陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中考试数学文

2018年全国高考3+3分科综合卷（一）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
3A x x =>，{}
2
40B x x x =-<，则A B =I （ ）
A ．()3,4
B ．()0,3
C ．()3,5
D ．()4,5 2．已知复数2i
1i
z =
+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为（ ） A ．①系统抽样，②分层抽样 B ．①分层抽样，②系统抽样 C ．①系统抽样，②简单随机抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，点
P 是双曲线上一点，且122PF PF -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A
．y = B
．y = C
．y =± D
．y =± 5．如图，已知平行四边形ABCD 中，2BC =，45BAD ∠=︒，E 为线段BC 的中点，
BF CD ⊥，则AE BF ⋅=uu u r uu u r
（ ）
A
．．2 C
．
1
6．已知实数,x y 满足20,40,440,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则53z x y =-的最小值为（ ）
A ．4
B ．4-
C ．3
D ．3-
7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，()f x x =，则函数
()1y f x =-的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2017
9．已知3log 5a =，3log 0.6b =， 1.2
0.2c =，则（ ）
A ．b c a <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．a b c <<
10．若函数()cos f x x x ωω=+的图象向右平移3π个单位后的图象关于直线4
x π=对称，则实数ω的值可以是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．锐角ABC ∆的面积为2，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且1cos cos a A
b B
+=，若m ab <恒成立，则实数m 的最大值为（ ）
A ．2
B ．．4 D ．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ） A ．
223 B ．203 C ．16
3
D ．8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知1
sin 23
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，α是第四象限角，则sin α= ． 14．圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数a = ． 15．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为 ．
16．已知函数()3
3f x x x a =-+，[]2,2x ∈-，且()f x 的最大值为1-，则实数
a = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n a 的首项与公差相同，且420S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和为n S 的表达式； （Ⅱ）若11
n
n n
b a S =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．如图，正方形ABCD 的边长为1，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，AE FC ∥，
AE AB ⊥，1AE =，DE =，12
FC =
. （Ⅰ）证明：平面CD ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求三棱锥E BDF -的正弦值.
19．随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的n 位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下图所示．
（Ⅰ）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；
（Ⅱ）若按分层抽样的方法从年龄在[)20,30以内及[)40,50以内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在[)20,30内的概率.
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F
，离心率为3
22:20x y Dx Ω+--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于
,P Q 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）证明：在x 轴上存在定点A ，使得2AP AP PQ +⋅uu u r uu u r uu u r
为定值；并求出该定点的坐标.
21．已知函数()f x 和()f x （()f x 为常数）的图象在()f x 处有
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C
的参数方程为3,
1x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线1
:sin cos l θθρ
-=交曲线C 于,M N 两点，求MN .
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =-++.
（Ⅰ）若存在x 使不等式()0a f x -≥成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()4
0a f x a
+-≥对任意正数a 恒成立，求x 的取值范围.
2018年全国高考3+3分科综合卷（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:AACCD 6-10:BBDAC 11、12：CB
二、填空题
13
．3
-
14．4- 15．323π 16．3-
三、解答题
17．解：（Ⅰ）依题意，11
,
4620,a d a d =⎧⎨+=⎩解得12a d ==；
∴()2212n a n n =+-=.
()
21222
n n n S n n n -=+
⨯=+. （Ⅱ）依题意，111
221
n
n n n b S n n =+=+-
+， 故
()1212222n n n T b b b =+++=+++L L 111
1112231n n ⎛⎫+-+-++- ⎪
+⎝⎭L 11
211
n n +=-
-+. 18．解：（Ⅰ）由题意可得CD AD ⊥.又∵AE AB ⊥，CD AB ∥，∴CD AE ⊥. 又∵AD AE A =I ， ∴CD ⊥平面ADE .
（Ⅱ）∵1BC =，1EA =
，DE 222
DE AD AE =+，∴AE AD ⊥.
又∵AE AB ⊥，AB AD A =I ，∴AE ⊥平面ABCD . 如图，将几何体补成一个正方体，取BD 的中点O ，
易知OF DB ⊥，OE DB ⊥，OE OF O =I ，∴BD ⊥平面OEF .
