高中数学第一章集合1.2.2第2课时补集及其综合应用学业分层测评新人教B版必修1

补集及其综合应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A．3个B．5个
C．7个D．8个
【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.
【答案】 C
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．
【答案】 D
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
【解析】由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．
【答案】 A
图1­2­2
4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1­2­2中的阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{4,6}
C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}
【解析】全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为∁U A∩B，
∵∁U A＝{4,6,7,8}，
∴∁U A∩B＝{4,6}．故选B.
【答案】 B
5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
【解析】∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，
因为A∪∁R B＝R，所以a≥2，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则∁R S∪T＝________.
【解析】∵集合S＝{x|x>－2}，
∴∁R S＝{x|x≤－2}，
由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，
故∁R S∪T＝{x|x≤1}．
【答案】(－∞，1]
7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝________.
【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．
又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．
【答案】{3}
8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________.
【导学号：97512007】【解析】∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.
【答案】∁U A⊆∁U B
三、解答题
9．设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，
求：(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩∁A(B∪C).
【导学号：60210021】【解】A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，
∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．
10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：
(1)A∩B；
(2)∁R A；
(3)∁R(A∪B)．
【解】(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．
(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，
∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．
(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
[能力提升]
1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．∁U M∪∁U N D．∁U M∩∁U N
【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则∁U M∩∁U N＝∁U M∪N＝{5,6}．故选D.
【答案】 D
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∴∁U(A∪B)＝{3,5}．
【答案】 B
3．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________.
【导学号：60210022】【解析】∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
【答案】－1或2
4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}．求
(1)∁U(A∪B)；
(2)记∁U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围．
【解】(1)由题意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，
又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}． (2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}， 由C ∩D ＝C 得C ⊆D ，
①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1； ②当C ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －3≤－a ，2a －3>2，
－a <5，
解得a ∈∅.
综上，a 的取值范围为(1，＋∞)．。