6.2线性空间定义及简单性质 2
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引
线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空
言 间的抽象和推广．
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它 们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和 力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完 满地阐明了线性方程组的解的理论．
∵k( ) k k( ) k
∴两边加上 k 即得k( ) k k .
4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则 (k 1k) k 1(k ) k 10 0.
练习：
1、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
(8) k (a b) k (ab) (ab)k akbk ak bk
(k a) (k b) ;
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
例 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a
b
log
b a
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
下面比照线性空间定义逐一进行验证。
加法： 数乘：
(1) (2) (3) (4)
运算封闭
(5) (6)
(7) (8)
所以数域P上的一元多顶式环“P[x]”对于多项式的加法 和与数多项式的乘法两种运算作成数域“P”上的线性空间。
弄清什么集合对于怎样的加法和数乘构成 那个数域上的线性空间。笼统说那个集合 是线性空间无意义。
0 ;（β 称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤ 1
百度文库
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：（分配律）
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
v
P
运
算
封
闭
性
八 大 定 律
线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集 合就不能构成线性空间。
证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .（数k不同，则k不同）
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
(课本267页)3. 1），3）只做 实对称矩阵，6），7）
预习6.3
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将
使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相
当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间
的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的
许多领域, 同时对于我们深刻理解和掌握线性方
程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义.
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的引入 二、线性空间的定义（重点）：
集合和数域的结合体，两大运算：加 法及数乘，八大定律。
三、线性空间的简单性质
一、线性空间的引入
引例 1
在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) (a1 b1,a2 b2, ,an bn )
k(a1, a2 , , an ) (ka1, ka2 , , kan ), k P
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法两种运算。
二、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ;
∵ (1) 1 (1) (11) 0 0 ∴两边加上－ 即得(1) ;
空间，用 "P mn "表示．
同学们试比照线性空间定义逐一进行验证。
4.任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
三、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
例 全体正实数R＋，
2) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
下面比照线性空间定义逐一进行验证。
加法： 数乘： (1) (2)
(3)
运算封闭 两者相等
例 全体正实数R＋，
2) 加法与数量乘法定义为：a, b R ,k R
加法满足下列四条规则： , , V
① （交换律） ② ( ) ( ) （结合律）
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
(4)
a
1 R＋，a
R＋，且
即a 的”负元”素是1
a
1 a
；
a
1 a
1
(5)
1
a
a1
a
,
a
a
R＋；
(6) k (l a) k al (al )k alk akl (kl ) a
(7) (k l) a akl akal ak al (k a) (l a) ;
解：
R,
和运算不封闭，不能构成线性空间。
线性空间定义的其它要求呢，还有不满足的 条例吗，试着找出来！。
几个常见的线性空间
1. 数域P上的n维向量对于两个向量的加法和
数量乘法构成数域P上的线性空间，记作 "P n ".
加法：(a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) (a1 b1,a2 b2, ,an bn ) 数乘：k(a1, a2 , , an ) (ka1, ka2 , , kan ), k P
线性空间注意要点：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 统称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
向 量
线性空间注意要点：
线性空间的定义是公理化的定义。
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，对于通常的多项式
的加法和数与多项式的乘法两种运算作成数域P上的 线性空间。
2.数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 “P[x]n”表
示P[．x]n { f ( x) an1xn1 a1x a0 an1, ,a1,a0 P}
几个常见的线性空间
3.数域 P上m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性
线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空
言 间的抽象和推广．
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它 们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和 力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完 满地阐明了线性方程组的解的理论．
∵k( ) k k( ) k
∴两边加上 k 即得k( ) k k .
4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则 (k 1k) k 1(k ) k 10 0.
练习：
1、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
(8) k (a b) k (ab) (ab)k akbk ak bk
(k a) (k b) ;
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
例 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a
b
log
b a
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
下面比照线性空间定义逐一进行验证。
加法： 数乘：
(1) (2) (3) (4)
运算封闭
(5) (6)
(7) (8)
所以数域P上的一元多顶式环“P[x]”对于多项式的加法 和与数多项式的乘法两种运算作成数域“P”上的线性空间。
弄清什么集合对于怎样的加法和数乘构成 那个数域上的线性空间。笼统说那个集合 是线性空间无意义。
0 ;（β 称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤ 1
百度文库
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：（分配律）
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
v
P
运
算
封
闭
性
八 大 定 律
线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集 合就不能构成线性空间。
证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .（数k不同，则k不同）
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
(课本267页)3. 1），3）只做 实对称矩阵，6），7）
预习6.3
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将
使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相
当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间
的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的
许多领域, 同时对于我们深刻理解和掌握线性方
程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义.
§6.2 线性空间的定义 与简单性质
一、线性空间的引入 二、线性空间的定义（重点）：
集合和数域的结合体，两大运算：加 法及数乘，八大定律。
三、线性空间的简单性质
一、线性空间的引入
引例 1
在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) (a1 b1,a2 b2, ,an bn )
k(a1, a2 , , an ) (ka1, ka2 , , kan ), k P
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法两种运算。
二、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ;
∵ (1) 1 (1) (11) 0 0 ∴两边加上－ 即得(1) ;
空间，用 "P mn "表示．
同学们试比照线性空间定义逐一进行验证。
4.任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
三、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
例 全体正实数R＋，
2) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
下面比照线性空间定义逐一进行验证。
加法： 数乘： (1) (2)
(3)
运算封闭 两者相等
例 全体正实数R＋，
2) 加法与数量乘法定义为：a, b R ,k R
加法满足下列四条规则： , , V
① （交换律） ② ( ) ( ) （结合律）
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
(4)
a
1 R＋，a
R＋，且
即a 的”负元”素是1
a
1 a
；
a
1 a
1
(5)
1
a
a1
a
,
a
a
R＋；
(6) k (l a) k al (al )k alk akl (kl ) a
(7) (k l) a akl akal ak al (k a) (l a) ;
解：
R,
和运算不封闭，不能构成线性空间。
线性空间定义的其它要求呢，还有不满足的 条例吗，试着找出来！。
几个常见的线性空间
1. 数域P上的n维向量对于两个向量的加法和
数量乘法构成数域P上的线性空间，记作 "P n ".
加法：(a1,a2 , ,an ) (b1,b2 , ,bn ) (a1 b1,a2 b2, ,an bn ) 数乘：k(a1, a2 , , an ) (ka1, ka2 , , kan ), k P
线性空间注意要点：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 统称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
向 量
线性空间注意要点：
线性空间的定义是公理化的定义。
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，对于通常的多项式
的加法和数与多项式的乘法两种运算作成数域P上的 线性空间。
2.数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 “P[x]n”表
示P[．x]n { f ( x) an1xn1 a1x a0 an1, ,a1,a0 P}
几个常见的线性空间
3.数域 P上m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性