又∵OF =
，OE =，32EF =，∴222
OF OE EF +=.
∴OEF ∆
为直角三角形，12OEF S ∆=
=
. 故几何体体积13OEF V S BD ∆=
⨯⨯
=11
384
⨯=. 19．解：（Ⅰ）依题意，所求人数为
()300
0.020.005102500.0310
⨯+⨯=⨯.
（Ⅱ）依题意，年龄在[)20,30内的有3人，记为,,A B C ，年龄在[)40,50内的有2人，记为1,2；
随机抽取2人，所有可能的情况为(),A B ，(),A C ，(),1A ,(),2A ,(),B C ,(),1B ，
(),2B ,(),1C ,(),2C ,()1,2,共10种.
其中年龄都在[)20,30内的情况为(),A B ，(),A C ，(),B C ， 故所求概率3711010
P =-
=. 20．解：（Ⅰ）依题意，不妨设圆Ω过椭圆C 的上、下、右三个顶点， 令0x =
，解得y =
b =
3
c e a =
=，解得椭圆C 的标准方程为22
162
x y +=. （Ⅱ）证明：联立()22
1,62
2,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
故()2222
13121260k x k x k +-+-=， 2AP AP PQ AP +⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ()
AP PQ AP AQ +=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21221213k x x k +=+，2122126
13k x x k -=+，
假设(),0A m ，故()()1122,,AP AQ x m y x m y ⋅=-⋅-uu u r uuu r
()()()()
22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()
2
222
31210613m m k m k -++-=
+.
要使其为定值，则()
22
3121036m m m -+=-，解得7
3
m =
. 故定点A 的坐标为7,03⎛⎫
⎪⎝⎭
. 21．解：（Ⅰ）()6
f x x
'=
，()28g x ax '=+， 函数()f x ，()g x 的图象在3x =处有公切线. ∴()()33f g ''=，即
6
683
a =+，∴1a =-. （Ⅱ）由题知()()33f g =，又1a =-，∴6ln 3924
b =-+-，∴156ln 3b =-.
()()()F x f x g x =-=26ln 8x ax x b --+,
∴()6
28F x x x '=
+-=()()213x x x
--. 令()0F x '=，则1x =或3x =.
∴当01x <<或3x >时，()F x 单调递增，当13x <<时，()F x 单调递减. ∴()F x 的极大值为()186ln3F =-，()F x 的极小值为()30F =.
（Ⅲ）根据题意，方程()()f x g x =实数解的个数即为函数()()()F x f x g x =-的零点个数.
又()2
6ln 8156ln3F x x x x =+-+-，
36311118156ln 3e e e F ⎛⎫
=-+-+-= ⎪⎝⎭
631136ln 30e e -+--<，
()186ln30F =->，结合（Ⅱ），()F x 有2个零点. 方程()()f x g x =有2个实数解.
22．解：（Ⅰ）∵曲线C
的参数方程为31x y α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）
∴曲线C 的普通方程为()()2
2
3110x y -+-= 曲线C 表示以()3,1
. 将cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+
即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+. （Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为1y x -=；
∴圆心C
到直线的距离为d =
∴弦长为=. 23．解：（Ⅰ）()12f x x x =-++()123x x ≥--+=（当且仅当21x -≤≤时“=”成立）.
若存在x 使不等式()0a f x -≥成立，则()min a f x ≥. 故3a ≥，所以3a ≥或3a ≤-，即(][),33,a ∈-∞-+∞U . （Ⅱ）由已知4120a x x a +
---+≥，即4
12a x x a
+≥--+对于任意正数a 恒成立，也就是min
412x x a a ⎛
⎫
--+≤+
⎪⎝⎭，
又44a a +
≥=（当且仅当2a =时“=”成立）
， 所以124x x --+≤.
即2522142x x x ≤-⎧⇒-≤≤-⎨
--≤⎩或212134x x -<<⎧⇒-<<⎨≤⎩或13
1214
2x x x ≥⎧⇒≤≤⎨+≤⎩.
综上所述，53,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.。