2014中考数学平行四边形专题训练

1、（2010•赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；
（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．
2、（2010•安徽）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1=∠2，BF=BC．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．
3、（2010•东阳市）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论；
（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件4、（2010•遵义）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
5、（2010•湘潭）Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A'B'C'位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）
6、在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为OE=OF；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为OE=OF；
位置关系为E⊥OF．
7、已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
8、（2010•日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．9、如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．
（1）线段AD与NE相等吗？请说明理由；
（2）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
10、（1）已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；（2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP⊥MN于P，FQ ⊥MN于Q．（1）中结论还成立吗？请说明理由．
11、（2009•内江）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+ AC•r2= AC•h，∴r1+r2=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A1A2…An，内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn请问是r1+r2+…+rn是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．12、如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN．
（1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）
（3）观察图①、②、③的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段，并满足图①或图②的结论，写出相关题设的条件和结论．
13、（2009•河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF 和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗．（不必说明理由）
14、已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB 的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E 在BC上，F在AC上，
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当BP=2时，求CF的长；
（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．
15、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G 为DF中点，连接EG，CG．
求证：EG=CG．
16、（2011•咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3 ，求AG，MN的长．17、（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
18、（2009•资阳）如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写出结果，不必说明理由）
19、（2009•天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE ⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．
20、（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．21、（2006•梅州）用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
22、（2006•锦州）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．
23、（2005•河北）如图所示，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．
（1）如图1所示，当点E 在AB 边的中点位置时：
①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 DE=EF ； ②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 NE=BF ； ③请证明你的上述两个猜想；
（2）如图2所示，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系 24、（2005•大连）如图，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ．
探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①DM 的延长线交CE 于点N ，且AD=NE ；②将正方形CGEF6绕点C 逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD ．
附加题：将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．
26、（2002•宁夏）如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形AEFC 是菱形，EH ⊥AC ，垂足为H ．求证：EH= 1/2FC ． 27、已知：如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．求证：AE=FG ． 28、如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．
（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；
（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．
29、已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积
30、设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周长．
31、如图，点M、E分别在正方形ABCD的边AB、BC上，以M为圆心，ME的长为半径画弧，交AD边于点F．当∠EMF=90°时，求证：AF=BM．32、如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点．
（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，PB/PQ=1；
（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，PB/PQ=1；
（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求PB/PQ的值，并说明理由．
33、如图，ABGD和EFCG是两个边长分别为10，6的正方形，点E在BG上．
（1）直接写出正方形ABGD的面积；
（2）△ECG的面积和△AEC的面积之间有什么数量关系，请你根据图形直接说明满足你得出的数量关系的理由．
34、如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．
35、如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
（1）①求证：OE=OF；
②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．
36、设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE=1/2∠BAF 37、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD 相交于点N．试判断AE与CG之间的关系？并说明理由．
38、如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及PGPC的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
39、如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论． 40、（1）已知△ABC 是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC 、斜边AB 为边向外作正方形BCEF 、ABMN ，如图甲，连接MF ，延长CB 交MF 于D ．试观测DF 与DM 的长度关系，你会发现 DF=DM ． （2）如果将（1）中的△ABC 改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时D 点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断．
（3）如果将（1）中的△ABC 改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B 点作△ABC 的高线，它与MF 的交点D 恰好也具有（1）的结论．请证明在你的作法下结论的正确性．
41、（2009山西省太原市）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =4AD
=B =45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △为等腰三角形，则CF 的长等于 ； 并说明理由。

42、
（2009年北京市）如图，在梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，∠B =90,∠C =45,
AD =1,BC =4,E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ,求EF 的长. 43、（2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ＝AD ＝DC ,∠B ＝60º. (1)求证：AB ⊥AC ；
(2)若DC ＝6,求梯形ABCD 的面积 .
23题图
44、如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．
（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
45、（09湖南邵阳）如图（七），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =． （1）求ABC ∠的度数；
（2）求证：CAF △为等腰三角形．
46、（2009眉山）在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结E F 、EC 、B F 、C F 。

⑴判断四边形AECD 的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD ＝2，求四边形BC F E 的面积。

47、（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．
（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．
（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
D
A
B C 图七
图2 图3 图1
A D
48、（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；
（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.
①当点N 在线段AD 上时（如图2），P
M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
49、（一）（2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、
F
分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．
（1）求证：AF =BE ；
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
49（二）（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ C ） A ．9
B ．10.5
C ．12
D ．15
50.（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。

（1） 求证：BE =AD ； （2） 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； （3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。

A D E B
F C
图4（备用）
A
D E
B
F C
图5（备用）
A D E B
F C
图1
图2
A D
E
B
F C P
N
M 图3 A D E
B
F
C
P
N
M （第25题） D E F
P B A （第22题）
C A
B
C
D E
F
P
第49（二）题
51、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻
t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
52、如图，AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形；
53、（12分）如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点，P 异于A 、D ，Q 是BC 边上的一动点，连接AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F 。

