b5− b1 = 4′
∴ 4′ =8, ′ = 2,
220－10 ≥ 11
220－11＜11
解得19<d≤20.9
即：
所以，d的求值范围为19<d≤20.9
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.
2.等差数列的性质
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
解：∵ 1 + 5 = 2 ，3 + 7 = 8 ，
∴ 3 + 7 − 1 + 5 = 4 = 6
3
2
解得 = ，
∴ 11 + 15 = 1 + 5
3
+ 20 = 2 + 20 × = 32
令4n − 3=29, 解得n =8
所以， b29是数列的第8项.
归纳总结
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 ( ∈ ∗ )
个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.
典例
例5. 已知数列 是等差数列，p, q, s, t ∈ ∗ ,且 p + q = s + t
8−3
A．3
D．－3
8 − 3 −30
∴=
=
= −6
8−3
5
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( B )
A．5
B． 8
C．10
D．14
解：∵ 1 + 7 = 3 + 5
∴ 1 + 7 = 3 + 5
∴ 7 = (3 +5 ) − 1 = 10 − 2 = 8
1.基础性作业
（1）必做题：教科书17-18第1、2、4、5题.
（2）选做题：教科书第25页习题4.2第5、10题.
2.拓展性作业
教科书第55页复习参考题4第8（1）题.
“ THANKS
”
一性质吗？
思路：
−
−
=
−
−
∵p + q = s + t,
∴p−s=t−q
∴ − = −
∴ + = +
随堂练习
1.在等差数列{an}中，已知 a3＝10，a8＝－20，则公差 d 等于( B ) NhomakorabeaB． －6
C．4
解：∵ 8 = 3 +
性质2
性质3 an =am+(n-m)d
性质4
−1
d=
−1
−
d=
−
性质5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
性质6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
2.推导等差数列的性质的关键是什么？
3.本节课你学到了哪些数学思想方法？
布置作业
典例
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价
值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台
设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的范围.
追问1：每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元说明设备的价值是一个什么数列？
后，该设备的价值需小于11万元．
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．
所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
因为a1＝220－d，
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a11＜11.
该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1 －d (n≥2).
即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.
追问2：设备报废时的价值怎么计算？你能从“设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价
值将低于购进价值的5%”得到怎样的不等关系？
10年之内（含10年），该设备的价值不小于220 × 5% = 11（万元）；10年
= 1 +(t − 1) ,
所以 + = 21 + (p + q − 2) ,
+ = 21 + (s + t − 2) ,
因为p + q = s + t，
所以 + = + .
思考
例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一
种情形.你能从几何角度解释等差数列的这
4.2.1
等差数列的性质
（第二课时）
新课引入
请同学们思考以下问题：
若等差数列{ }为1，3，5，7，…，2n-1，则数列
{ ＋2}，{2 }是等差数列吗？
知识回顾
1.等差数列通项公式的变形及推广
(1) ＝＋(1 − ) ( ∈ ∗ )，
(2) ＝ ＋( − ) (m， ∈ ∗ )
2
4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
解：∵ 5是3 和6 的等差中项，
∴ 3 + 6 = 2 × 5 = 10
由等差数列的性质可得：3 + 6 = 1 + 8 = 10
课堂小结
1.等差数列有哪些性质？
性质1 an =a1+(n-1)d
问题4：数列{ }中的项是数列{ }的哪些项？
数列{ }的各项，依次是数列{ }的第1,5,9,13,⃜项
a1
b1
b2
b3
b4
a2
b5
b6
b7
b8
a3
b9
b10 b11
b12 a4
b13
解：（2）数列 的各项依次是数列 的第1,5,9,13，…项，这些下标
构成一个首项为1，公差为4的等差数列 ，则 = 1+(n − 1) 4=4n − 3
问题2：a2对应数列{ }的第几项？ 第5项
+
a2
a1
b1
b2
b3
b4
b5
问题3：如何确定数列{ }的公差 ′？ 4′ =
解：（1）设等差数列 的公差为.
∵b1= 1 , b5= 2
∴ b5− b1 = 2 − 1 =8
∵b5− b1 = 4′
∴ 4′ =8, ′ = 2,
220－10 ≥ 11
220－11＜11
解得19<d≤20.9
即：
所以，d的求值范围为19<d≤20.9
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.
2.等差数列的性质