最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(及答案)

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最新七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(及答案)
一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1.
(1)计算并观察下列各式:
________;
________;
________;
(2)从上面的算式及计算结果,你发现了什么?请根据你发现的规律直接填写下面的空格.
________;
(3)利用该规律计算: .
2.某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作:
(1)从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,如图1,再沿线段AB把纸片剪开,最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形,这一过程所揭示的公式是________.
(2)先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片,如图3,最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式?
(3)先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片,如图5,你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形?
如果可以,请画出草图,并写出相应的等式.如果不能,请说明理由.
3.数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,种纸片是边长为的正方形,
种纸片是边长为的正方形,种纸片是长为,宽为的长方形.并用种纸片一张,种纸片一张,种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积:方法1:________;方法2:________;
(2)观察图2,请你写出代数式:之间的等量关系________;(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:,求的值;
②已知,求的值;
③已知(a-2019)2+(a-2021)2=8,则求(a-2020)2的值.
4.阅读材料:把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 .例
如:是的一种形式的配方,是的另一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出的两种不同形式的配方;
(2)已知,求的值;
(3)已知,求的值.
5.如图,有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b),按如图1、2所示的方式摆放,设图1中阴影部分的面积之和为S1,图2中阴影部分的面积为S2。

(1)用含a,b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。

(2)当S1+3S2= b²时,求a:b的值。

6.(探究)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)
(1)通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式________.(用含a,b的等式表示)
(2)(应用)请应用这个公式完成下列各题:
①已知4m2=12+n2, 2m+n=4,则2m﹣n的值为________.
②计算:20192﹣2020×2018.________
(3)(拓展)计算:1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.
7.如图,将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
(1)若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积,就可以得到一个等式,这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)
(2)请利用(1)中的等式解答下列问题:
①若三个实数a,b,c满足a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值
②若三个实数x,y,z满足2x×4y÷8z= ,x2+4y2+9z2=44,求2xy-3xz-6yz的值
8.阅读下列材料:
对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入此多项式,发现x2+x-2的值为0,这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理,可以确定多项式中有另一个因式(x+2),于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)
又如:对于多项式2x2-3x-2,发现当x=2时,2x2-3x-2的值为0,则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2),我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n),解得m=2,n=1,于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)
请你根据以上材料,解答以下问题:
(1)当x=________时,多项式6x2-x-5的值为0,所以多项式6x2-x-5有因式________ ,从
而因式分解6x2-x-5=________.
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法,常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6
(3)小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解,于是他猜想:
代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ,________ ,________ ,所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

9.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么我们称这个正整数为“和谐数”,如8=32-12, 16=52-32, 24=72-52,因此,8,16,24这三个数都是“和谐数”.
(1)在32,75,80这三个数中,是和谐数的是________;
(2)若200为和谐数,即200可以写成两个连续奇数的平方差,则这两个连续奇数的和为________;
(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数,设两个连续奇数为2n-1和2n+1(其中n取正整数),请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意.
10.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一大重要研究成果.如图所示的三角形数表,称“杨辉三角”.具体法则:两侧的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律:
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式;
(2)利用上面的规律计算:(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24.11.如图所示,图甲由长方形①,长方形②组成,图甲通过移动长方形②得到图乙.
(1)S甲=________,S乙=________(用含a、b的代数式分别表示);
(2)利用(1)的结果,说明a2、b2、(a+b)(a﹣b)的等量关系;
(3)现有一块如图丙尺寸的长方形纸片,请通过对它分割,再对分割的各部分移动,组成新的图形,画出图形,利用图形说明(a+b)2、(a﹣b)2、ab三者的等量关系.
12.先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则
原式=A2+2A+1=(A+1)2
再将“A”还原,得:原式=(x+y+1)2.
上述解题中用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:1+2(x﹣y)+(x﹣y)2=________.
(2)因式分解:(a+b)(a+b﹣4)+4
(3)证明:若n为正整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
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一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1.(1);;
(2)
(3)解:

= .
【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;
解析:(1);;
(2)
(3)解:

=.
【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1;
故答案为:x2-1,x3-1,x4-1.
【分析】(1)利用多项式乘以多项式的法则:用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把它们的积相加,可得结果。