（1）请你判断△APE 与△PDF 的关系，并说明理由；
（2）若Q 是BC 的中点，当P 点运动到什么位置时，四边形PEQF 为菱形？说明理由；
（3）四边形PEQF 能否为矩形，为什么？
54、如图54，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
交BC 的延长线于点M ，若0
40A ∠=. （1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求
NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
图①
P Q _ E _ D
_ C 图54
55、如图①，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，连接AP 、PQ ． (1)请你判断AP 与PQ 的数量关系并证明：
(2)如图②，若将“四边形ABCD 是矩形”的条件改为“四边形ABCD 是平行四边形”，则(1)中
的结论是否成立，若不成立，请说明理由，若成立，请给出证明．
56、如图小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC 的长．
57、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是 S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是【 】 A 、 S 1 ＞ S 2 B 、 S 1 = S 2
C 、 S 1 ＜ S 2
D 、 S 1、S 2 的大小关系不确定
58、如下左图，已知正方形ABCD 的边长为m ，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积为
___ (用含m 的代数式表示) .
59、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 在下底边BC 上，点F 在腰
AB 上.
（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；
若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出
此时BE 的长；若不存在，请说明理由.
60、【1】（武汉）有一块塑料矩形的模板ABCD ，长AD ＝10，宽AB=4，将你手中足够大的三角板PQR 的直角顶点P 放在AD 边上，（不与A 、D 重合），在AD 边上适当移动三角板的顶点P （1）能否使你的三角板的两直角边分别通过点B 和点C ？若能，请你求出这时的AP 的长；若不能，请说明理由。

（2）再次移动这个三角板，使三角板的顶点P 在AD 上移动，直角边PQ 始终通过点B ，另一直角边PR 与DC 的延长线交于点E ，与BC 相交于点M ，问能否使CM ＝2？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由。

（答：（l ）AP ＝2或AP ＝8（2）AP ＝4）
【2】两个全等的含30°、60°角的三角板ADE 和ABC ，E 、A 、C 在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME 、MC ，试判断 EMC 的形状，并说明理由。

D
B
A
C A B
C D P (第14题图
)
61、利用三角板考查学生对三角形相似的识图和判定能力。

活动4：将两块完全相同的等腰直角三角板叠合成如图样子,假设图中所有的点和线都在同一平面内,图中有相似(不包括全等) 三角形吗?一一写出来,并选其中的一对加
中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，点P 为AB 的中点，小明拿着含450角的透明三角板，使450角顶点落在点P ，三角板绕点P 旋转，记三角板的两边与线段AC ，BC 分别交于点E ，F ，连结EF 。

在旋转过程中，试找出相似的三角形。

（△AP E ∽△BFP ∽△PEF ）
62、（2008年湖北省宜昌市）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，P 是边AB （含端点）上的动点，过P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB 的平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E 、F 恰好分别在边BC 、AC 上. （1）△ABC 与△SBR 是否相似？说明理由；
（2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P 在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值.
63、（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a b ，k 0)，
第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结、
，且a =3，b =2，k =，求的值
65、(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，
以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连结BE . (1) 求证：△ACD ≌△BCE ；
(2) 延长BE 至Q, P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ 使CP ＝CQ ＝5, 若BC ＝8时，求PQ 的长. 66、（2011山东泰安，29 ，10分）已知：在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点。

（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图①），求证：AE =CG ； （2）直线AH 垂直于CE 于，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相等
的线段，并说明。

67、（2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE 、DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G 、H 点，如图（2）.
（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；
（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？
68、 （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；
（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．
P C P
D
图①
图②
图③ 69、（2011年海宁市盐官片一模）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，
点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使P D P E 的和最小，则这个最小值为（ ）
A
．
．．3 D
70、(2011山西阳泉盂县月考)如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，G 、H 在DC 边上，且GH=2
1
DC ，AB=10，BC=12， 则阴影部分的面积为 35 。

71、在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上一动点，连接PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足
分别为E 、F ，如图①．
(1)请探究BE 、DF 、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P 在DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
72、（2011年江苏盐城）(本题满分12分)如图(1)，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中
点，连接CN 、DM ．
(1)判断CN 、DM 的关系，并说明理由；
(2)设CN 、DM 的交点为H ，连接BH ，如图(2)，求证：△BCH 是等腰三角形；
(3)将△ADM 沿DM 翻折得到△A ′DM ，延长MA ′
交DC 的延长线于点E ，如图(3)，求 SA ’/A ’E ．
A
D
E
P
B
C
第69题图）。