(2)根据(1)中的规律可得答案。

(3)将原式转化为(x-1)(x n+x n-1++x+1)=x n+1-1(n为正整数),因此只需在原式乘以,就可得出结果。

2.(1)
(2)a2+b2+2ab=(a+b)2
(3)解:能拼成长方形.
如图.(不止一种)画图正确得分.
等式: 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) .
(等式左右两边交换不扣分)
解析:(1)
(2)
(3)解:能拼成长方形.
如图.(不止一种)画图正确得分.
等式: .
(等式左右两边交换不扣分)
【解析】【分析】(1)图1阴影部分面积为S1=a2-b2,图1阴影部分面积为S2=,根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2,所以
;
(2)图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab,图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成,所以S3=S4,即;
(3)图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab,画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b),因为画出的长方形为图5的六个图形拼成,所以S5=S,即. 3.(1)(a+b)2;a2+b2+2ab
(2)(a+b)2=a2+2ab+b2
(3)解:①∵ a+b=5 ,
∴ (a+b)2 =25,
∴ a2+b2+2ab=25 ,
又∵ a2+b2
解析:(1);
(2)
(3)解:①∵,
∴ =25,
∴,
又∵,
∴;
②设,,则,
∵,
∴,
∵,即,

即;
③设,则,,
∵,即,
整理得:,
∴ .
【解析】【解答】解:(1)方法1:图2是边长为的正方形,
∴;
方法2:图2可看成1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为宽为的长方形的组合体,
∴ .
故答案为:;;
( 2 )由(1)可得: = .
故答案为:;
【分析】(1)方法1:图2是边长为的正方形,利用正方形的面积公式可得出;方法2:图2可看成1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为宽为的长方形的组合体,根据正方形及长方形的面积公式可得出
;(2)由图2中的图形面积不变,可得出 =
;(3)①由可得出 =25,将其和代入 = 中即可求出的值;②设,,则,由已知得出,代入
中即可求出的值,即可求解;③设,则
,,通过整理可求得,即可求解.
4.(1)解:;

(2)解:∵,
∴ (x-2)2+(y+3)2=0 ,
∴,
解得,
∴;
(3)解:
=
=
∵,
∴,
解析:(1)解:;

(2)解:∵,
∴,
∴,
解得,
∴;
(3)解:
=
=
∵,
∴,
∴,
解得,
∴ .
【解析】【分析】(1)直接利用完全平方公式并参照题干即可得出答案;(2)先对已知进行变形,然后利用平方的非负性求出x,y的值,再代入求值即可;(3)首先将原式利用完全平方公式分解因式,然后利用平方的非负性求出a,b,c的值,进而可得出答案.
5.(1)解:S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²
S2=b²-(a-b)2=2ab-a2
(2)解:∵S1+3S2= 72 b²,
∴3a2-8ab+6b2+3(
解析:(1)解:S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²
S2=b²-(a-b)2=2ab-a2
(2)解:∵S1+3S2= b²,
∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)= b2
化简得:5b2=4ab,
∵b≠0,
∴两边同除以b,得:5b=4a,
∴a:b=5:4
【解析】【分析】(1)根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形,其边长为(a-b),中间的小正方形应该是(2b-a) ,然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2,再根据完全平方公式展开括号,再合并同类项即可;由图2可知:阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为(a-b)的正方形的面积,从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式,再根据完全平方公式展开括号,再合并同类项即可;
(2)根据(1)的计算结果,由 S1+3S2= b²列出方程,化简即可得出答案.
6.(1)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
(2)3;解:20192﹣2020×2018
=20192﹣(2019+1)×(2019﹣1)
=20192﹣(20192﹣1)
=20192﹣20
解析:(1)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
(2)3;解:20192﹣2020×2018
=20192﹣(2019+1)×(2019﹣1)
=20192﹣(20192﹣1)
=20192﹣20192+1
=1
(3)解:1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
=(100+99)×(100﹣99)+(98+97)×(98﹣97)+…+(4+3)×(4﹣3)+(2+1)×(2﹣1)
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=5050
【解析】【解答】解:(1)探究:图1中阴影部分面积a2﹣b2,图2中阴影部分面积(a+b)(a﹣b),
所以,得到乘法公式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
故答案为(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
(2)应用:①由4m2=12+n2得,4m2﹣n2=12
∵(2m+n)•(2m+n)=4m2﹣n2
∴2m﹣n=3
故答案为3.
【分析】探究:将两个图中阴影部分面积分别表示出来,建立等式即可;
应用:①利用平方差公式得出(2m+n)•(2m+n)=4m2﹣n2,代入求值即可;②可将2020×2018写成(2019+1)×(2019﹣1),再利用平法差公式求值;
拓展:利用平方差公式将1002﹣992写成(100+99)×(100﹣99),以此类推,然后化简求值.
7.(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(2)解:①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11, ab+bc+ac=38
∴a
解析:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(2)解:①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11, ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【解析】【分析】(1)根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和,再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积,列式计算即可。

(2)①将(1)中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac),再整体代入求值;②利
用幂的运算性质,将2x×4y÷8z= 转化为x+2y-3z=-2,再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz),再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。

8.(1)1;x-1;(x-1)(6x+5)
(2)解:①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
(3)x-2;y-2;x-y;(x-2)2-(
解析:(1)1;x-1;(x-1)(6x+5)
(2)解:①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
(3)x-2;y-2;x-y;(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)
【解析】【分析】(1)根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0,从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为(x-1)即可将此多项式分解因式。

(2)将x=-1代入2x2+5x+3,可知其值为0,因此可将此多项式分解因式;将x=1代入x3-7x+6,可知 x3-7x+6=0,再将x=2代入,可知x3-7x+6=0,从而可将其多项式进行分解因式。

(2)利用试根法,将已知多项式进行分解因式即可。

9.(1)32;80
(2)100
(3)证明:∵ ,
∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的.
【解析】【解答】解:(1)由“和谐数”的定义,设这两个连续的奇数分别为2n+1 ,,
解析:(1)32;80
(2)100
(3)证明:∵ ,
∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的.
【解析】【解答】解:(1)由“和谐数”的定义,设这两个连续的奇数分别为,,
则和谐数可表示为:
,(其中表示正整
数)
∴“和谐数”就是8的正整数倍,
∴32,80是和谐数,75不是和谐数,且32=92-72, 80=212-192,
故答案为:32;80.(2)∵ 200,即 200,
∴,
∴,,
∵49+51=100,
∴这两个连续奇数的和为100,
故答案为:100.
【分析】(1)根据“和谐数”的定义,设出一般的情况,看和谐数应满足什么条件,以此条
件判断32,75,80这三个数中,哪些数是和谐数;(2)用字母表示两个连续奇数与和谐
数,由和谐数是200,列出方程,解出即得到这两个连续的奇数,从而可以求得这两个连
续奇数的和;(3)用字母表示两个连续奇数与和谐数,通过化简,可以证明结论成立.
10.(1)解:根据规律可得:(a+b)5首项a的次数是5次方,b为0次方,
后续每项a的次数减少1而b的次数增加1,每项的系数根据规律则依次为为1,1+4=5,4+6=10,6+4=10,4+1=5,1
解析:(1)解:根据规律可得:(a+b)5首项a的次数是5次方,b为0次方,后续每
项a的次数减少1而b的次数增加1,每项的系数根据规律则依次为为1,1+4=5,
4+6=10,6+4=10,4+1=5,1,根据以上规律,则(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
(2)解:由题知:,
对比(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24
可知a=-3,b=2,
则原式=(﹣3+2)4=1.
【解析】【分析】(1)根据上面的规律,按a的次数由大到小的顺序判断出各是多少,写
出(a+b)5的展开式即可;(2)利用上面的规律,(-3)4+4×(-3)3×2+6×(-3)2×22+4×(-3)×23+24=(-3+2)4,据此求出算式的值是多少即可.
11.(1)(a+b)(a-b)
;a2-b2
(2)由两个图形的面积相等可知,(a+b)(a-b)=a2-b2。

(3)
S正方形=(a+b)2 , S正方形=(a-b)2+4ab
∴(a+b)
解析:(1)(a+b)(a-b)
;a2-b2
(2)由两个图形的面积相等可知,(a+b)(a-b)=a2-b2。

(3)
S正方形=(a+b)2, S正方形=(a-b)2+4ab
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab
【解析】【分析】(1)根据图形的面积。

列式得到答案即可;
(2)根据两组图案所表示的面积相等,即可得到等量关系;
(3)同理,首先根据面积列出两种方式表示的面积,得到答案即可。

12.(1)(x﹣y+1)2
(2)解:令A=a+b,则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2 ,
故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2
(3)证明:(n+1)(
解析:(1)(x﹣y+1)2
(2)解:令A=a+b,则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2,
故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2
(3)证明:(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1.
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1.
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1.
=(n2+3n+1)2,
∵n为正整数,
∴n2+3n+1也为正整数,
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
【解析】【分析】(1)把(x-y)看作一个整体,直接利用完全平方公式因式分解即可;
(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解;
(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)(n+2)]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数,从而说明原式是整数的平方.。

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